资料简介
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2019-2020 学年山东省济宁市邹城一中高一数学下学期期中
检测试题
一、单选题
1．若复数 满足： ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得 ，根据复数模
的定义及运算即可求解.
【详解】
复数 满足 ，
则 ，
由复数除法运算化简可得
，
由复数模的定义及运算可得 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题.
2．已知 ， ， 为坐标原点， .点 在 轴
上，则 的值为( )
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设点 ，根据向量相等，列方程，即可求解.
【详解】
设点
， ，
z (1 ) 2z i⋅ + = | |z =
2 3
z
z (1 ) 2z i⋅ + =
2
1 iz = +
( )
( )( )
2 12 11 1 1
iz ii i i
−= = = −+ + −
( )221 1 2z = + − =
( )3, 1A − ( )3,2B O ( )2 ROP OA OBλ λ= + ∈ P x
λ
1− 2−
( ),0P a
( ),0P a
( ),0OP a= ( )3, 1OA = − ( )3,2OB =第 2 页 共 20 页
则
则有
解得
故选：
【点睛】
本题考查向量相等的坐标表示，属于基础题.
3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 B′O′＝C′O′
＝1，A′O′＝ ，那么原△ABC 的面积是( )
A． B．2
C． D．
【答案】A
【解析】先根据已知求出原△ABC 的高为 AO＝ ，再求原△ABC 的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC 的高为 AO＝ ，
∴S△ABC＝ ×BC×OA＝ ×2× ＝ ，故答案为 A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握
水平和分析推理能力.
4．已知 的角 A、B、C 所对的边为 a、b、c， ， ， ，则
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由已知结合余弦定理，得到关于 的方程，即可得答案．
( ) ( ) ( ),0 6, 2 3 ,2a λ λ= − +
6 3
0 2 2
a λ
λ
= +
= − +
1
9a
λ =
=
B
3
2
3 2
3
2
3
4
3
3
1
2
1
2 3 3
ABC 7c = 1b = 2
3C
π= a =
5 3
a第 3 页 共 20 页
【详解】
由余弦定理可得， ，
即 ，整理可得 ，
解可得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解
能力，属于基础试题．
5．已知正方体的棱长为 1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正方体性质知，它的外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，利用球体积，
表面积公式计算得结果.
【详解】
由正方体性质知，它的外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，
，
： ：2
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题.
6．设 ，其中 ，则以下结论正确的是（ ）
A． 对应的点在第一象限 B． 一定不为纯虚数
C． 对应的点在实轴的下方 D． 一定为实数
【答案】C
【解析】根据 ， 可正可负也可为 0，即可判定.
【详解】
2 2 2
cos 2
a b cC ab
+ −=
21 1 7
2 2
a
a
+ −− = 2 6 0+ − =a a
2a =
18:1 3:1 3 3 :1 3 : 2
3
2
1
2
3
2R = 1
2r =
3 24 3 43 2V R S rπ π π π∴ = = = =球 球，
V∴ 球 S球 3=
( ) ( )2 22 5 3 2 2z t t t t i= + − + + + t ∈R
z z
z z
( )22 2 2 1 1 0t t t+ + = + + > 22 5 3t t+ −第 4 页 共 20 页
， 不可能为实数，所以 D 错误；
对应的点在实轴的上方，又 与 对应的点关于实轴对称， 对应的点在实轴的
下方，所以 C 正确；
， 对应的点在第二象限，所以 A 错误；
， 可能为纯虚数，所以 B 错误；
C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
7．若 ，且 ，那么 是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】【详解】
解析：由题设可得
由题设可得 ，
即该三角形是等边三角形，应选答案 B．
8．如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由平面向量基本定理和向量运算求解即可
【详解】
( )22 2 2 1 1 0t t t+ + = + + > z∴
z∴ z z z
213 ,2 5 3 02t t t− < < + − < z
21 ,2 5 3 02t t t= + − = z
∴
( )( ) 3a b c b c a bc+ + + − = sin 2sin cosA B C= ABC
2 2 2
2 2 2 1cos ,2 2 3
b c ab c a bc A Abc
π+ −+ − = ⇒ = = ⇒ =
2 2 2
2 22 cos 2 02
a b ca b C a b b c b cab
+ −= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
AF =
3 1
4 4AB AD+ 1 3
4 4AB AD+
1
2 AB AD+ 3 1
4 2AB AD+ 第 5 页 共 20 页
根据题意得： ，又 ， ，所以
.
故选 D.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.
9．设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】
A.若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若 ， ，则 与 可能的位置关系有相交、平行或 ,所以不正确.
C.若 ， ，则可能 ，所以不正确.
D.若 ， ，由线面平行的性质过 的平面与 相交于 ，则 ，又 .
所以 ，所以有 ，所以正确.
故选：D
【点睛】
本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 ，大圆
柱底面半径为 ，如图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，如图 2 放置容器
时，液面以上空余部分的高为 ，则 （ ）
1 ( )2AF AC AE= + AC AB AD= + 1
2AE AB=
1 1 3 1( )2 2 4 2AF AB AD AB AB AD= + + = +
α β
//l α //l β //α β α β⊥ //l α l β⊥
α β⊥ l α⊥ //l β //l α l β⊥ α β⊥
//l α //l β α β
α β⊥ //l α l β l β⊆
α β⊥ l α⊥ l β⊆
//l α l β⊥ l α l′ l l′ l β⊥
l β′ ⊥ α β⊥
1r
2r 1h
2h 1
2
h
h
=第 6 页 共 20 页
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.
【详解】
在图 1 中，液面以上空余部分的体积为 ；在图 2 中，液面以上空余部分的体积为
.因为 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
11．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距 10 海里的灯塔恰好与它在一条直线
上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上,另一灯塔在船的南偏西 75°
方向上,则这艘船的速度是 ( )
A．5 海里/时 B． 海里/时 C．10 海里/时 D． 海里/时
【答案】C
【解析】在 中，计算得到 ， ，在
计算得到 ，得到答案.
【详解】
如图依题意有 , ,
2
1
r
r
2
1
2
r
r
3
2
1
r
r
2
1
r
r
2
1 1r hπ
2
2 2r hπ 2 2
1 1 2 2r h r hπ π=
2
1 2
2 1
h r
h r
=
5 3 10 3
ACD∆ 15CAD CDA °∠ = ∠ = ⇒ 10CD CA= =
Rt ABC∆ AB
60BAC °∠ = 75BAD °∠ =第 7 页 共 20 页
∴ ,从而 ,
在 中,求得 ,
∴这艘船的速度是 (海里/时)
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，属于简单题.
12．对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以选项A 正确；当 与 方向相反时，
不成立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选
项 C 正确； ，所以选项 D 正确．故选 B．
【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．
13．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为
的中心 ，则 与底面 所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ，设侧棱与底面边长都等于 ，计算
， ， ， ，再根据点 到底面
的距离等于点 到底面 的距离，求解 与底面 所成角的正弦值，即可.
【详解】
如图所示，设三棱柱 的侧棱与底面边长都等于 .
15CAD CDA °∠ = ∠ = 10CD CA= =
Rt ABC∆ 5AB =
5 100.5
=
,a b
a b a b⋅ ≤
||a b a b− ≤ −
2 2( ) | |a b a b+ = +
2 2( )( )a b a b a b+ − = −
cos ,a b a b a b a b⋅ = 〈 〉 ≤ a b
a b a b− ≤ −
( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −
1 1 1ABC A B C− 1A ABC
ABC∆ O 1AC ABC
2
3
7
3
6
3
5
3
1, , ,OA OB OC AC a
3
3AO a OC= = 1
6
3AO a= 1AC a=
1 3AC a= 1C ABC
1A ABC 1AC ABC
1 1 1ABC A B C− a第 8 页 共 20 页
连接 ，则 .
在 中， ，得 .
在 中， ，即 ，
则 为等边三角形，所以 .
在菱形 中，得 .
又因为点 到底面 的距离等于点 到底面 的距离
所以 与底面 所成角的正弦值为 .
即 与底面 所成角的余弦值为 .
故选：B
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.
14．若 为 所在平面内任意一点，且满足 ，则
一定为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】由向量的线性运算可知 ，所以
，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得 ，
进而可得 ，即可得出答案.
【详解】
1, , ,OA OB OC AC 3
3AO a OC= =
1Rt AOA∆ 2 2 2
1 1A A AO OA= +
1
6
3AO a=
1Rt AOC∆ 2 2 2 2
1 1AC AO OC a= + = 1AC a=
1A AC∆ 1 60A AC∠ =
1 1ACC A 1 1 1120 , 3AAC AC a∠ = =
1C ABC 1A ABC 1
6
3AO a=
1AC ABC
6
23
33
a
a
=
1AC ABC 7
3
O ABC ( )2 0BC OB OC OA⋅ + − =
ABC
2OB OC OA AB AC+ − = +
( ) 0BC AB AC⋅ + = BC AD⊥
AB AC=第 9 页 共 20 页
由题意， ，
所以 ，
取 的中点 ，连结 ，并延长 到 ，使得 ，连结 ， ，
则四边形 为平行四边形，所以 .
所以 ，即 ，
故 ， 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基
础题.
二、多选题
15．在下列向量组中，不能把向量 表示出来的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ACD
【解析】根据向量的坐标运算，如果选项中的两个向量是共线向量，则不能把向量
表示出来.
【详解】
( ) ( )2OB OC OA OB OA OC OA AB AC+ − = − + − = +
( ) 0BC AB AC⋅ + =
BC D AD AD E AD DE= BE EC
ABEC AB AC AE+ =
0BC AE⋅ = BC AD⊥
AB AC= ABC
(3,2)a =
1 (0,0)e =
2 (1,2)e =
1 ( 1,2)e = −
2 (5, 2)e = −
1 (3,5)e =
2 (6,10)e =
1 (2, 3)e = −
2 ( 2,3)e = −
(3,2)a =第 10 页 共 20 页
对 A，零向量与任何向量都是共线向量，故 ， 不能做为一组基底，
故 A 不能；
对 B， ，∴ ， 不共线，故 B 能．
对 C，∵ ，∴ ， 不能做为一组基底，故 C 不能．
对 D， ，∴ ， 不能做为一组基底，故 D 不
能．
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查向量共线的坐标运算、平面向量基本定理的应用，解题的关键是判断向量
是否共线，属于基础题．
16．下列说法正确的是（ ）
A．在 中，
B．在 中，若 ，则
C．在 中，若 ，则 ；若 ，则
D．在 中，
【答案】ACD
【解析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项，即可得答案．
【详解】
对于 A，由正弦定理 ，可得：
，故 A 正确；
对于 B，由 ，可得 ，或 ，即 ，或
，
，或 ，故 B 错误；
对于 C，在 中，由正弦定理可得 ，因此
是 的充要条件，故 C 正确；
对于 D，由正弦定理 ，
可得右边 左边，故 D 正确．
故选：ACD．
【点睛】
1 (0,0)e =
2 (1,2)e =
( 1) ( 2) 5 2− × − ≠ ×
1 ( 1,2)e = −
2 (5, 2)e = −
3 10 5 6× = × 1 (3,5)e =
2 (6,10)e =
2 3 ( 2) ( 3)× = − × −
1 (2 3)e = −
2 ( 2,3)e = −
ABC : : sin :sin :sina b c A B C=
ABC sin 2 sin 2A B= A B=
ABC sin sinA B> A B> A B> sin sinA B>
ABC sin sin sin
+= +
a b c
A B C
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
: : 2 sin : 2 sin : 2 sin sin :sin :sina b c R A R B R C A B C= =
sin 2 sin 2A B= A B= 2 2A B π+ = A B=
2A B
π+ =
a b∴ = 2 2 2+ =a b c
ABC∆ sin sinA B a b A B> ⇔ > ⇔ > A B>
sin sinA B>
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
2 sin 2 sin 2sin sin sin sin
b c R B R C RB C B C
+ += = = =+ +第 11 页 共 20 页
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思
想，属于基础题．
17．在 中， ， ， ，则角 B 的值可以是（ ）
A．105º B．15º C．45º D．135º
【答案】AB
【解析】由已知结合正弦定理可求 ，再结合三角形的内角和定理，即可得答案．
【详解】
， ， ，
由正弦定理可得， 即 ，∴ ，
， ，则 或 ，
则角 或 ．
故选：AB．
【点睛】
本题考查正弦定理在求解三角形中的应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思
想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力．
18．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A．若 ，则 ；
B．已知 ， ，若 ，则 ；
C．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为 30º；
D．
【答案】BCD
【解析】通过举反例知 A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知 B 正确，由向量加
减法的意义知，C 正确，通过化简计算得 D 正确．
【详解】
对 A，当 时，可得到 不成立；
对 B， 时，有 ， ，故 B 正确．
对 C，当 时， 、 、 这三个向量平移后构成一个等边三角形，
ABC 5 2a = 10c = 30A = °
C
5 2a = 10c = 30A = °
sin sin
a c
A C
=
5 2 10
1 sin
2
C
= 2sin 2C =
a c
a b θ
| |a b− 2| |a b−
| | 4a = | | 3b =
2 2(2 3 ) (2 ) 4 | | 3| | 4 37 4 61a b a b a b a b a b− ⋅ + = − − ⋅ = − ⋅ =
∴ | | | | cos , 6a b a b a b⋅ = ⋅ < >= − 第 16 页 共 20 页
∴ ，∴ ，
∴向量 与 的夹角 .
（2） ，
.
【点睛】
本题考查数量积表示两个向量的夹角、向量的模，考查函数与方程思想、转化与化归思
想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
24．已知复数 （ 为虚数单位）.
（1）若 ，求复数 的共轭复数；
（2）若 是关于 的方程 一个虚根，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2）2．
【解析】分析：（1）因为 ，所以 ，求出 ，即可得到 的共
轭复数；
（2）将 代入方程 ，根据复数相等可求求实数 的值.
详解：（1）因为 ，所以 ，
所以复数 的共轭复数为 .
（2）因为 是关于 的方程 的一个虚根，
所以 ，即 .
又因为 是实数，所以 .
点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计
算能力，属于基础题．
25．在锐角 中， 分别是角 所对的边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1） ；(2) .
1cos , 2a b< >= − , 120a b< >=
a b 120θ = °
2 2 2| | | | | | 2 16 9 12 37a b a b a b− = + − ⋅ = + + =
| | 37a b∴ − =
1 2z i= − i
0 02z z z z⋅ = + 0z
z x 2 5 0x mx− + = m
2 i−
0 02z z z z⋅ = + 0
2
1
zz z
= − 0z 0z
1 2z i= − 2 5 0x mx− + = m
0 02z z z z⋅ = + ( )
0
2 1 22 21 2
izz iz i
−= = = +− −
0z 2 i−
z x 2 5 0x mx− + =
( ) ( )21 2 1 2 5 0i m i− − − + = ( ) ( )2 2 4 0m m i− + − =
m 2m =
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 3 2 sina c A=
C
7c = ABC∆ 3 3
2
+a b
60 5第 17 页 共 20 页
【解析】（1）由 ，利用正弦定理可得 ，结合 是锐角可得
结果；(2)由 ，可得 ，再利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为
所以由正弦定理得 ,因为 ，
所以 ,
因为 是锐角，
所以 .
(2)由于 ， ，
又由于
，
，
所以 .
【点睛】
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、
简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中
含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
26．如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形， 垂直于底面 ，
.
3 2 sina c A= 3sin 2C = C
1 sin2 ab C = 3 3
2
6ab =
3 2 sina c A=
3sin 2sin sinA C A= sin A 0≠
3sin 2C =
C
60C =
1 sin2 ab C = 3 3
2
6ab∴ =
2 2 2 2 cos60c a b ab= + −
( ) ( )2 27 3 18a b ab a b= + − = + −
( )2 25a b+ =
5a b+ =
S ABCD− SD ABCD
1SD =第 18 页 共 20 页
（1）求平面 与平面 所成二面角的大小；
（2）设棱 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据题意可证明 ，所以 即为平面 与平面 所
成二面角的平面角，结合线段关系即可求得 的大小；
（2）根据题意，可证明 和 ，从而由线面垂直的判定定理证明
平面 ，即可得 ，所以异面直线 与 所成角为 .
【详解】
（1）由题意可知底面 是边长为 1 的正方形，
则 ，
又因为 垂直于底面 ， 平面 ，
则 ，
由于 ，
则 平面 ，
而 平面 ，
所以 ，
则 即为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由 可知，
在 中， ；
（2）由 ，且 ， 为棱 的中点，
所以由等腰三角形性质可知 ,
又因为 ，且 ，
所以 平面 ，
SBC ABCD
SA M DM SB
45 90
BC SC⊥ SCD∠ SBC ABCD
SCD∠
DM SA⊥ BA DM⊥
DM ⊥ SAB DM SB⊥ DM SB 90
ABCD
BC CD⊥
SD ABCD BC ⊂ ABCD
SD BC⊥
SC CD C∩ =
BC ⊥ SDC
SC ⊂ SDC
BC SC⊥
SCD∠ SBC ABCD
1SD DC= =
Rt SCD 45SCD∠ =
1SD AD= = SD AD⊥ M SA
DM SA⊥
BA AD⊥ SD BA⊥
BA ⊥ SDA第 19 页 共 20 页
而 平面 ，
所以 ，而 且 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以 ，
则异面直线 与 垂直，所以异面直线 与 的夹角为 .
【点睛】
本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断线线
垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题.
27．如图，四棱锥 中， 平面
分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解
【解析】（1）设 交点为 ，连接 ，则可根据 是 中位线求证
，进而得证；
（2）由线段关系可证 ，又由 平面 可得 ，进而可得
，再结合四边形 是菱形可得 ，即可求证；
【详解】
（1）
DM ⊂ SDA
BA DM⊥ DM SA⊥ BA SA A∩ =
DM ⊥ SAB
SB ⊂ SAB
DM SB⊥
DM SB DM SB 90
P ABCD− AP ⊥ 1, // , , ,2PCD AD BC AB BC AD E F= =
,AD PC
/ /AP BEF
BEF ⊥ PAC
,AC BE O OF OF APC∆
OF AP
BE CD∥ AP ⊥ PCD AP CD⊥
BE AC⊥ ABCE BE AC⊥第 20 页 共 20 页
设 交点为 ，连接 ，又 ，
又 ，所以四边形 是菱形，则 是 中点，
又 为 中点， 是 中位线， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）由（1）可知四边形 是菱形， ，又 平面 可得
，
为 中点可得 ，又 ， 四边形 为平行四边形，
，
， ， 平面 ，又 平面 ，
平面 平面
【点睛】
本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题
,AC BE O OF 1 ,2AB BC AD= = BC AE∴ =
/ /AD BC ABCE O AC
F PC ∴ OF APC∆ OF AP∴
AP ⊄ BEF OF ⊂ BEF ∴ / /AP BEF
ABCE BE AC∴ ⊥ AP ⊥ PCD
AP CD⊥
E AD BC ED= / /AD BC ∴ BCDE
CD BE
AP BE∴ ⊥ AC AP A= BE∴ ⊥ PAC BE ⊂ BEF
∴ BEF ⊥ PAC
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