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2019年高中数学第二章平面向量同步练习（共6套新人教A版必修4）
2019高中数学第二章平面向量练习（共6套）新人教A版必修4
资料简介
平面向量的数量积
分层训练·进阶冲关
A组 基础练(建议用时20分钟)
1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m·n= ( C )
A.12 B.12 C.-12 D.-12
2.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为 ( B )
A.45° B.135° C.120° D.150°
3.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|= ( B )
A.5 B.3 C.2 D.2
4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于 ( A )
A.7 B.6 C.5 D.4
5.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于 ( A )
A. B.- C.± D.1
6.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为 ( C )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均不正确
7.已知|a|=2,|b|=10,=120°,则b在a方向上的投影是 -5 ,a在b方向上的投影是 -1 .
8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么a·b=
-63 .
9.已知=(-2,1),=(0,2),O为坐标原点,且∥,⊥,则点C的坐标是 (-2,6) .
10.已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是.
- 6 -
11.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.
(1)求向量a,b的夹角.
(2)求|a-b|.
【解析】(1)设向量a,b的夹角为θ,因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=;
又|a|=1,所以|b|=.
因为a·b=,所以|a|·|b|cos θ=,
所以cos θ=.
所以向量a,b的夹角为45°.
(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2=,
所以|a-b|=.
12.已知向量a=(1,2),b=(x,1),
(1)当x为何值时,使(a+2b)∥(2a-b)?
(2)当x为何值时,使(a+2b)⊥(2a-b)?
【解析】(1)由a=(1,2),b=(x,1),得
a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3).
因为(a+2b)∥(2a-b),
所以3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=.
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),
所以(2x+1)(2-x)+12=0,
解得x=-2或x=.
B组 提升练(建议用时20分钟)
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13.定义:|a×b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 ( B )
A.-8 B.8 C.-8或8 D.6
14.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于 ( B )
A.150° B.120° C.60° D.30°
15.如图所示,已知点A(1,1),单位圆上半部分上的点B满足·=0,则向量的坐标为.
16.如图所示,在△ABC中,∠C=90°且AC=BC=4,点M满足=3,则·=
4 .
17.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,求·(+)的最小值.
【解析】设=t,0≤t≤1,
则+=2=2t,
=+=t-=(t-1),
所以·(+)=2(t-1)t=8(t-1)t
=8t2-8t=8-2.
- 6 -
所以当t=时,·(+)有最小值-2.
18.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c.
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,
所以(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0.
所以(a-b)⊥c.
(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,
所以k2+1+1+2kcos 120°+2kcos 120°+2cos 120°>1.
所以k2-2k>0,解得k2.
所以实数k的取值范围为k2.
C组 培优练(建议用时15分钟)
19.在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.
(1)若四边形ABCD是矩形,求·的值.
(2)若四边形ABCD是平行四边形,且·=6,求与夹角的余弦值.
【解析】(1)因为四边形ABCD是矩形,
所以·=0.
由=2,得=,==-.
所以·=(+)·(+)=·=-·-=36-×81=18.
(2)由题意,=+=+=+,
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=+=+=-,
所以·=·=
-·-=36-·-18=18-·.
又·=6,所以18-·=6,
所以·=36.
设与的夹角为θ,
又·=||·||cos θ=9×6×cos θ=54cos θ,
所以54cos θ=36,即cos θ=.
所以与夹角的余弦值为.
20.已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).
(1)求·及在上的投影.
(2)证明A,B,C三点共线,并在=时,求λ的值.
(3)求||的最小值.
【解析】(1)·=8,设与的夹角为θ,
则cos θ==,
所以在上的投影为||cos θ=4×=2.
(2)=-=(-2,2),=-
=(1-λ)-(1-λ)=(λ-1),
因为与有公共点B,
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所以A,B,C三点共线.
当=时,λ-1=1,所以λ=2.
(3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2=16λ2-16λ+16=16+12.
所以当λ=时,||取到最小值2.
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