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3.1.1 实数指数幂及其运算(二)【学习要求】1.理解规定分数指数幂的意义.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.3.理解有理指数幂的含义及其运算性质.4.了解无理指数幂的意义.【学法指导】通过类比、归纳,理解分数指数幂的有关运算性质,加深根式与分数指数幂关系的理解,提高归纳、概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1.正数的正分数指数幂:a＝ ()m ＝ (a>0,m,n∈N＋,且为既约分数).2.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即 a-＝(a>0,m,n∈N＋,且为既约分数).3.ar·as＝ar＋s(a>0,r,s∈Q).4.(ar)s＝ars_(a>0,r,s∈Q).5.(ab)t＝atbt(a>0,b>0,t∈Q).研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 我们知道,()2,()3,…,它们的值分别为,,….那么,2,2,2,2……的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.探究点一 分数指数幂问题1 什么叫实数？答： 有理数,无理数统称实数.问题2 根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律？①＝＝a2＝a(a>0);②＝＝a4＝a(a>0);③＝＝a3＝a(a>0).答： 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂形式.问题3 当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式？答：可以.例如＝a(a>0),＝b(b>0),＝c(c>0),即一般式有＝a(a>0,m,n∈N＋,且为既约分数).小结：正分数指数幂的定义为:a＝(a>0);a＝()m＝(a>0,n,m∈N＋,且为既约分数).负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,即:a－＝(a>0,m,n∈N＋).定义了分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法.问题4 定义了分数指数幂的意义后,指数幂的概念就从整数指数幂推广到有理指数幂,那么整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否还适用？答：2/2
由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理指数幂,即:(1)ar·as＝ar＋s(a>0,r,s∈Q)(2)(ar)s＝ars(a>0,r,s∈Q)(3)(a·b)r＝arbr(a>0,b>0,r∈Q)例1 求下列各式的值:8;25－;－5;－.解：略小结：在进行求解时,首先要把比较大的整数化成比较小的数的指数幂的形式,还要熟练掌握分数指数幂的运算性质,化负指数为正指数,同时还要注意运算的顺序问题.跟踪训练1用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):a3·;a2·;.解：略例2 计算下列各式(式中字母都是正数).(1)(2ab)(－6ab)÷(－3ab);(2)(mn－)8.解：略小结：一般地,进行指数幂运算时,可按系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.跟踪训练2 计算下列各式:(1)(－)÷;(2)(a>0).解：略探究点二 无理指数幂问题1 阅读教材88页的上半页,你能说出3的意义吗？答：当不足近似值从小于的方向逼近时,3的近似值从小于3的方向逼近3;当的过剩近似值从大于的方向逼近时,3的近似值从大于3的方向逼近3,所以3是一个确定的实数.问题2 无理指数幂ap(a>0,p是一个无理数)有何意义？答：无理指数幂ap(a>0,p是一个无理数)是一个确定的实数,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小的.问题3 无理指数幂ap(a>0,p是一个无理数)有怎样的运算性质？答： 有理指数幂的性质同样适用于无理指数幂.小结： 一般地,当a>0,为任意实数值时,实数指数幂aα都是有意义的.可以证明,对任意实数值α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立.例3 化简下列各式:小结：化简的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母,又含有负指数.跟踪训练3 计算下列各式:(1)0＋2－2·－－(0.01)0.5;(2)(0.0001)－＋27－－＋()－1.5.解：略2/2
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