资料简介
第二章 实数
2.1 认识无理数
专题 无理数近似值的确定
1. 设面积为 3 的正方形的边长为 x，那么关于 x 的说法正确的是（ ）
A．x 是有理数 B．x 取 0 和 1 之间的实数
C．x 不存在 D．x 取 1 和 2 之间的实数
2．（1）如图 1，小明想剪一块面积为 25cm2 的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边
长吗？
（2）若小明想将两块边长都为 3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图 2 所示的一个大
正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请
你估计这个边长的值在哪两个整数之间．
3. 你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本
的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少
所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算
的过程结果一一写出来．
答案：
1．D 【解析】 ∵面积为 3 的正方形的边长为 x，∴x2=3，而 12=1，22=4，∴1＜x2＜4，
∴1＜x＜2，故选 D.
2．解：（1）边长为 5cm. w ww.
（2）设大正方形的边长为 x，∵大正方形的面积=32+32=18，而 42=16，52=25，
∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在 4 和 5 之间.
3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和
厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教
室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用
本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多
少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略.
2.2 平方根
专题一 非负数问题
1. 若 与 1b 互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2． 设 a，b，c 都是实数，且满足（2-a）2+ +|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求式子 x2+2x
的算术平方根．
3. 若实数 x，y，z 满足条件 + + = (x+y+z+9)，求 xyz 的值．
专题二 探究题
4. 研究下列算式，你会发现有什么规律？
= =2； = =3； 3 5 1 = 16 =4； 4 6 1 = 25 =5；…
请你找出规律，并用公式表示出来．
5.先观察下列等式，再回答下列问题：
① 2 2
1 11 1 2
=1+ 1 1
1 1 1
- = 112
；
② 2 2
1 11 2 3
=1+ 1 1
2 2 1
= 116
；
③ 2 2
1 11 3 4
=1+ 1 1
3 3 1
= 1112
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 2 2
1 11 4 5
的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 n 的式子表示的等式（n 为正整数）．
答案：
1．D 【解析】 ∵ 与|b+1|互为相反数，
∴ +|b+1|=0，
∴ =0 且 b+1=0，
∴a= ，b=﹣1， = ，故选 D.
2．解：由题意，得 2-a=0，a2+b+c=0，c+8=0．
∴a=2，c=-8，b=4．
∴2x2+4x-8=0．
∴x2+2x=4．w ww.
∴式子 x2+2x 的算术平方根为 2．
3．解：将题中等式移项并将等号两边同乘以 4 得 x-4 +y-4 +z-4 +9=0，
∴(x-4 +4)+(y-1-4 +4)+(z-2-4 +4)=0,
∴( -2)2+( -2)2+( -2)2=0,
∴ -2=0 且 -2=0 且 -2=0,
∴ =2 =2 =2,
∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6.
∴xyz=120．
4.解：第 n 项 an= ( 2) 1n n = 2( 1)n =n+1，即 an=n+1．
5.解：（1） 2 2
1 11 4 5
=1+ 1 1
4 4 1
= 1120
．
验证： 2 2
1 11 4 5
= 1 11 16 25
= 25 161 400 400
= 441
400
= 1120
．
（2） 2 2
1 11 ( 1)n n
=1+ 1 1
1n n
=1+ 1
( 1)n n
（n 为正整数）．
2.3 立方根
专题 立方根探究性问题
1. （1）填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
3 a
（2）由上表你发现了什么规律（请你用语言叙述出来）；
（3）根据发现的规律填空：
①已知 3 3 =1.442，则 3 3000 =_____________；
②已知 3 0.000456 =0.07696，则 3 456 =_____________．
2． 观察下列各式：
（1） 22 3
=2 2
3
；（2） 338
=3 3
8
；（3） 4415
=4 4
15
．
探究 1：判断上面各式是否成立．（1）________；（2）________；（3）________ .
探究 2：猜想 55 24
= ________ ．
探究 3：用含有 n 的式子将规律表示出来，说明 n 的取值范围，并用数学知识说明你所写
式子的正确性．
拓展: 3 22 7
=2 3 2
7
， 3 33 26
=3 3 3
26
， 3 44 63
=4 3 4
63
,…
根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想．
答案：
1.解：（1）直接开立方依次填入：0.01；0.1；1；10；100．
（2）从表中发现被开方数小数点向右移动三位，立方根向右移动一位．
（3）①14.42 ②7.696
2.解：探究 1：（1）成立 （2）成立 （3）成立
探究 2： 55 24
探究 3： 2 1
nn n
= 2 1
nn n
（n≥2,且 n 为整数）．理由如下：
2 1
nn n
=
3
2 1
n n n
n
= 2
2 1
nn n
= 2 1
nn n
.
拓展： 3
3 1
nn n
= 3
3 1
nn n
．理由如下：
3
3 1
nn n
=
4
3
3 1
n n n
n
= 33
3 1
nn n
= 3
3 1
nn n
.
2.4 估算
专题 比较无理数大小
1. 设 a= 1003 + 997 ，b= 1001 + 999 ，c=2 1001 ，则 a，b，c 之间的大小关系是
（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
2. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
( 2 +1)( 2 -1)=1，( 3 + 2 )( 3 - 2 )=1，( 4 + 3 )( 4 - 3 )=1，
( 5 + 4 )( 5 - 4 )=1…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
( 1
2 1
+ 1
3 2
+ 1
4 3
+…+ 1
2013 2012
)•( 2013 +1).
（2）利用上面的规律，试比较 12 11 与 13 12 的大小．
3. 先填写下表，通过观察后再回答问题．
问：
（1）被开方数 a 的小数点位置移动和它的算术平方根 a 的小数点位置移动有无规律？
若有规律，请写出它的移动规律；
（2）已知： a =1800，- 3.24 =-1.8，你能求出 a 的值吗？
（3）试比较 a 与 a 的大小．
答案：
1．D 【解析】 ∵a2=2000+2 1003 997 ，b2=2000+2 1001 999 ，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004．
∴c＞b＞a．故选 D．
2．解：（1）由上面的解题规律可直接写出 1 1
1
n n
n n
，
则( 1
2 1
+ 1
3 2
+ 1
4 3
+…+ 1
2013 2012
)•( 2013 +1)
=[( 2 -1)+ ( 3 - 2 )+( 4 - 3 )+…+( 2013 - 2012 )]( 2013 +1)
=( 2013 -1) ( 2013 +1)
=2012.
（2）∵ 1
12 11
= 12 11 ， 1
13 12
= 13 12 ,
又 12 11 ＜ 13 12 ，
∴ 1
12 11
＜ 1
13 12
， ∴ 12 11 ＞ 13 12 .
3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000．w ww.
（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动 2 位，算术平方根的小数点向
左（或向右）移动 1 位.
（2）观察 1.8 和 1800，小数点向右移动了 3 位，则 a 的值为 3.24 的小数点向右移动 6 位,
即 a=3240000；
（3）当 0＜a＜1 时， a ＞a；当 a=1 或 0 时， a =a；当 a＞1 时， a ＜a．
2.6 实数
专题 实数与数轴
1.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数 2 的点为圆心，正方形对角线
长为半径画弧，交数轴于点 A，则点 A 表示的数是（ ）
A． 2- B． 2 2- C．1 2- D．1 2+
2.如图所示，直线 L 表示地图上的一条直线型公路，其中 A、B 两点分别表示公路上第 140
公里处及第 157 公里处．若将直尺放在此地图上，使得刻度 15，18 的位置分别对准 A，B
两点，则此时刻度 0 的位置对准地图上公路的第（ ）公里处
A．17 B．55 C．72 D．85
3. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点 C 和 A 在数
轴上的位置表示的实数为-1 和 1．那么当顶点 C 下一次落在数轴上时，所在的位置表示
的实数是___________．
4. 如图，已知 A、B、C 三点分别对应数轴上的数 a、b、c．
（1）化简：|a-b|+|c-b|+|c-a|；
（2）若 a=
4
x y ，b=-z2，c=-4mn．且满足 x 与 y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数，
m、n 互为倒数，试求 98a+99b+100c 的值；
（3）在（2）的条件下，在数轴上找一点 D，满足 D 点表示的整数 d 到点 A，C 的距离之和
为 10，并求出所有这些整数的和．
答案：
1．B 【解析】 由勾股定理得：正方形的对角线为 2 ，设点 A 表示的数为 x，则 2-x= 2 ，
解得 x=2- 2 ．故选 B．
2．B 【解析】 根据题意，数轴上刻度 15，18 的位置分别对准 A，B 两点，而 AB 两点间距
离 157-140=17（公里），即数轴上的 3 个刻度对应实际 17 公里的距离.又有数轴上刻度
0 与 15 之间有 15 个刻度，故刻度 0 的位置对准地图上公路的位置距 A 点有 15×17
3
=85(公
里), 140-85=55,故刻度 0 的位置对准地图上公路的 55 公里处.故选 B．
3．3+2 2 【解析】 在直角△ABC 中，AC=CB=2，
根据勾股定理可以得到 AB=2 2 ，w ww.
则当顶点 C 下一次落在数轴上时，
所在的位置表示的实数是 4+2 2 -1=3+2 2 ．
故答案为：3+2 2 ．
4．解：（1）由数轴可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0，
所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a）
=a-b-c+b-c+a=2a-2c.
（2）由题意可知：x+y=0，z=-1，mn=1，
所以 a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4，
∴98a+99b+100c=-99-400=-499.
（3）满足条件的 D 点表示的整数为-7、3，它们的和为-4．
2.7 二次根式
专题一 与二次根式有关的规律探究题
1.将 1、 2 、 3 、 6 按如图所示的方式排列.
若规定（m，n）表示第 m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是
（ ）
A.1 B.2 C. 2 3 D.6
2. 观察下列各式及其验证过程：
3
223
22 ，验证：
22 8 2 2 22 23 3 3 3
．
3 33 38 8
，验证：
23 27 3 3 33 38 8 8 8
．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想
15
44 的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 a （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）表示的等式，
并给出验证；
（3）针对三次根式及 n 次根式（ n 为任意自然数，且 2n≥ ）,有无上述类似的变形，如
果有，写出用 a （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）表示的等式，并给出验证．
3. 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
3+2 2 = 221 ）（ ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 a+b 2 = 22）（ nm （其中 a、b、m、n 均为正整数）,则有 a+b 2 =m2+2n2+2mn 2 ,
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分 a+b 2 的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b 3 = 2)3( nm ,用含 m、n 的式子分别表示 a、
b，得：a= ，b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： + 3
=（ ＋ 3 ） 2 ；
（3）若 a+4 3 = 2)3( nm ，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值.
专题二 利用二次根式的性质将代数式化简
4. 化简二次根式 2
2aa a
+- 的结果是（ ）
A. 2a- - B. 2a- - - C. 2a - D. 2a- -
5.如图，实数 a．b 在数轴上的位置，
化简： 222 )( baba ．
答案：
1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）所表示的数是 6 .∵前 20 排共有 1+2+3+4+…+20=210
个数，∴（21，2）表示的是第 210+2=212 个数.∵这些数字按照 1、 2 、 3 、 6 的
顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是 6 .∴（4，2）与（21，2）表示的
两数之积是 6 6 6 .
2.解：（1） 4 44 415 15
．验证：
24 64 4 4 44 415 15 15 15
．
（2） 2 21 1
a aa aa a
（ a 为任意自然数，且 2a≥ ）．
验证：
3 3
2 2 2 21 1 1 1
a a a a a aa aa a a a
．w ww.
（3） 3
3
3
3 11
a
aa
a
aa （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）．
验证：
33 33 4 4
3 3 3 31 1 1 1
a a a a a aa aa a a a
．
1 1
n n
n n
a aa aa a
（ a 为任意自然数，且 2a≥ ）．
验证： n
n
n
n
n
n
n
n
n
n a
aa
a
a
a
aaa
a
aa
1111
11
.
3. 解：(1) 22 3nm 2mn (2)21 12 3 2
(3) ∵ 22 3nma ,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数，∴m=1,n=2 或 m=2,n=1,
∴a=13 或 a=7.
4.B 【 解 析 】 若 二 次 根 式 有 意 义 ， 则 2
2a
a
≥0 ， -a-2≥0 ， 解 得 a≤-2 ， ∴ 原 式
= 2a aa
- -- = 2a- - - ．故选 B．
5.解：由图知，a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，
∴ 222 )( baba =|a|﹣|b|+|a﹣b|=（﹣a）﹣b+（b﹣a）=﹣2a．
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