八年级数学下册第2章一元二次方程2-2一元二次方程的解法教案（浙教版）.doc

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浙教版八年级数学下册教案全套（共22份）
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2.2 一元二次方程的解法教学目标会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．重难点重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义. 难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程．教学过程一、探究新知上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？学生思考，教师引入新课. 二、例题导学 1.因式分解法例1 解下列方程: (1)x2-3x=0. (2)25x2=16. 解：（1）将原方程的左边分解因式，得x（x-3）=0，则x=0，或x-3=0，解得x1=0，x2=3 . （2）移项，得25x2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x-4）（5x+4）=0，则5x-4=0，或5x+4=0，解得x1= ，x2= . 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 例2 解下列一元二次方程： (1)(x-5)(3x-2)=10. (2)(3x-4)2=(4x-3)2. 学生独立完成，教师巡视、指导. 2.开平方法一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1= ，x2=- .这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 例3 用开平方法解下列方程： (1)3x2-48=0. (2)(2x-3)2=7. 解：（1）移项，得3x2=48.方程的两边同除以3，得x2=16.解得x1=4，x2=-4. 5 4 5 4− a a（2）由原方程，得2x-3= ，或2x-3=- ，解得x1= ，x2= . 3.配方法将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 例4 用配方法解下列一元二次方程： (1) x2+6x=1. (2)x2+5x-6=0. 解：（1）方程的两边同加上9，得x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10.则x+3= ，或x+3=- ，解得x1=-3+ ，x2=-3- . （2）移项，得x2+5x=6.方程的两边同加上，得x2+5x+ =6+ ，即 . 则，或，解得x1=1，x2=-6. 4.公式法 (1)ax2－7x+3 =0. (2)ax2+bx+3=0. (3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知 ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，试推导它的两个根 x1= ， x2= (这个方程一定有解吗？什么情况下有解？) 解：移项，得ax2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x2+ x=- . 配方，得x2+ x+( )2=- +( )2，即(x+ )2= . ∵4a2>0，当b2-4ac≥0时， ≥0, ∴(x+ )2=( )2，直接开平方，得x+ =± ，即x= ， 7 7 2 73+ 2 73− 10 10 10 10 2)2 5( 2)2 5( 2)2 5( 4 49)2 5( 2 =+x 2 7 2 5 =+x 2 7 2 5 −=+x 2 4 2 b b ac a − + − 2 4 2 b b ac a − − − b a c a b a 2 b a c a 2 b a 2 b a 2 2 4 4 b ac a − 2 2 4 4 b ac a − 2 b a 2 4 2 b ac a − 2 b a 2 4 2 b ac a − 2 4 2 b b ac a − ± −∴x1= ，x2= . 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a， b，c代入式子x= 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性) (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 例5 用公式法解下列一元二次方程： (1)2x2-5x+3=0； (2)4x2+1=-4x； (3） x2-2x- =0. 解：（ 1 ）对方程 2x2-5x+3=0 ， a=2,b=-5,c=3,b2-4ac= （ -5 ） 2-4×2×3=1 ， ∴ x= ，∴x1= ，x2= . （ 2 ）移项，得 4x2+4x+1=0 ，则 a=4,b=4,c=1,b2-4ac=42-4×4×1=0 ， ∴ ， ∴ . （3）方程的两边同乘4，得3x2-8x-2=0.则a=3,b=-8,c=-2,b2-4ac=（-8）2-4×3×（-2） =88，∴ ，∴ ， . 从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定.因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 2 4 2 b b ac a − + − 2 4 2 b b ac a − − − 2 4 2 b b ac a − ± − 3 4 1 2 4 15 22 1)5( ±=× ±−− 2 3 4 15 =+ 14 15 =− 2 1 42 04 −=× ±−=x 2 1 21 −== xx 3 224 32 888 ±=× ±=x 3 224 1 +=x 3 224 2 −=x 查看更多

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