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6.3 实数/
6.3 实数
第一课时
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人教版 数学 七年级 下册6.3 实数/
实数的概念、分类、与数轴的关系
第一课时
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毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概
念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为
整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．
有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，
又不是整数之比的怪东西．这个学生叫希伯斯，他研究了一个
边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度是 ．
1
1
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既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的
看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事
告诉了老师．
毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的
数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．他下
令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学
时立下的誓言．
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希伯斯很不服气．他想，不承
认这是数，岂不等于是说正方形的对
角线没有长度吗？为了坚持真理，
捍卫真理，希伯斯将自己的发现传扬
了开去．直到最近几百年，数学家们
才弄清楚，它确实不是整数，也不是
分数，而是一种新的数，那是什么呢？
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1. 了解实数的意义，并能将实数按要求进行准
确的分类.
2. 熟练掌握实数大小的比较方法.
素养目标
3. 了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴
上的点表示无理数.
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（1）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有
理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？
（2）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现
？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗
？
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知识点 1 实数的概念和分类实数的概念和分类
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事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
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无限不循环的小数 ---------- 叫做无理数.
你能举出一些无理数吗？
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
－168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2
〕
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=1.41421356237309504880168…
=1.70997594667669698935310…
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【思考】我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的
分类，据此你能给实数分类吗？
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
（1）按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈
妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有π的数
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负实数 正实数
数实
正有理数 负有理数
（2）按性质分
0
正无理数 负无理数
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（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合 无理数集合
1.把下列各数分别填入相应的集合内：
巩固练习
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无理数：
有理数：
负实数：
正实数：
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
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素 养 考 点 1 实数的分类
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2. 把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）负数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
巩固练习
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如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一
周，圆上一点从原点到达A点，则点A的坐标为多少？
-4 -2 0 1 2 3 4-1-3
无理数 可以用数轴上的点来表示.
A
问题1 无理数能在数轴上表示出来吗？
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知识点 2 实数与数轴的关系
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－2 －1 0 1 2
-
问题2（1）你能在数轴上表示出 吗？
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（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗
？
－2 －1 0 1 2
B A
C
在数轴上表示的两
个实数，右边的数
总比左边的数大.
数轴上的点有些
表示有理数，有
些表示无理数.
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每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上
的每一点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.
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例2 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，
点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，
∴点B到点A的距离为1＋ ，则点C到点A的距离为1+ ，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x，
∴-1-x＝1＋ ，
∴x＝-2-
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素 养 考 点 1 求数轴上的点表示的实数值
A B
-1 0
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3.如果以2为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角
线为半径画弧，与正半轴的交点就表示______，与负半轴的交
点就表示________.
4.请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
，-1.5， ， ，3
解：点A、B、C、D、E分别对应_____、 ___、___、___、___.
4
3
巩固练习
-1.5
CDEA B
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与有理数一样，实数也可以比较大小：
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比
左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数负实数
<
正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
与有理数一样，在实数范围内：
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知识点 3 实数大小的比较
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，2可以分别看作是
面积为5，4的正方形的边
长，容易说明：面积较大
的正方形，它的边长也较
大，因此
同样，因为5
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