资料简介
数学
一、选择题（每小题 5 分，合计 50 分）
1．若直线过点( ,－3)和点( ,－4),则该直线的方程为（ ）
A．y＝ x－4 B. y＝ x＋4 C . y＝ x－6 D. y＝ x＋2
2. 不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
3．如果 A(3, 1)、B(－2, k)、C(8, 11)在同一直线上，那么 k 的值是（ ）
A. －6 B. －7 C. －8 D. －9
4．下列四个命题中错误的是( )
A．若直线 ，b 互相平行，则直线 ，b 确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
5. 在△ABC 中， ＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ ）
A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定
6．设 m，n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面，有以下四个命题：
①Error!⇒β∥γ；②Error!⇒m⊥β；③Error!⇒α⊥β；④Error!⇒m∥α.其中正确的命题
是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
7. 在△ABC 中，若 ，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 AD 的中点，则异面直线 C1E 与 BC 所成的角的
余弦值是( )
A.
1
3 B.
10
10 C.
10
5 D.
2 2
3
9．已知 b> >0 且 ＋b=1，则有 （ ）
2 01
x
x
− −< xxx 或 { }12 >+>
2
1222 aabbab >>>+> 22
122
ababba 22
122 >>>>+ a a a
1 1 1ABC A B C− BCAB ⊥ 21 === AABCAB
π48 π32 π12 π8
)1,2( −P x y ba, ba 3=
l 3 2 0mx y m− + + = ( )m R∈ l
ABC∆ sin 2cos cosC A B= 2 2sin sinA B+
111 CBAABC −（2）求二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值．
20．(4 分+8 分)直线 过点 且斜率为 ＞ ，将直线 绕 点按逆时针方向旋转 45
°得直线 ，若直线 和 分别与 轴交于 ， 两点．（1）用 表示直线 的斜率；（2）
当 为何值时， 的面积最小？并求出面积最小时直线 的方程．
21．(4 分+8 分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧 BC⌒
组成，其中 AC 为 2 百米，AC⊥BC，∠A 为
π
3 ．若在半圆弧 BC⌒
，线段 AC，线段 AB 上各建一个
观赏亭 D，E，F，再修两条栈道 DE，DF，使 DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（
π
3
≤θ＜
π
2
）．
（1）试用 θ 表示 BD 的长；
（2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大.
l )1,2(−P kk( )1 l P
m l m y Q R k m
k PQR∆ l22. (6 分+6 分)已知函数 ,
（1）若存在 ，使得不等式 有解，求实数 的
取值范围；
（2）若函数 满足 ，若对任意 且 ，不等式
恒成立，求实数 m 的最大值．
高一数学期中试卷答案 2019.4
一选择题:
k
( )g x [ ]( ) ( ) 2 2 2x xf x g x −⋅ + = − x∈R 0x ≠
(2 ) ( ) 10g x m g x⋅ −≥
2 1( ) 2 1
x
xf x
−= +
0, 2
πθ ∈
2 2(sin sin ) (2sin )f f kθ θ θ− < −A C D C B C D A B C
二、填空题:
11. 12. 13. 或 ； 14. 9
15. 16.
三、解答题:
17. (1)证明:由直三棱柱 ,得 ………………………………2 分
………………………5 分
(2)因为三棱柱 为直三棱柱,所以 ,又 ,
而 , ,且 ,
所以 ……………8 分
又 ,所以平面 ⊥平面 …………………………………10 分
18. 解：（1）因为锐角△ABC 中， ，所以
又 A＋B＋C＝ ， 所以 . ……….4 分
（2） ， ，即 ，
……….6 分
将 ， ， 代入余弦定理： 得：
， ……….11 分
即 . ………..12 分
19. 解析：（1）连接 OC，由 AD= BD 知，点 D 为 AO 的中点，
又∵AB 为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵ AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO 为等边三角形，∴CD⊥AO． ……….2 分
∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D，
∴PD⊥平面 ABC，又 CD⊂平面 ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面 PAB，PA⊂平面 PAB，
∴PA⊥CD． ……….6 分
（2）过点 D 作 DE⊥PB，垂足为 E，连接 CE，
由（1）知 CD⊥平面 PAB，又 PB⊂平面 PAB，
111 CBAABC − 1 1 / /A B AB
111 CBAABC − 1AB BB⊥ AB BC⊥
1BB ⊂ 面 1 1BCC B BC ⊂ 面 1 1BCC B 1BB BC B=
AB ⊥ 面 1 1BCC B
AB ABD⊂ 面 ABD 1 1BCC B
1cos( ) cos 3B C A+ = − = −
1 1 2 2sin2 2 3ABCS bc A bc∆ = = ×
1 2 2 22 3bc∴ × = 3c b
=
2a = 1cos 3A = 3c b
= 2 2 2a b c 2bccosA＝ ＋ －
4 26 9 0b b− + =
b = 3
{ }2 4x x< < π12 013 =++ yx 02 =+ yx
( 2,3)− 3 2
2
−
1 1 ABD,AB ABD,A B ⊄ ⊂而 面 面 1 1 // ABD,A B所以 平面
2 2sin 3A = 1cos 3A =
π∴CD⊥PB，又 DE∩CD=D，
∴PB⊥平面 CDE，又 CE⊂平面 CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC 为二面角 C﹣PB﹣A 的平面角．……….9 分
设 AB=4,则由（1）可知 CD= ，PD=BD=3，
∴PB=3 ，则 DE= = ，
∴在 Rt△CDE 中，tan∠DEC= = ，
∴cos∠DEC= ，即二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值为 ．……….12 分
20. 解：(1)设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ，
………4 分
(2)直线 的方程为 ，直线 的方程为
令 ，得 ，∴
……….6 分
∵ ，∴ ≥
………9 分
由 得 舍去 ，∴当 时， 的面积最小，
最小值为 ，此时直线 的方程是 ．………12 分
21. 解：（1）连结 DC．在△ABC 中，AC 为 2 百米，AC⊥BC，∠A 为
π
3 ，
所以∠CBA＝
π
6 ，AB＝4，BC＝2 3．因为 BC 为直径，所以∠BDC＝
π
2 ，
所以 BD＝BCcosθ＝2 3cosθ． ……….4 分
15
5
15
5
l α m °+ 45α
k
kkm −
+=−
+=+°=
1
1
tan1
tan1)45tan( α
αα
l )2(1 +=− xky m )2(1
11 +−
+=− xk
ky
0=x k
kyky RQ −
+=+=
1
3,12 ||||2
1
PRQPQR xyyS ⋅−=∆ |1
)1(2|
2
−
+=
k
k
1>k 1
12|1
)1(2|
22
−
+⋅=−
+=∆ k
k
k
kS PQR ]21
2)1[(2 +−+−=
kk )12(4 +
1
21 −=−
kk 21(12 −=+= kk ) 12 +=k PQR∆
)12(4 + l 0322)12( =++−+ yx（2）在△BDF 中，∠DBF＝θ＋
π
6 ，∠BFD＝
π
3 ，BD＝2 3cosθ，
所以
DF
sin(θ＋)＝
BF
sin(－θ)＝
BD
sin∠BFD，
所以 DF＝4cosθsin(
π
6 ＋θ)，且 BF＝4cos 2
θ，所以 DE＝AF=4－4cos 2
θ，
……….6 分
所以 DE＋DF＝4－4cos 2
θ＋4cosθsin(
π
6 ＋θ)= 3sin2θ－cos2θ＋3
＝2 sin(2θ－
π
6 )＋3． ………8 分
因为
π
3 ≤θ＜
π
2 ，所以
π
2 ≤2θ－
π
6 ＜
5π
6 ，
所以当 2θ－
π
6 ＝
π
2 ，即θ＝
π
3 时，DE＋DF 有最大值 5，此时 E 与 C 重合．………11 分
答：当 E 与 C 重合时，两条栈道长度之和最大……….12 分
22. 解：（1）
．
对任意 ， 有：
．
因为 ，所以 ，所以 ，
因此 在 R 上递增．………………………………………2 分
令 ,则 且
，所以 ，
即 在 时有解．
当 时， ，所以 ．…………………………6 分
(2)因为 ，所以 ( )， ………7 分
所以 ．
不等式 恒成立，
即 ，
， ………………10 分
因为 ，由基本不等式可得： ，当且仅当 时，等号成立．
所以 ，则实数 m 的最大值为 ．…………………………12 分
( ) 2 1 212 1 2 1
x
x xf x
−= = −+ +
1 2,x x ∈ R 1 2x x<
1 2
2 1 2 11 2
2 2 2(2 2 )( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1)
x x
x x x xf x f x
−− = − =+ + + +
1 2x x< 1 22 2 0x x− < ( ) ( )1 2f x f x<
( )f x
2 2( ) (2 )f t t f t k− < − 2 22t t t k− < −
2k t t< +
[ ]( ) ( ) 2 2 2x xf x g x −⋅ + = − ( ) 2 2x xg x −= + 0x ≠
( ) 2 2 22 2 2 (2 2 ) 2x x x xg x − −= + = + −
(2 ) ( ) 10g x m g x⋅ −≥
2(2 2 ) 2 2 2 ) 10(x x x xm− −+ − + −⋅≥
4 2m≤ 4 2
sint θ= [ ]0,1t ∈
[ ]0,1t ∈
[ ]0,1t ∈ 2
max( ) 2t t+ = 2k <
82 2 , 2, 2 .x xr r rr
−= + > ≤ >令 则m r + 在 时恒成立
2r > 8+ 4 2r r
≥ 2 2r =
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