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大题规范练(六)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求△ABC的面积．
解：(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.
∴＝，
即cos B＝.
(2)∵b＝，cos B＝，
∴b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，
又sin A，sin B，sin C成等差数列，由正弦定理，得
a＋c＝2b＝2，
∴13＝52－ac，∴ac＝12.
由cos B＝，得sin B＝，
∴△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×12×＝.
2．(本小题满分12分)如图(1)，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，CD＝4.把△ABD沿BD折起，使A，C两点间的距离为2.记BD的中点为E，如图(2)．
(1)求证：平面ACE⊥平面BCD；
(2)求直线AD与平面ABC所成角的正弦值．
解：(1)证明：由已知可得CB＝CD＝4，AB＝AD＝4，AE⊥BD，CE⊥BD.又AE∩CE＝E，因此
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BD⊥平面ACE.
又BD⊂平面BCD，因此平面ACE⊥平面BCD.
(2)如图，以CB，CD所在直线分别为x轴、y轴，过点C垂直于平面CBD的直线为z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，设A(x1，y1，z1)(z1＞0)，
则由，
可得，
由此解得x1＝y1＝－1，z1＝，故A(－1，－1，)，＝(－1，－1，)，＝(1,5，－).＝(4,0,0)
设a＝(x2，y2，z2)是平面ABC的法向量，则有
，即，故x2＝0，y2＝z2.
取z2＝1得a＝(0，，1)．
设直线AD与平面ABC所成的角为β，
则sin β＝|cos〈a，〉|＝＝，
即直线AD与平面ABC所成角的正弦值为.
3．(本小题满分12分)当今时代，智能手机在人们日常生活中的应用越来越频繁，其中的一款软件——微信更是逐渐成为人们交流的一种方式．某机构对人们使用微信交流的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流持赞成态度的人数如下表：
年龄(单位：岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
10
7
1
2
(1)若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关？
年龄不低于55岁的人数
年龄低于55岁的人数
合计
赞成
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不赞成
合计
(2)若从年龄在[55,65)、[65,75)的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记所选中的4人中赞成使用微信交流与不赞成使用微信交流的人数之差的绝对值为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考数据如下：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)2×2列联表如下：
年龄不低于55岁的人数
年龄低于55岁的人数
合计
赞成
3
32
35
不赞成
7
8
15
合计
10
40
50
K2＝≈9.524＞6.635，
所以有99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．
(2)依题意得ξ的所有可能取值分别为0,2,4，
且P(ξ＝0)＝·＋·＝＝0.3，
P(ξ＝4)＝·＝0.18，
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝4)＝0.52.
因此，ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
0.3
0.52
0.18
所以ξ的期望E(ξ)＝0×0.3＋2×0.52＋4×0.18＝1.76.
4．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)以曲线C上的点Q(x0，y0)(y0＞0)为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M(a,0)(a＞2)为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△QAM面积的比．
解：(1)由题意得|PH|＝|PF|，
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∴点P到直线l：x＝－1的距离等于它到定点F(1,0)的距离，
∴点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，
∴点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)解法一：由y2＝4x，当y＞0时，y＝2，∴y′＝，
∴以Q为切点的切线l1的斜率为k＝，
∴以Q(x0，y0)(y0＞0)为切点的切线方程为l1：y－y0＝(x－x0)，
即y－y0＝，整理得l1：4x－2y0y＋y＝0.
令x＝0，则y＝，∴B，
令y＝0，则x＝－＝－x0，∴A(－x0,0)，
点M(a,0)到切线l1的距离d＝＝＋≥2(当且仅当y0＝2时，取等号)．
∴当点Q的坐标为(a－2,2)时，满足题意的圆M的面积最小．
此时A(2－a,0)，B(0，)．
S△ABF＝|1－(2－a)|||＝(a－1)，
S△AQM＝|a－(2－a)||2|＝2(a－1).
∴＝，∴△ABF与△QAM的面积之比为1∶4.
解法二：由题意知切线l1的斜率必然存在，设为k，则l1：y－y0＝k(x－x0)．
由，得y－y0＝k，即
y2－y＋y0－y＝0，
由Δ＝－4＝0得(2－ky0)2＝0，
即k＝.
∴l1：4x－2y0y＋y＝0.(下同解法一)
5．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋ax＋2，g(x)＝－2cos x－x＋(x＋1)ln(x＋1)．
(1)若直线y＝－4x是曲线y＝f(x)的切线，求实数a的值；
(2)若对任意x1∈[1,2]，都存在x2∈(－1,1]，使得f(x1)－g(x2)＞3a＋4成立，求实数a
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的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2＋a.
设直线y＝－4x与曲线y＝f(x)相切于点(x0，－4x0)，
则有，解得x0＝1，a＝－7.
(2)g′(x)＝2sin x－1＋ln(x＋1)＋1＝2sin x＋ln(x＋1)，
∵当x∈(－1,1]时，y＝2sin x及y＝ln(x＋1)均为增函数，∴g′(x)在(－1,1]上为增函数，又g′(0)＝0，
∴当x∈(－1,0)时，g′(x)＜0；当x∈(0,1]时，g′(x)＞0，
从而g(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴g(x)在(－1,1]上的最小值为g(0)＝－2.
依题意得，当x∈[1,2]时，f(x)min＞3a＋4＋g(0)＝3a＋2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝3x2＋a∈[a＋3，a＋12]．
当a＋3≥0，即a≥－3，x∈[1,2]时，f(x)单调递增，
f(x)min＝f(1)＝a＋3，于是有a＋3－3a＞2(a≥－3)，解得－3≤a＜.
当a＋12≤0，即a≤－12，x∈[1,2]时，f(x)单调递减，f(x)min＝f(2)＝2a＋10，于是有2a＋10－3a＞2(a≤－12)，解得a≤－12.
当－12＜a＜－3，x∈[1,2]时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
f(x)min＝f＝ ＋2，于是有 ＋2－3a＞2(－12＜a＜－3)，解得－12＜a＜－3.
综上所述，a的取值范围是.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．
解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
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(2)将代入曲线C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
∴4cos2α＝2，cos α＝±，α＝或.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若存在x0，使f(x0)＋|x0－2|＜3成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4.
当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，解得x≥，所以x≥2；
当－＜x＜2时，不等式等价于2－x＋2x＋1≥4，即x≥1，所以1≤x＜2；
当x≤－时，不等式等价于2－x－2x－1≥4，解得x≤－1，所以x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥1}．
(2)应用绝对值不等式可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|.
因为存在x0，使f(x0)＋|x0－2|＜3成立，所以(f(x)＋|x－2|)min＜3，
所以|a＋4|＜3，解得－7＜a＜－1，故实数a的取值范围为(－7，－1)．
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