七年级数学下册第9章多边形9-2多边形的内角和与外角和教案（华东师大版）.docx

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华东师大版七年级数学下册教案全套（共18份）
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9.2 多边形的内角和与外角和教学目的 1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。重点、难点 1．重点：多边形的内角和与外角和定理。 2．难点：多边形的内角和，外角和定理的推导。教学过程一、复习提问 1．什么叫三角形? 2．三角形的内角和是多少? 3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1．多边形的概念，三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。你能说出什么叫四边形、五边形吗? 一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为 n 边形，又称多边形。与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四边形 ABCD 的四个内角，延长 AB、CB 得四边形 ABCD 的两个外角∠CBE 和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个 n 边形有 n 个内角，有 2n 个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图 1，线段 AC 是四边形 ABCD 的对角线，如图 2，线段 AD、AC 是四边形 ABCDE 的对角线，如图 3 中线段 AC、AD、AE 是六边形 ABCDEF 的对角线。问：(1)四边形有几条对角线?(两条 AC、BD) (2)五边形有几条对角线? 以 A 为端点的对角线有两条 AC、AD，同样以月为端点的对角线也有 2 条，以 C 为端点也有 2 条，但 AC 与 CA 是同一条线段，以 D 为端点的两条 DA、DB 与 AD、BD 都分别表示同一条线段。所以只有 5 条。 (3)六边形有几条对角线?n 边形呢? 六边形有 9 条对角线。从以上分析可知从 n 边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么 n 个顶点，就有 n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如 AB 与 BA，所以 n 边形一共有条对角线。大家可以加以验证：当 n=3 时，没有对角线，当 n=4 时，有 2 条；当 n=5 时，有 5 条：当 n=6 时，有 9 条… 2．多边形的内角和公式。三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于 180°，那么一般 n 边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成 2 个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中 3 个三角表内角和的和。让学生填写教科书表 9.2.1,由此你可以得到“n”边形的内角和公式吗? n 边形的内角和＝(n-2)·180°知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数 n。例 1．一个多边形的内角和等于 2340°，求它的边数。问题：一个正多边形的一个内角为 150°，你知道它是几边形? 分析：正多边形的每个内角都相等。多边形的内角和等于(n-2)·180°，还可以用以下的划分来说明，即在 n 边形内任取一点 P，连结点 P 与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。对有困难的学生教师可以加以引导。如图每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此 n 边形就可划分成 n 个三角形，这 n 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的周角所得的差就是 n 边形的内角和。因此，n 边形的内角和为： n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180° 问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。 3．多边形的外角和。什么叫多边形的外角和。与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和，如教科书图 9.2.6，∠1+∠2+∠3+∠4 就是四边形的外角和。多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨。因为 n 边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和。 n 边形的内角与外角的总和为 n·180° n 边形的内角和为(n-2)·180° 那么 n 边形的外角和为 n·180°－(n－2)·180°=n·180°-n·180°+360°=360° 这就是说多边形的外角和与边数无关，都等于 360°。例 2．一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36°，求这个正多边形的边数。分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是 360°，因此只要求出每个外角度数，就可知是几边形了。点拨；多边形的外角和等于 360°，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。三、小结本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。由于多边形的外角和等于 360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。查看更多

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