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6.3二项式定理（精练）【题组一二项式定理展开式】1．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）计算等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式可变为（+）-=选项D.2．（2021·江苏无锡市））设，化简______.【答案】【解析】容易知.故答案为：.3．（2021·上海市）已知，若，则________.【答案】【解析】故答案为：4．（2018·江苏无锡市）求值__________．【答案】1【解析】通项展开式中的，故=【题组二二项式指定项的系数与二项式系数】1.（2020·湖北高二）展开式中含的项是（）A．第8项B．第7项C．第6项D．第5项【答案】C
【解析】展开式的通项公式为：；令；故展开式中含的项是第6项.故选：C.2．（2020·安徽合肥市）二项式展开式中的第2020项是（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由二项展开式，可得展开式的通项为，所以展开式中第2020项为.故选：C.3．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）二项式的展开式中，常数项为________.【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式的常数项为，故答案为：.4（2020·全国高二）已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）；（3），，.【解析】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．（2）令，得，所以含的项的系数为．
（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．【题组三多项式指定项系数或二项式系数】1．（2021·郏县）在的展开式中，项的系数为（ ）A．B．C．30D．50【答案】B【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为，故选B．2．（2021·全国）展开式中的系数为（）A．92B．576C．192D．384【答案】B【解析】展开式中含的项为，即的系数为576；故选B.3．（2020·河南鹤壁市）的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为
，故选B.4．（2020·新疆高二期末）代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）【答案】3【解析】的通项公式为.令，得；令，得.∴常数项为故答案为.5．（2020·高二期末）的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】180【解析】的展开式中的通项公式，而分别令，，解得，或．∴的展开式中的常数项．故答案为：180．6．（2020·全国高二课时练习）求的展开式中的系数.【答案】【解析】因为的展开式中含的项为，所以其系数为.故答案为：6007．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，，因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.
8．（2020·全国高二课时练习）已知的展开式中的系数是，求实数a的值.【答案】2【解析】由的展开式的通项公式为，令，可得，令，可得，所以的展开式中的系数为，解得.故答案为：.【题组四二项式定理的性质】1．（2020·安徽省六安中学高二期中）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（）A．B．C．D．7【答案】D【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项令，得所以展开式中的系数为故选：D2．（2020·利川市第五中学高二期末）若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．132B．C．D．66【答案】D【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以为偶数，展开式有13项，，
所以二项式展开式的通项为由得，所以展开式中含项的系数为.故选：D3．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二期中）展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．-180D．-90【答案】A【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，，故展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：A4．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）在的展开式中，下列说法正确的有（）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为0C．常数项为20D．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】的展开式中所有二项式系数和为，A正确；令可得的展开式中所有项的系数和为，B正确；通项为，令，所以的展开式中常数项为，C错误；的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确.故选：ABD5．（多选）（2020·苏州市第四中学校高二期中）已知（其中）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．则下列结论正确的是（）A．n的值为14B．展开式中常数项为第8项
C．展开式中有理项有3项D．二项式系数最大的项是第7项【答案】AC【解析】由题意，化简得，∵，∴．A正确；展开式通项为，显然其中无常数项，B错误；当时，为整数，因此展开式中有3项为有理项，C正确；展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D错误．故选：AC．6．（2020·山东潍坊市·高二期中）关于的说法，正确的是（）A．展开式中的二项式系数之和为2048B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最大【答案】AC【解析】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以不正确，正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以不正确.故选：AC7．（2020·河北石家庄市·高二期中）（多选题）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项【答案】CD【解析】令，可得展开式中各项系数的和为，又二项式系数的和，因为各项系数的和比它的二项式系数的和大，所以，解得，对A：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为，故A错误；
对B：因为，所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误；对C：，设展开式中系数最大的项是第项，则，解得，又，所以，所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C正确；对D：若是有理项，则当且为整数，又，，所以，所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D正确.故选：CD【题组五二项式系数或系数和】1．（2020·浙江台州市·高二期中）若，则（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】令可得：，令可得：，两式相加可得：，所以，故选：B2．（2020·奈曼旗实验中学高二期中）已知，，则自然数等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】由题意，令，则，因为，所以，解得.故选：C.3．（2020·河北石家庄市·高二期中）若，则（）A．1B．0C．D．【答案】C
【解析】，当且时，，因此，.故选：C.4．（2020·古丈县第一中学高二月考）已知多项式可以写成，则（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】由题意，多项式，即，令，可得，令，可得，两式相加，可得，可得.故选：C.5．（2020·青海高二期末）已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，则,令，可得，所以展开式中的各项系数之和为．故选：A.
6．（2020·宁夏吴忠市·）设复数（是虚数单位），则（）A．iB．C．D．【答案】D【解析】，，故选D.7．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为()A．1B．－1C．8lD．－81【答案】B【解析】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得，令，故可得，又因为，令，则，解得令，则.故选：B.8．（2020·全国高二课时练习（理））已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10．若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由二项式定理知an＝(n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数具有对称性，且最大的项是第6项，且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小，∴k的最大值为6.故选：B.
【题组六二项式定理的运用】1．（2020·全国高二课时练习）除以88的余数是（）A．2B．1C．86D．87【答案】B【解析】因为，所以除以88的余数是1.故选：B.2．（2020·全国高二课时练习）设，且，若能被13整除，则（）A．0B．1C．11D．12【答案】D【解析】由题意，因为，所以，又因为52能被13整除，所以只需能被13整除，因为，，所以.故选：D.3．（2020·江苏省高二期中）已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）A．B．1C．7D．13【答案】D【解析】因为其中能被14整除，所以的取值可以是.故选：D.4．（2020·全国高二单元测试）设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．12【答案】D【解析】512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）2020
.因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，所以上式被13除，余数为，所以要使512020+a能被13整除，因为a∈Z，且0≤a＜13，只需a+1＝13即可，故a＝12.故选：D.5．（2020·江苏盐城市·高二期中）设n∈N*，则1n80+1n﹣181+1n﹣282+1n﹣383+……+118n﹣1+108n除以9的余数为（）A．0B．8C．7D．2【答案】A【解析】因为C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n＝（1+8）n＝9n；故除以9的余数为0；故选：A.6．（2020·山东临沂市·高二期中）的近似值（精确到0.01）为（）A．1.12B．1.13C．l.14D．1.20【答案】B【解析.故选：B．7．（2020·全国高二课时练习）的计算结果精确到个位的近似值为（）A．106B．107C．108D．109【答案】B【解析】∵，∴.故选B8．（2020·江苏苏州市·高二期中）已知为正整数，若，则的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C
【解析】因为，而，所以，因此，又为正整数，，所以；故选：C.
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