资料简介
2.6 弧长与扇形面积
第 1 课时 弧长及其相关量的计算
教学目标：
【知识与技能】
理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算．
【过程与方法】
经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力．
【情感态度】
调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精
神．
【教学重点】
弧长公式及其运用．
【教学难点】
运用弧长公式解决实际问题．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
如图是某城市摩天轮的示意图，点 O 是圆心，半径 r 为 15m，点 A、B 是圆上的两点，
圆心角∠AOB=120°．你能想办法求出 AB 的长度吗？
【教学说明】学生根据 AB 是 120°是 周长可直接求出 AB 的长，为下面推导出弧长公
式打好基础．
二、思考探究，获取新知
问题 1 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______．
【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一
1
3组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出．
问题 2 1 度的圆心角所对的弧长 l=_____．
问题 3 半径为 R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长 l=______．
【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推
导，学生就不容易质疑了．
结论：半径为 r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l 为
注：已知公式中 l、r、n 的其中任意两个量，可求出第三个量．
三、典例精析，掌握新知
例 1 已知圆 O 的半径为 30 cm，求 40 度的圆心角所对的弧长．(精确到 0.1cm)
解： ．
答：40 度的圆心角所对的弧长约为 20.9 cm．
【教学说明】此题是直接导用公式．
例 2 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以 C 为圆心，CA 为半径的圆交 AB 于
点 D，若 AC=6，求弧 AD 的长．
【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只
需求出∠ACD 的度数即可．
解：连接 CD．
因为∠B=15°，∠BCA=90°，
所以∠A=90°-∠B=90°-15°=75°．
又因为 CA=CD，所以∠CDA=∠A=75°．
所以∠DCA=180°-2∠A=30°．
所以 的长= =π．
【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角．
例 3 如图为一个边长为 10 cm 的等边三角形，木板 ABC 在水平桌面绕顶点 C
沿顺时针方向旋转到△A′B′C 的位置．求顶点 A 从开始到结束所经过的路程
为多少？
解：由题可知∠A′CB′=60°．
∴∠ACA′=120°．A 点经过的路程即为 AA′的长．等边三角形的边长为 10cm．即 AA′
·2360 180
n n rl r
ππ= =
( )40 30 20 20.9180 180 3
n Rl cm
π π π× ×= = = ≈
AD 30 6
180
π ×的半径为 10cm．
∴AA′的长= (cm)．
答：点 A 从开始到结束经过的路程为 cm．
【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在
圆的半径，问题就容易解决了．
四、运用新知，深化理解
1．一个扇形的圆心角为 60°，它所对的弧长为 2π cm，则这个扇形的半径为（）
A．6cm B．12cm
C． cm D． cm
2．如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相
同的速度从点A 到点B，甲虫沿着 、 、 、 的
路线爬行，乙虫沿着路线 爬行，则下列结论正确的是（ ）
A．甲先到 B 点 B．乙先到 B 点
C．甲乙同时到达 D．无法确定
3．如果一条弧长等于 l，它所在圆的半径等于 R，这条弧所对的圆心角增加 1°，则它
的弧长增加（）
A． B． C． D．
4．(山东泰安中考）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连结 BC，
若∠ABC=120°，OC=3，则 的长为（）
A．π B．2π
C．3π D．5π
第 4 题图 第 5 题图
5．一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么 B
点从开始到结束时所走过的路径长度是______．
【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中，多是一些基础题，关键是理解公式的推导
120 10 20
180 3
π π× =
20
3
π
2 3 6
1ADA 1 2A EA 2 3A FA 3A GB
ACB
1
n 180
Rπ 180l
Rπ
1
360
BC过程后，在 l、n、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了．
【答案】1．A 2．C 3．B 4．B 5．
五、师生互动，课堂小结
1．师生共同回顾本小节的知识点．
2．通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流．
【教学说明】1．n°的圆心角所对的弧长 ．
2．学生大胆尝试公式的变化运用．
课堂作业：
教材习题 2.5 第 1、2 题
教学反思：
本节课是从如何计算摩天轮的弧长引入，到学生自己推导出弧长公式，并运用公式解决
问题，培养学生动手、动脑的习惯，加深了对公式的理解，并用所学知识解决实际问题．体
验了推导出公式的成就感．激发了学生学习数学的兴趣．
第 2 课时 扇形面积
教学目标：
【知识与技能】
1.掌握扇形的定义．
2.掌握扇形面积公式的推导过程，会运用扇形的面积进行有关计算．
【过程与方法】
经过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力．
【情感态度】
经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题，加强合作交流，集思广益．
【教学重点】
扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算．
【教学难点】
用公式求组合图形的面积来解决实际问题．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
4
3
π
180
n Rl
π=如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图，你能求出做这把扇
子用了多少纸吗?要想解决以上问题，需知道求扇形的面积的计算公
式．今天我们就来学习扇形的面积．
二、思考探究，获取新知
1．扇形的定义
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形．
【教学说明】1．强调它是一个封闭的图形；
2．扇形包括两半径和弧内部的平面部分．
2．扇形的面积公式同学们结合圆的面积 S=πR2，完成下列各题：
（1）该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积．
(2)设圆的半径为 R，1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形
面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…，n°的圆心角所在的扇形面积为___．学
生解答
【教学说明】(1)360°(2)
因此，在半径为 R 的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积为 S 扇形= ，还可推导出
S 扇形= ，其中 l 为扇形的弧长．
例 1（教材例 3）如图，⊙O 的半径为 1.5cm，圆心角∠AOB=58°，求扇形 OAB 的面积
（精确到 0.1 cm2)．
解：∵ r=1.5 cm，n= ，
∴
例 2 已知半径为 2 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积为多少？
【分析】已知扇形弧长为 l，所在圆的半径为 R 时，可直接利用扇形的面积公式：S 扇形
= 求解．解： S 扇形= = ．
【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，
2
360
Rπ 22
360
Rπ 23
360
Rπ 2
360
n Rπ
2
360
n Rπ
1
2 lR
2 2
258 1.5 58 3.14 1.5 1.1360 360 ( )S cm
π× × × ×= = ≈
4
3
π
1
2 lR 1
2 lR 1 4 422 3 3
π π× × =
58这样计算更简便．
3．组合图形的面积计算．
例 3 如图，把两个扇形 OAB 与扇形 OCD 的圆心重合叠放在一起，且∠AOB=∠COD，连接
AC．
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若 OA=3cm，OC=2cm，AB 的长为 ，CD 的长为 π，求阴影部分的面
积．
【教学说明】利用“边角边”证明△AOC≌△BOD，阴影部分是不规则图形，可先将其转
化为规则图形，再计算．
(1)证明：∵∠AOB=∠COD，
∴∠BOD=∠AOC．
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD．
(2)解：延长 CD，交 OB 于点 F，设 AO 交 CD 于点 E．
∵S△AOC=S△BOD，
S 扇形 EOC=S 扇形 DOF，
∴S 图形 AEC=S 图形 BFD．
∴S 阴影=S 扇形 OAB-S 扇形 OCD
．
【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，
关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系．
三、运用新知，合作学习，深化理解
1．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为 2 的“等
边扇形”的面积为（ ）
A．π B．1 C．2 D．
2．如图所示，一张半径为 1 的圆心纸片在边长为 a(a≥3)的正方形
内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的
面积是（ ）
A．a2-π B．(4-π)a2 C．π D．4-π
3
2
π
1 3 1 53 22 2 2 4
π ππ= × × − × × =
2
3
π3．如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是 的三等分点．如果⊙O 的
半径为 1，P 是线段 AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_____．
4．如图所示，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC= ，⊙A
与 BC 相切于点 D，且交 AB、AC 于 M、N 两点，则图中阴影部分的面
积是______（保留 π)．
5．如图，⊙O 的半径为 R，直径 AB⊥CD，以 B 为圆心，以 BC 为半径
作弧 ，求图中阴影部分的面积．
【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，
它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求
出组合图形的面积．
【答案】1．C 2． D 3． 4．
5．解：S 阴=S 半圆 OCAD+S△BCD-S 扇形 BCED=
四、师生互动，课堂小结
1．这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2．教师强调：①扇形的概念．
②圆心角为 n°的扇形面积 S 扇= (l 为扇形的弧长）．
③组合图形的面积．
课堂作业：
教材练习第 3 题，习题 2.5A 组 3 题
教学反思：
本节课从基本的生活用品扇子引入，到学生自主推导出扇形的两种面积公式，并运用公
式解决了组合图形的面积．由简单到复杂，由特殊到一般的解题过程，使学生掌握由浅入深，
由简单到复杂的解题技能，而复杂图形又是由简单图形组成，培养学生对数学产生浓厚的兴
趣．
AB
2 3
CD
3
π
3 3
π−
2 2 2 21 1
2 2R R R Rπ π+ − =
2 1
360 2
n R lR
π =
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