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6.1 从实际问题到方程 第六章 一元一次方程 学习目标 1.初步学会如何寻找问题中的相等关系,列出方程.(难点) 2.理解方程、方程的解等概念.(重点) 导入新课 问题引入 一队师生共328人,乘车外出旅游,已有校车可乘64人,如果租用客车,每辆可乘44 人,那么还要租多少辆客车? 思考 这个问题是我们在生活中碰到的实际问题,你能利用所学的知识来解决 吗? 讲授新课 列算式一 完成下列问题: 1. 一本笔记本1.2元,买x本需要 元。 2. 一支铅笔a元,一支钢笔b元,小强买两支铅笔和三支钢笔,一共需要 元。 3. 长方形的宽为a,长比宽长3,则该长方形的 面积为___________. 4. x辆44座的汽车加上2辆23座的汽车最多可以坐___________人。 自主学习 1.2x 2a+3b a(a+3) 44x+64 通过上面的练习回顾,可设租用客车x辆,共可乘坐44x人,加上乘坐校车在64人, 就是全体的328人。可得出等式 44x+64=328 合作探究 问题 一队师生共328人,乘车外出旅游,已有校车可乘64人,如果租用客车,每 辆可乘44人,那么还要租多少辆客车? 含有未知数的等式叫做方程. ① ② 小学我们已经学过简易方程,那么方程是 如何定义的呢? 做一做 判断下列各式是不是方程,是的打“√”,不是的打“×”. (1) -2+5=3 ( ) (2) 3x-1=7 ( ) (3) 2a+b ( ) (4) x﹥3 ( ) (5) x+y=8 ( ) (6) 2x2-5x+1=0 ( ) √× √ × √ × 比较:列算式和列方程 从算式到方程是数学的进步! 列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用已知数.对于较复杂的问题, 列算式比较困难. 列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数, 解决问题比较方便. 典例精析 例1 根据下列问题,设未知数并列出方程 (1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形,正方形 的边长是多少? 4 2 4x  解:设正方形的边长为x cm. 等量关系:正方形边长×4=周长. 列方程: . x 列方程二 (2)一台计算机已使用1700 h,预计每月再使用150 h,经过多少月这台 计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h? 解:设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h 等量关系:已用时间+再用时间=检修时间. 列方程 : .1 7 0 0 1 5 0 2 4 5 0x  (3)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生? 解:设这个学校的学生数为x,那么女生数为0.52x, 男生数为(1-0.52)x. 等量关系:女生人数-男生人数=80 列方程:0.52x-(1-0.52)x=80 请同学们思考: (1)怎样将一个实际问题转化为方程问题? (2)列方程的依据是什么? 实际问题 设未知数列方程 方程 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学 解决实际问题的一种方法. 抓关键句子找等量关系 思 考 方程的解三 问题 在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多是13岁。就问同学:“我今 年45岁,几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?” 合作探究 一年后年龄:老师 46岁 同学 14岁 3 1 不是老师的 二年后年龄:老师 47岁 同学 15岁 也不是老师的 3 1 三年后年龄:老师 48岁 同学 16岁 恰好是老师的 3 1 分析: 3 1 13+x 45+x 通过刚才的分析方法可以启发我们,只要将x=1,2,3,4等等代入方程的 左右两边,使得两边相等的那个数就是方程的解,这里x=3 是方程的解. 方法归纳 1.将数值代入方程左边进行计算, 2.将数值代入方程右边进行计算, 3.若左边=右边,则是方程的解,反之,则不是. 判断一个数值是不是方程的解的步骤: 典例精析 例2 以下各方程后面的括号内分别给出了一组数,从中找出方程的解。 (1)6x+2=14 (0,1,2,3) (2)10=3x+1 (0,1,2,3) (3)2x-4=12 (4,8,12) x=2 x=3 x=8 当堂练习 1. 方程2(x+3)=x+10的解是 ( ) A x=3 B x=-3 C x=4 D x=-4 2. 已知x=2是方程2(x-3)+1=x+m的解,则m=( ) A 3 B 2 C -3 D -2 C C A 2(x-1)+3x=13 课堂小结 从实际问题到 方程 方程的定义 {列方程 方程的街 6.2 解一元一次方程 第1课时 等式的性质 6.2.1 等式的性质与方程的简单变形 学习目标 1.理解等式的基本性质; 2.能利用等式性质对等式进行变形.(重点、难点) 导入新课 思考:要让天平平衡应该满足什么条件? 情境引入 讲授新课 等式的性质一 问题1.对比天平与等式,你有什么发现? 等号成立就可看作是天平保持两边平衡! 等号 合作探究 问题2.观察天平有什么特性? 天平两边同时加入相同质量的砝码 天平仍然平衡 天平两边同时拿去相同质量的砝码 天平仍然平衡 天平两边同时 天平仍然平衡 加入 拿去 相同质量的砝码 两边同时 相同的 等式 加上 减去 数(或式) 结果仍是等式 等式性质1: 结论 等式两边同时加(或减)同一个数(或式),所得结果仍是等式. 即,如果a = b,那么 a +c= b+c,a-c=b-c . 由天平性质看等式性质2 等式两边同时乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除 式不能为0),所得结果仍是等式. 等式性质2: 结论 ac=bc 即,如果a = b,那么= ( 0).a b c c c   例1.填空,并说明理由. (1)如果a+2 = b+7,那么a= ; (2)如果3x = 9y,那么 x= ; (3)如果 ,那么3a= .1 1=2 3a b 典例精析 (1)如果a+2 = b+7,那么a= ; 解:因为a+2=b+7 ,由等式性质1可知, 等式两边都减去2,得 a + 2 - 2 = b + 7 -2, 即 a = b + 5 . (2)如果3x = 9y,那么 x= ; 解:因为3x=9y,由等式性质2可知, 等式两边都除以3,得 , 即 x = 3y. 93 =3 3 yx b + 5 3y (3)如果 ,那么3a= .1 1=2 3a b 解:因为 ,由等式性质2可知, 等式两边都乘6,得 即 3a = 2b . 1 1=2 3a b  1 16 = 62 3a b 2b 请在括号中写出下列等式变形的理由: (1)如果 a-3=b+4,那么a=b+7 ( ); (2)如果 3x=2y,那么 ( ); 等式性质1 2= 3x y 等式性质2 (3)如果 ,那么x=2y ( );等式性质21 1=4 2x y- - (4)如果2a+3=3b-1,那么2a-6=3b-10 ( ). 等式性质1 练一练 例2.判断下列等式变形是否正确,并说明理由.(1)如果a- 3=2b-5,那么a=2b-8; (2)如果 ,那么 10x-5=16x-8.2 1 4 2= 54 x x- - 解:(1)错误. 由等式性质1可知,等式两边都加上3, 得 a-3+3=2b-5+3 即 a = 2b - 2 . (2)正确. 由等式性质2可知,等式两边都乘20, 得 即 5(2x-1) = 4(4x-2) 去括号,得10x-5=16x-8.  2 1 4 22 0 = 2 054 x x- - 判断下列等式变形是否正确,并说明理由. (1)若 ,则a+3=3b-3; 不正确,应该是 a+9=3b-3. (2)若 2x-6=4y-2,则 x-3=2y-2. 1 +3= 13a b- 不正确,应该是 x-3=2y-1. 练一练 当堂练习 D D C C 课堂小结 等式的性质 等式的性质1,2 { 利用等式性质对等式 进行变形 6.2 解一元一次方程 第2课时 方程的简单变形 6.2.1 等式的性质与方程的简单变形 学习目标 1.正确理解和使用移项法则;(难点) 2.能利用移项求解一元一次方程.(重点) 导入新课 复习引入 等式性质1: 等式两边同时加(或减)同一个数(或式),所得结果仍是等式. 即,如果a = b,那么 a +c= b+c,a-c=b-c . 等式两边同时乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除 式不能为0),所得结果仍是等式. 等式性质2: ac=bc 即,如果a = b,那么= ( 0).a b c c c   讲授新课 移项一 请利用等式的性质,把方程 2345 + 12x = 5129 变形成x = a (其中a是已知数)的形式. ① 在方程①两边都减去2345, 得 2345+12x-2345= 5129-2345, 即 12x=2784. ② 方程②两边都除以12,得x=232 . 求方程的解的过程叫 做解方程.(把方程化 成x = a 的形式) 合作探究 + 12x = 51292345 12x = 5129-2345 在上面的问题中,我们根据等式性质1,在方程①两边都减去 2345,相当于作了如下变形: 这个变形有什么 特点? 把方程中的某一项改变________后,从________的一边移到 ________,这种变形叫做移项. (1)移项的根据是等式的性质1. (2)移项要变号,没有移动的项不改变符号. (3)通常把含有未知数的项移到方程的左边,把常数项(不含未知数 的项)移到方程的右边. 移项要点: 符号 方程 另一边 总结归纳 (1)5+x=10移项得x= 10+5 ; (2)6x=2x+8移项得 6x+2x =8; (3)5-2x=4-3x移项得3x-2x=4-5; (4)-2x+7=1-8x移项得-2x+8x=1-7. × × √ √ 10-5 6x-2x 下面的移项对不对?如果不对,应怎样改正? 练一练 1.移项时必须是从等号的一边到另一边,并且不要忘记对移动 的项变号,如从2+5x=7得到5x=7+2是不对的. 2.没移项时不要误认为移项,如从-8=x得到x=8,犯这样的错误, 其原因在于对等式的对称性与移项的区别没有分清. 总结归纳 例1. 解下列方程: 4x+3 = 2x-7 ; 利用移项解一元一次方程二 4x + 3 = 2 x -7-2 = - 典例精析 解 (1) 原方程为4x+3 = 2x-7 将同类项放在一起 合并同类项,得 2x = -10 移项,得 4x -2x = -7-3 所以 x=-5 是原方程的解. 检验:把x=-5分别代入原方程的左、右两边, 左边= 4×(-5)+3=-17, 右边= 2×(-5)-7+3=-17, 左边=右边 计算结果 进行检验两边都除以2,得 x = -5 提示:以上解一元一次方程的检验过程可以省略. 例2.解下列方程: 3 1 2 3 x  解:方程两边都除以 (或都乘以 ),得 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 3 3 x     即 2 . 9 x  (1)移项; 利用移项解方程的步骤是 (3)系数化为1. (2)合并同类项; 总结归纳 当堂练习 加10 等式基本性质1 乘-3 等式基本性质2 -9/8 D D 课堂小结 (1)一般地,把方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一 边,这种变形叫做移项. (2)移项的依据是等式的性质1. 1.移项 2.解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤: (1)移项;(2)合并同类项;(3)化未知数的系数为1. 6.2 解一元一次方程 第3课时 利用方程的变形求方程的解 6.2.1 等式的性质与方程的简单变形 学习目标 1.回顾移项的方法步骤. 2.学会用移项的方法解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.(重点) 导入新课 复习引入 (1)移项; 利用移项解方程的步骤是 (3)系数化为1. (2)合并同类项; 讲授新课 用移项解一元一次方程 例1 请运用等式的性质解下列方程 (1)4x - 15 = 9 解:两边都减去 5x ,得 -3x=-21. 系数化为1,得 x = 6. 解:两边都加上 15 ,得 系数化为1,得 x = 7. 合并同类项 ,得 合并同类项 ,得 4x = 24. 2x = 5x – 214x – 15 = 9 + 15 + 15 4x-15 = 9 4x = 9+15 2x-5x= -21 4x= 9+ . 你能发现什么 吗?典例精析 4x -15 = 9 ① 4x = 9 +15 ② 由方程① 到方程 ② , “– 15”这项移动后,发生了什么变化? 改变了符号 从方程的左边移到了方程的右边. -15 4x-15 = 9 4x = 9+15 2x = 5x -21 ③ 2x -5x = -21 ④ 由方程③ 到方程 ④ , “ 5x ” 这项移动后,发生了什么变化? 改变了符号 从方程的右边移到了方程的左边. 5x 2x-5x= -21 例2 解方程 .23273 xx  解:移项,得 合并同类项 ,得 3 2 32 7 .x x   5 2 5 .x  5 .x  系数化为1,得 移项实际上是利用等式的性 质1,但是解题步骤更为简捷! (1) 8x=2x-7 ; (2) 6=8+2x 解: (1)移项得 8x-2x=-7 即 6x=-7 两边同时除以6得 (2)移项得 6-8=2x 即 -2=2x 两边同时除以2得 -1=x 即 x=-1 例3 解方程 7 6 x   (3) 1 12 3 . 2 2 y y   1 12 3 2 2 y y    3 5 2 2 y   5 3 y   解:移项,得 即 两边都除以 ,得 3 2 练一练 解下列方程: (1) 2.5x+318 =1068; (2) 2.4y + 2y+2.4 = 6.8. x = 300 y = 1 当堂练习 (1) 7 2 3 4x x   (2)1.8 30 0.3t t  1.解下列一元一次方程: 5 4 1 1 8( 4 ) 3 3 3 3 x x  xx  31 2 1)3( 答案:(1) x=-2 (2) t=20 (3) x=-4 (4) x=2 课堂小结 解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤: (1)移项; (2)合并同类项; (3)化未知数的系数为1. 6.2 解一元一次方程 第1课时 解含有括号的一元一次方程 6.2.2 解一元一次方程 学习目标 1.理解一元一次方程概念及特点.(重点) 2. 了解“去括号”是解方程的重要步骤; 3.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程.(难点、重点) 导入新课 问题引入   44 64 328 113 45 3 x x x      观察这两个方程 有什么共同特点? 讲授新课 一元一次方程的概念一 合作探究 问题 观察以下两个方程有什么共同特点?   4 4 6 4 3 2 8 11 3 4 5 3 x x x      只含有一个未知数, (一元) (一次)未知数的次数都是1, 等号两边都是整式, 这样的方程叫做一元一次方程. 我们发现 , 一元一次方程定义: 只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样 的方程叫做一元一次方程. 注意以下三点: (1)一元一次方程有如下特点:①只含有一个未知数; ②未知数的次数是1;③含有未知数的式子是整式。 (2)一元一次方程的最简形式为:ax=b(a≠0)。 (3)一元一次方程的标准形式为:ax+b= 0 (其中x是未知数,a、b是已知数,并且(a≠0)。 归纳总结 下列哪些是一元一次方程? (1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ;(6) . (7) 2 1x  2 15 3m   3 5 5 4x x- = + 2 2 6 0x x + - 3 1.8 3x y + = 3 9 15a   1 1 6x   做一做 √ √ 利用去括号解一元一次方程二 1.利用乘法分配律计算下列各式: (1) 2(x+8)= (2) -3(3x+4)= (3) -7(7y-5)= 2x+16 -9x-12 -49y+35 2. 去括号: (1) a + (– b + c ) = (2) ( a – b ) – ( c + d ) = (3) – (– a + b ) – c = (4) – (2x – y ) – ( – x2 + y2 ) = a-b+c a-b-c-d a-b-c -2x+y+x2-y2 合作探究 去括号法则: 去掉“+( )”,括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”,括号内各项的符号改变. 用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律: a+(b+c) a–(b+c) = a+b+c = a–b–c 典例精析 例1 解方程:3(x-2)+1=x-(2x-1) 3x-6+1=x-2x+1, 解:原方程的两边分别去括号,得 即 3x-5=-x+1 移项,得 3x+x=1+5 即 4x=6 两边都除以4,得 3 2 x  例2 解下列方程: (1 )2 ( 1 0 ) 5 2 ( 1 )x x x x- + = + - 解:去括号,得 2 1 0 5 2 2 .x x x x- - = + - 移项,得 2 5 2 2 1 0 .x x x x- - - = - + 合并同类项,得 6 8.x = 系数化为1,得 4 . 3 x=- ( 2 ) 3 7 ( 1 ) 3 2 ( 3 )x x x- - = - + 解:去括号,得 3 7 7 3 2 6x x x- + = - - 移项,得 3 7 2 3 6 7x x x- + = - - 合并同类项,得 2 10x- =- 系数化为1,得 5x= 移 项 合并同类项 系数化为1 去括号 通过以上解方程的过程,你能总结出解含有括号一元一次方程的 一般步骤吗? 归纳总结 练一练 (1) 6x =-2(3x-5) +10; (2) -2(x+5)=3(x-5)-6 5x 3  1 1x 5  解下列方程 解: (1) 6x=-2(3x-5)+10 6x=-6x+10+10 6x +6x=10+10 12x=20 (2) -2(x+5)=3(x-5)-6 -2x-10=3x-15-6 -2x-3x=-15-6+10 -5x=-11 当堂练习 (1) 3x-5(x-3)=9-(x+4) 1.解下列方程. x=10 x=14  2 12 6 5 6 1 3 2 x x x               课堂小结 2. 解一元一次方程的步骤:去括号→移项 → 合并同类项 → 系数 化为1 3. 如果括号外的因数是负数时,去括号后,原括号内各项的符号要改 变符号. 1.一元一次方程的概念 只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的 方程叫做一元一次方程. 6.2 解一元一次方程 第2课时 利用去分母解一元一次方程 6.2.2 解一元一次方程 学习目标 1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点) 2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.(难点) 导入新课 情境引入 问题:一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共 是33,求这个数? 英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文 物—纸莎草文书.现存世界上最古老的方程就 出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸 草上.经破译,上面都是一些方程,共85个问 题.其中有如下一道著名的求未知数的问题. 纸莎草文书 你能解决以上古代问题吗? 分析:你认为本题用算术方法解方便,还是 用方程方法解方便? 请你列出本题的方程. 2 1 1 33 3 2 7 x x x x    结论:设这个数是 x,则可列方程 你能解出这道方程吗?把你的解法与其他同学交流一下,看谁的解法 好. 总结:像上面这样的方程中有些系数是分数,如果能化去分母,把系 数化为整数,则可以使解方程中的计算更方便些. 2 1 1 33 3 2 7 x x x x    讲授新课 解含分母的一元一次方程 合作探究 2.去分母时要注意什么问题? 想一想 1.若使方程的系数变成整系数方程,方程两边应该同乘以 什么数? 解方程: 3 1 3 2 22 . 2 1 0 5 x x x     3 1 3 2 22 . 2 10 5 x x x     5 (3 1) 1 0 2 (3 2 ) 2 ( 2 3)x x x       1 5 5 2 0 3 2 4 6x x x      1 5 3 4 2 6 5 2 0x x x       1 6 7x  7 16 x  系数化为1 去分母(方程两边同乘各分母的 最小公倍数) 移项 合并同类项 去括号 注意:(1)为什么同乘 各分母的最小公倍数 6; (2)小心漏乘,记得添 括号 典例精析 .1 3 12 2 3:     xx 解方程 : 6 ,解 两 边 都 乘 以 得 3 2 16 6 1 6 2 3 x x       3( 3 ) 2 ( 2 1) 6x x    3 9x  3 4 6 9 2x x    1 7x  1 7 .x   4 2 6x   例1. 例2.解下列方程: 1 2(1 ) 1 2 2 4 x x     解:去分母(方程两边乘4),得 2(x+1) -4=8+ (2 -x) 去括号,得 2x+2 -4=8+2 -x 移项,得 2x+x =8+2 -2+4 合并同类项,得 3x = 12 系数化为1,得 x = 12 1 2 1( 2 ) 3 3 2 3 x xx      解:去分母(方程两边乘6),得 18x+3(x-1) =18-2 (2x -1) 去括号,得 18x+3x-3 =18-4x +2 移项,得 18x+3x+4x =18 +2+3 合并同类项,得 25x = 23 系数化为1,得 2 3 2 5 x  下列方程的解法对不对?如果不对,你能找出错在哪里吗? 解方程: 解:去分母,得 4x-1-3x+6=1 移项,合并同类项,得 x=4 2 1 2 1 3 2 x x    去括号符号错误 约去分母3后,(2x-1)×2在去括号 时出错. 观察与思考 方程右边的“1”去分 母时漏乘最小公倍 数6 1.去分母时,应在方程的左右两边乘以分母的 ; 2 .去分母的依据是 ,去分母时不能漏 乘 ; 3.去分母与去括号这两步分开写,不要跳步,防止忘记变 号. 最小公倍数 等式性质2 没有分母的项 要点归纳 当堂练习 5 7 171. 3 2 4 A.3 2(5 7) ( 17) B.12 2(5 7) 17 C.12 2(5 7) ( 17) D.12 10 14 ( 17) x x x x x x x x x x                          方程 去分母正确的是( ) 2 3 9 52. 1 2 3 A.3(2 3) 2(9 5) 6 B.3(2 3) 6 2(9 5) 1 C.3(2 3) 9 5 6 D.3(2 3) 6 2(9 5) 6 x xx x x x x x x x x x x x x                          方程 去分母得( ) C D 3.解下列方程: 答案: 5(1) 6 x   15 43 5 3)1(     xx 12 552 4 1 3 45)2(      yyy 4(2) 7 y  课堂小结 变形名称 具体的做法 去分母 乘所有的分母的最小公倍数. 依据是等式性质二 去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号. 依据是去括号法则和乘法分配律 移项 把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”,依 据是等式性质一 合并同类项 将未知数的系数相加,常数项相加. 依据是乘法分配律 系数化为1 在方程的两边除以未知数的系数. 依据是等式性质二. 解 一 元 一 次 方 程 的 一 般 步 骤: 6.2 解一元一次方程 第3课时 实际问题与一元一次方程 6.2.2 解一元一次方程 学习目标 1.分清有关数量关系,能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(难点) 2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点) 导入新课 小敏,我能猜出 你年龄. 小敏 不信 你的年龄乘2减5得数 是多少? 你今年13岁 21 她怎么知道我的 年龄是13岁的呢? 问题引入 讲授新课 列方程解决实际问题 合作探究 某湿地公园举行观鸟节活动,其门票价格如下: 全价票 20元/人 半价票 10元/人 该公园共售出1200张门票,得总票款20000元,问全价票和半价票 各售出多少张? 全价票数+________=1200张;  ________+半价票款=________. 分析题意可得此题中的等量关系有: 半价票数 全价票款 20000元 设售出全价票x张,填写下表: 全价 半价 票数/张 票款/元 根据等量关系②,可列出方程: . 解得x= . 因此,售出全价票 张,半价票 张 x 1200- x 20x 10(1200- x) 全价票款+半价票款= 20000元 20x 10(1200- x)+ = 20000 800 800 400 可不可以设其 他未知量为x? 典例精析 例1.如图,天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐,问应该从盘A内拿出多少盐到盘B 内,才能使两者所盛盐的质量相等? g51 gx )45( gx )51( g45 A B A B 分析 应从盘A内拿出盐 x g , 列表如下 )(g原有盐 盘A 盘B 51 45 )(g现有盐 x51 x45 解:设应从盘A内拿出盐x g放到盘B内,则根据题意,得 51-x=45+x 解这个方程,得 x=3. 经检验,符合题意. 答:应从盘A内拿出盐3g放到盘B内. 例2.学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖.女同学每人每次搬6块,男同学每人每 次搬8块,每人各搬了4次,总共搬了1800块.问这些新团员中有多少名男同学? 分析 设新团员中有x名男同学,列表如下: 男同学 女同学 总数 参加人数 每人搬砖数 共搬砖数 65 1800 x 65-x 32x 24(65-x) 8×4 6×4 解:设新团员中有x名男同学,根据题意,得: 32x+24(65-x)=1800 32x+1560-24x=1800 32x-24x=1800-1560 8x=240 x=30 经检验,符合题意. 答:这些新团员中有30名男同学. 用方程解实际问题的过程: 问题 方程 解答 分析 抽象 求解 检验 分析和抽象的过程包括: (1)弄清题意,设未知数; (2)找相等关系; (3)列方程. 归纳总结 1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后 以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为 1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间? 路程 速度 时间(秒) 前一段 后一段 总数 400 6 8 65 x x65 分析:设小刚在冲刺阶段花了x 秒时间,可列表 6 ( 6 5 )x 8x 当堂练习 解:小刚在冲刺阶段花了x秒时间,根据题意,得 )65(6 x ﹢ x8 = 400 x6656  40086390  xx 39040086  xx 102 x .5x 答:小刚在冲刺阶段花了 5 秒时间. 4008  x 经检验,符合题意. 8 1 . 2 ( 3 ) 1 7 . 6x   2.某市的出租车计价规则如下:行程不超过3千米,收起步价8元;超过部分每 千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租 车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程? 解:设共乘坐了x千米的路程,根据题意,得 解方程得 x=11. 经检验,符合题意. 答:他们共乘坐了11千米的路程. 课堂小结 用方程解实际问题的过程: 问题 方程 解答 分析 抽象 求解 检验 分析和抽象的过程包括: (1)弄清题意,设未知数; (2)找相等关系; (3)列方程. 6.3 实践与探索 第1课时 等积变形问题 学习目标 1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.(难点) 2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.(重点) 导入新课 情境引入 从一个水杯向另一个水杯倒水 思考:在这个过程中什么没有发生变化? 讲授新课 图形的等长变化一 合作探究 (1)若该长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长、宽各是多少 米呢? 在这个过程中 什么没有发生 变化? 长方形的周长(或 长与宽的和)不变 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. x m (x+1.4) m 等量关系: (长+宽)× 2=周长 解: 设此时长方形的宽为x米,则它的长为(x+1.4)米. 根 据题意,得 (x+1.4 +x) ×2 =10 解得 x =1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2米,宽为1.8米. (2)若该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长和宽各为多 少米?它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比,面积有什么变 化? x m (x+1.4) m 解:设此时长方形的宽为x米,则它的长为(x+0.8)米.根据 题意,得 (x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9米,宽为2.1米,面积为2.9 ×2.1=6.09(平 方米),(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(平方米). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09- 5.76=0.33(平方米). (3)若该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,那么正方形的边 长是多少?它围成的正方形的面积与(2)中相比,又有什么变化? x m (x +x) ×2 =10 解得 x=2.5 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(平方米) 解:设正方形的边长为x米. 根据题意,得 比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16(平方米) 正方形的边长为2.5米 同样长的铁丝 可以围更大的 地方 例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆,已知正方形的 边长比圆的半径长2(π-2) m,求这两根等长的铁丝的长度,并通过计算说 明谁的面积大. 典例精析 [解析] 比较两图形的面积大小,关键是通过题中的等量关系列方程求 得圆的半径和正方形的边长,本题的等量关系为正方形的周长=圆的周 长. 解:设圆的半径为r m,则正方形的边长为[r+2(π-2)]m.根 据题意,得 答:铁丝的长为8π m,圆的面积较大. 因为4π×4>4π×π,所以16π>4π2, 所以圆的面积大. 正方形的面积为[4+2(π-2)]2=4π2(m 2). 所以圆的面积是π×42=16π(m 2), 所以铁丝的长为2πr=8π(m). 2πr=4(r+2π-4),解得r=4. (1)形状、面积发生了变化,而周长没变; (2)形状、周长不同,但是根据题意找出周长之间的关系,把这个关系作 为等量关系.解决问题的关键是通过分析变化过程,挖掘其等量关系, 从而可列方程. 归纳总结 图形的等积变化二 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该 楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的 底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高 度将由原先的4 m变为多少米? 合作探究 1.如果设水箱的高变为x m,填写下表: 旧水箱 新水箱 底面半径/m 高/m 体积/m 3.列出方程并求解. 2.根据表格中的分析,找出等量关系. 2 1.6 4 x π×2×4 π×1.6×x 旧水箱的容积=新水箱的容积 π×22×4 π×1.62×x= 解得x=5 因此,水箱的高度变成了5 m.  例2 一种牙膏出口处直径为5 mm,小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏, 这样一支牙膏可以用36次,该品牌牙膏推出新包装,只是将出口处直径改为 6 mm,小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏,这样,这一支牙膏能用多少次? 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些?关键是什么? 思考: 1.审——通过审题找出等量关系. 6.答——注意单位名称. 5.检——检验求出的值是否为方程的解,并检验是否符合实际问题. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 3.列——依据找到的等量关系,列出方程. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接),注意单位名称. 做一做 1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯,则至少应 截取直径为4厘米的圆钢______厘米 2.钢锭的截面是正方形,其边长是20厘米,要锻造成长、宽、高分 别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体,则应截取这种钢锭多长? 答案:30厘米. 16 当堂练习 1.一个长方形的周长是40 cm,若将长减少8 cm,宽增加2 cm,长方形就变成 了正方形,则正方形的边长为(  ) A.6 cm   B.7 cm   C.8 cm   D. 9 cm B 2. C 3.根据图中给出的信息,可得正确的方程是(  ) B 课堂小结 应用一元一次 方程 图形等长变化 { 应用一元一次方程解决实际 问题的步骤 图形等积变化 列 ⑤检 {④解 设 审 ⑥答 6.3 实践与探索 第1课时 销售问题及百分率问题 学习目标 1.掌握“销售中的盈亏”中的相关概念及数量关系.(重点) 2.掌握解决“销售中的盈亏”的一般思路.(难点) 跳楼价清仓处理 满200返1605折酬宾 导入新课 情境引入 讲授新课 销售中的盈亏一 合作探究 1.商品原价200元,九折出售,卖价是 元. 2.商品进价是150元,售价是180元,则利润 是 元.利润率是_______.  3.某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是     元. 4.某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价 应为   元. 5.某商品按定价的八折出售,售价是14.8元,则原定售价是    .         180 30 20% 0.9a 1.25a 17 上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量? 成本价(进价); 标价; 销售价; 利润; 盈利; 亏损: 利润率 上面这些量有何关系? 要点归纳 = 商品售价—商品进价 ●售价、进价、利润的关系式: 商品利润 ●进价、利润、利润率的关系: 利润率= 商品进价 商品利润 ×100% ●标价、折扣数、商品售价关系 : 商品售价= 标价× 折扣数 10 ●商品售价、进价、利润率的关系: 商品进价商品售价= ×(1+利润率) 销 售 中 的 盈 亏 A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏 典例精析 例1. 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈 利25% ,另一件亏损25% ,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈 不亏? ¥60 ¥60 思考:销售的盈亏决定于什么? 取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系 售价120 > 总成本 售价120 < 总成本 售价120 = 总成本 盈 利 亏 损 不盈不亏 (2)设亏损25%的衣服进价是 y元, 依题意得 y-0.25y=60 解得 y=80 (1)设盈利25%的衣服进价是 x 元, 依题意得 x+0.25 x=60 解得 x=48 解: 两件衣服总成本:x+y=48+80=128(元) 因为120-128=-8(元) 所以卖这两件衣服共亏损了8元. 与你猜想的一致 吗? 1.某琴行同时卖出两台钢琴,每台售价为960元.其中一台盈利20%,另一台亏 损20%.这次琴行是盈利还是亏损,或是不盈不亏? 练一练 2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元,其中 一个盈利60%,另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况? 答案:买这两个计算器盈利8元 答案:这次琴行亏本80元 例2. 一件服装先将进价提高25%出售,后进行促销活动,又按标价的8折出售, 此 时售价为60元. 请问商家是盈是亏,还是不盈不亏? 解:设这件衣服的进价是x元, 则提价后的售价是(1+25%)x 元, 促销后的售价是(1+25%)x×0.8 元, 依题意得(1+25%)x×0.8=60 解得 x=60 售价60=成本60 答:这家商店不盈不亏. 1.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售,仍获利 10%, 则该商品的标价为 元. 做一做 2.我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定下调药品的价 格,某种药品在2005年涨价30%后,2007降价70%至a元,则这种 药品在2005年涨价前价格为 元. 2725 110 39 a 当堂练习 1.某商品的进价是1000元,售价是1500元,由于销售情况不好,商店决 定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商 品? 解:设商店最多可以打x折出售此商品, 根据题意,得 1500×x/10=1000(1+5%) 解得 x=7 答:商店最多可以打7折出售此商品. 2.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便可盈利,但老板们常以高 出进价50%~100%标价,假若你准备买一双标价为600元的运动鞋,应在什么范围 内还价? 高于进价50%标价 高于进价100%标价 进价 x元 y元 标价 (1+50%)x (1+100%)y 方程 (1+50%)x=600 (1+100%)y=600 方程的解 x=400 y=300 盈利价 400(1+20%)=480 300(1+20%)=360 = 商品售价—商品进价 ●售价、进价、利润的关系式: 商品利润 ●进价、利润、利润率的关系: 利润率= 商品进价 商品利润 ×100% ●标价、折扣数、商品售价关系 : 商品售价= 标价× 折扣数 10 ●商品售价、进价、利润率的关系: 商品进价商品售价= ×(1+利润率) 销 售 中 的 盈 亏 课堂小结 6.3 实践与探索 第3课时 速率问题 学习目标 1.学会利用线段图分析行程问题,寻找等量关系,建立数学模型;(难点) 2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.(重点) 3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.(重点) 导入新课 情境引入 你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗? 讲授新课 相遇问题一 星期天早晨,小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷 锋纪念馆. 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等,小斌每小时骑 10km,他在上午10时到达;小强每小时骑 15km,他在上午9时30分 到达.求他们的家到雷锋 纪念馆的路程. 情境引入 由于小斌的速度较慢,因此他花的时间比小强花的时间多. 本问题中涉及的等量关系有: . =路程 路程 他们到达的时间差. 小斌的速度 小强的速度 - 因此,设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为s km, 解得 s = ____. 因此,小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为 km. 根据等量关系,得 . 15 15 = 0.510 15-s s 注意单位要 统一 例1.小明与小红的家相距20km,小明从家里出发骑自行车去小红家,两人 商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h, 小红骑车的速度是12 km/h. (1)如果两人同时出发,那么他们经过多少小时相遇? 分析:由于小明与小红都从家里出发,相向而行,所以相遇时,他们走的路 程的和等于两家之间的距离.即 小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km). 典例精析 解:(1)设小明与小红骑车走了x h后相遇, 则根据等量关系,得 13x + 12x = 20 . 解得 x = 0.8 . 答:经过0.8 h他们两人相遇. 小明走的路程 小红走的路程 (2)如果小明先走30min,那么小红骑车要走多少小时才能与小明相 遇? 小明先走的路程 小红出发后小明走的路程 小红走的路程 解:(2)设小红骑车走了t h后与小明相遇, 则根据等量关系,得 13(0.5 + t )+12t = 20 . 解得 t = 0.54 . 答:小红骑车走0.54h后与小明相遇. 路程=速度×时间 {甲走的路程+乙走的路程=甲、 乙之间的距离 相遇问题 总结归纳 注意相向而行的始发时间和地点 甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知A,B 两地的距离为480km,且甲车以 65km/ h的速度行驶.若两车4h后相遇,则乙车 的行驶速度是多少? 答:乙车的行驶速度是55km/h. 练一练 追及问题二 例2 小明早晨要在7:20 以前赶到距家1000米的学校 上学.一天,小明以80米/分 钟的速度出发,5分钟后,小 明的爸爸发现 他忘了带历史 作业,于是,爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明,并 且在途中追上了他. 问爸爸追上小明用了多长时间? 分析:当爸爸追上小明时,两人所走路程相等. 解:设爸爸追上小明用了x分钟,则此题的数量关系可用线 段图表示. 据题意,得 80×5+80x=180x. 答:爸爸追上小明用了4分钟. 解得 x=4. 80×5 80x 180x 一队学生步行去郊外春游,每小时走4km,学生 甲因故推迟出发30min,为了赶上队伍,甲以6km/h 的速度追赶,问甲用多少时间就可追上队伍? 答:该生用了1小时追上了队伍. 练一练 路程=速度×时间 { S快-S慢=S原来距离 追及问题 总结归纳 注意同向而行始发时间和地点 工程问题三 例3 生产的这批螺钉、螺母要打包,由一个人做要40 h 完成.现计划由一部 分人先做4 h,然后增加 2人与他们一起做8 h,完成这项工作. 假设这些人的工作 效率相同,具体应该安排多少人工作? 列表分析: 人均效率 人数 时间 工作量 前一部分工作 x 4 后一部分工作 x+2 8 40 1 40 1 × =× 40 4 x × × 40 28 )( x = 工作量之和等于总工 作量1 解:设先安排 x 人做4 h,根据题意得等量关系: 可列方程 解方程,得 4x+8(x+2)=40, 4x+8x+16=40, 12x=24, x=2. 答:应先安排 2人做4 小时. 4 8 ( 2 ) 1 4 0 4 0 x x+ + = 前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天,由乙工程队单独铺设需 要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工,要多少天可以铺好这条管线? 分析:把工作量看作单位“1‘”,则甲的工作效率为 , 1 12 乙的工作效率为 , 1 24 根据工作效率×工作时间= 工作量,列方程. 解:设要x天可以铺好这条管线,由题意得 1 12 x + 1 24 x =1 解方程,得 x=8 答:要8天可以铺好这条管线. 做一做 解决工程问题的思路: 1.三个基本量: 工程问题中的三个基本量:工作量、工作效率、工作时间, 它们之间的关系是:工作量=工作效率×工作时间. 若把工作量看作1,则工作效率= 2.相等关系: (1)按工作时间,各时间段的工作量之和=完成的工作量. (2)按工作者,若一项工作有甲、乙两人参与,则甲的工作量 +乙的工作量=完成的工作量. 1 . 工作时间 要点归纳 当堂练习 2.甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A,B两地相向而行,2小时 相遇,如果甲比乙每小时多行5千米,则乙每小时行(  ) A.30千米 B.40千米 C.50千米 D.45千米 B 1.甲每小时走5千米,甲出发4.5小时后,乙骑车从同一地点出发追 赶甲,乙用了35分钟追上甲,设乙骑车的速度为x千米/时,则所列方程 为(  ) B 3.甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑,他们同时同地反向而跑, 甲的速度是6米/秒,乙的速度是4米/秒,则他们首次相遇时,两人都跑了(   ) A.40秒 B.50秒 C.60秒 D.70秒 A 4.一项工作,甲独做需18天,乙独做需24天,如果两人合做8天后,余 下的工作再由甲独做x天完成, 那么所列方程为____________. 8 8 x 1 18 24 18    课堂小结 行程问题 路程=速度×时间 {相遇问题 追及问题 甲走的路程+乙走的路程=甲、 乙之间的距离 S快-S慢=S原来距离 解决工程问题的思路: 1.三个基本量: 工程问题中的三个基本量:工作量、工作效率、工作时间, 它们之间的关系是:工作量=工作效率×工作时间. 若把工作量看作1,则工作效率= 2.相等关系: (1)按工作时间,各时间段的工作量之和=完成的工作量. (2)按工作者,若一项工作有甲、乙两人参与,则甲的工作量 +乙的工作量=完成的工作量. 1 . 工作时间 查看更多

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