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6.2.3排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为()A．4B．C．24D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为.故选：C2．（2020·全国高二单元测试）名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有种选择，则名同学共有种报名方案.故答案为：.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有种结果，字母中包含2个，五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，可能出现的错误的种数是，故答案为：59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18
【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有种情况，所以不同的分配方法共有种.故答案为：185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．（2020·河南）年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队、、、，前往四个国家、、、进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知医疗队被派遣到国家，那么此时医疗队被派遣到国的概率是______.【答案】【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为，由于医疗队被派遣到国家，则医疗队可派遣到其它个国家，因此，医疗队被派遣到国的概率是.故答案为：；.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6B．12C．18D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得故选：B2．（2020·宁夏吴忠市·高二期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C3．（2020·陕西彬州市·高二月考）个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为A．B．C．D．【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，，所以不同的排法种数为：．4．（2020·广东广州市）2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（）A．60B．120C．144D．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排，将则不同的安排方法有种.故选：D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意男生一起有排法，女生一起有排法，一共有种排法，故选：C.．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（）A．24B．48C．60D．96
【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数，故选：B.【题组三不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得，此时共有种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有排法，甲和乙不排在第一位，则剩下3人有1人排在第一位，则有种排法，此时故共有种排法.故概率.故选：C.2．（2020·全国）将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组.①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种.故选：A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有种排法，则后六场开场诗词的排法有种，故选：C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：然后，故答案为：126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有种情况，
则位女生不相邻的排法有种；故答案为：7．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将，，，，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有__种.【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排，，有种方法，产生3个空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得：共有种，故答案为：36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________【答案】【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有个空位，③数学与物理不相邻，有个空位可选，有种情况，则不同排课法的种数是种；故答案为：.【题组四分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有种选法；再从余下的5本中选2本，有种选法；最后余下3本全选，有种选法．故共有种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有种分配方法.故答案为:360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．
①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有(种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有(种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有(种)．故答案为：1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案)【答案】90【解析】把5人按人数分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为．故答案为：90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．【答案】．【解析】将这张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有种分组办法，再分给人的不同分法有种．故答案为：．5．（2020·全国）从个人中选个人值班，第一天个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________.【答案】180【解析】.故答案为：180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种.【答案】150【解析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则一共有种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有种情况，则有种不同的安排方式；故答案为：．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有种不同情况.所以所有的不同分派方案有种.故答案为：900.【题组五几何问题】1．（2021·全国）直线，将圆面分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（）A．20B．60C．120D．240【答案】D【解析】当或时，圆面被分成2块，此时不同的涂色方法有种，当或时，圆面被分成3块，此时不同的涂色方法有种，
当时，圆面被分成4块，此时不同的涂色方法有种，所有可能的涂色种数是240．故选：D2．（2021·安徽省）表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（）A．286B．281C．256D．176【答案】C【解析】由题意可得表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为个．故选C．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( )A．70B．64C．58D．52【答案】C【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有个，不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个，以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：个.故答案为C.【题组六方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程的非负整数解的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不定方程的非负整数解的个数将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程的非负整数解的个数为.故选：C.2．（2021·湖北）若方程，其中，则方程的正整数解的个数为
A．10B．15C．20D．30【答案】A【解析】方程，其中，则将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组，第一组小球数目为第二组小球数目为第三组小球数目为共有种方法故方程的正整数解的个数为10故选【题组七数字问题】1．已知集合，从集合中任取2个元素组成集合，则集合中含有元素的概率为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】中任取2个元素组成集合，则的情况有，共6个，其中符合情况的集合为共3个，故集合中含有元素的概率为故选：C2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A．12B．44C．58D．76【答案】B【解析】分类讨论：尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共,
还可能为234,有种；尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共,还可能为124,有种；尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共；尾数为7：则前三位的数字可能为012,共.综上所述,共有种.故选：B3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有，乘积为奇数只有一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有种.故答案为：【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.4．已知，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是_______.【答案】【解析】因为，所以的可能情况有：种，又因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以满足要求的有：种，所以概率为：.故答案为：.5．（2021·宁波市）有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为个；当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为个；
当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为个.综上，可以组成不同的四位数的个数为个.故答案为：204.6．（2020·）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】【解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝．
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