如何考查数学推理【新课标人教版】

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如何考查数学推理【新课标人教版】

2021-04-30
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如何考查数学推理？我们（学数学的或不学数学的）都相信：数学使人聪明。这句话的含义常常是指学习数学可以使人具有很强的逻辑性。所以，对于推理证明能力的考查一直都是数学考试中的重点。不过，新课程实验以来，人们对此的认识发生了一些变化，比如：就基础教育而言，相对于数学证明的学习而言，推理过程的学习更为重要。因此，对学生推理能力的考查就开始受到关注了。一、合情推理问题 1 如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，如下图所示：第 n 个图形中需用黑色瓷砖块.（用含 n 的代数式表示）说明：本题是一个探索规律的问题，其所考查的正是基于归纳方法的合情推理活动能力。问题 2 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶。下面是行驶路程 S（米）关于时间 t（分）的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是 ------( ) 说明：本题是一个种较为新颖的推理题，推断是用图像表达的信息与用文字表达的相关信息之间的一致性。因此，它是考查基于文字信息和图像信息理解基础之上的推理能力，而不是我们所熟悉的几何证明能力。问题 3. 已知：如图，E、F、G、H 按照 AE=CG，BF=DH，BF=nAE（n 是正整数）的关系，分别在两条邻边长为 a、na 的矩形 ABCD 各边上运动。设 AE=x，四边形 EFGH 的面积为 S。（1）当 n=1,2 时，如图，观察运动情况，写出四边形 EFGH 各顶点运动到什么位置时，S=1/2S （矩形 ABCD）；（2）当 n=3 时，如图，求 S 与 x 之间的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围），探索 S 随 x 增大而变化的规律；猜想四边形 EFGH 各顶点运动到何位置，使 S=1/2S（矩形 ABCD）；（3）当 n=k(k>=1)时，你所发现的规律和猜想是否成立？请说明理由。说明：本题是让学生寻找存在于图形的运动变化过程中的数学规律。关注的是推理活动，特别是合情推理（依据动点的变化特征、有关 n 的表达式的特点等，概括出其中的数量关系及其变化趋势），而不仅仅是数学证明、更不仅仅是几何证明。问题 4 要判断如图△ＡＢＣ的面积是△ＰＢＣ面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是------（）。说明：本题采用了一个全新的形式来考查学生的推理能力。因为其求解过程实际上就是一个推理过程——借助面积公式，做适当的数学运算（就是推理！），获得最少的度量次数。二、数学证明数学证明毕竟是数学考试的要点之一，对此，任何人都不可能加以否定。但是，考查学生的数学证明能力不能仅仅局限于能否按照逻辑程序，从一个（或几个）结论出发，推出一个新的结论。事实上，获得命题的过程与证明命题常常同样重要，而且，获得的具体过程也可以对证明带来启示；同样，考查数学证明的题材也不能局限于几何（代数或其他知识领域中也有）；近期的试题对这些观点有所体现. 问题 1 借助计算器探索的结果。说明：本题是以计算求解类问题的形式从事对逻辑推理能力的考查，学生的推理活动隐藏在估计结果的过程之中。问题 2 在一次数学实验探究课中，需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题，某同学完成了以下部分记录单：（1）请用计算器计算ＡＢ□ＢＣ的值，并填入上表的相应位置；（2）对半径分别为Ｒ、ｒ的两个同心圆，猜测ＡＢ□ＡＣ与Ｒ、ｒ的关系式，并加以证明。说明：这是一道探索性问题。具有明显的数学背景，明确的证明要求。让学生在探索的过程中，借助估计、猜测、代数运算与几何论证等活动进行数学证明。事实上，数学证明的过程，常常伴随着归纳、猜想等获得进行，而不仅仅是纯粹的逻辑证明。问题 3 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时，进行了一些讨论。甲同学在讨论中提到了圆内接矩形；乙同学找来了这样一个几何事实：（图一），△ABC 是正三角形，可以证明六边形 ADBECF 的各内角相等。丙同学认为当边数是 5 时这个命题是成立的，于是他猜想边数是 7 时这个命题仍然成立。（1）你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？简要叙述你的理由。（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG（图二）是正七边形。（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．说明：本题采用了“阅读”这一新颖的形式着重于对证明理解的考查——理解证明过程中反例的作用，理解如何对证明过程中获得的结论做进一步的推广；以及能否用简单的逻辑推理证明一个命题是正确的。查看更多

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