资料简介
3.1.2用二分法求方程的近似解从容说课求方程的解是常见的数学问题，这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方程解，但有些方程求精确解较难.本课试图从另一个角度来求方程的近似解.说求方程的近似解倒不如说是逼近解.本课重点是学习一种思维方式.通过研究一元二次方程的根及相应的函数图象与轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；以求具体方程的近似解介绍“二分法”并总结其实施步骤等，都体现了从具体到一般的认知过程.教学时，要注意让学生通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表述出来.三维目标一、知识与技能根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.二、过程与方法1.自主学习，了解逼近思想、极限思想.2.探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题，变人解为机器解.三、情感态度与价值观通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程.教学重点通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学难点在利用“二分法”求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难.要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具.教具准备多媒体课件、电脑Excel软件.教学过程一、创设情景，引入新课师：大家先来看一段录像（放映CCTV2幸运52片断）主持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格.观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了.下一件……师：如果让你来猜一件商品的价格，你如何猜？生甲：先初步估算一个价格，如果高了再每隔一元降低报价.生乙：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了再每隔100元降低报价.如果低了，每50元上涨，如果再高了，每隔20元降低报价，如果低了，每隔10元上升报价……生丙：先初步估算一个价格，如果高了再报一个价格，如果低了就报两个价格和的一半，如果高了再把报的低价与一半价再求其半报出价格，如果低了就把刚刚报出的价格与前面高的价格结合起来取其和的半价……二、讲解新课
师：第三个同学的回答可以帮助我们解一些数学问题，现在的问题是：能否求解方程lnx+2x－6=0?如果能求解的话，怎么去解?你能用函数零点的性质吗?学生共同探索（倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性.先分组讨论，后各组发表意见，归纳如下）为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈－0.084.因为f（2.5）·f（3）＜0，所以零点在区间（2.5，3）内.再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512.因为f（2.5）·f（2.75）＜0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.由于（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75），所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围越来越小（见下表和图）.这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我们可以将x=2.54作为函数f（x）=lnx+2x－6零点的近似值，也即方程lnx+2x－6=0根的近似值.区间中点的值中点函数近似值（2，3）2.5－0.084（2.5，3）2.750.512（2.5，2.75）2.6250.215（2.5，2.625）2.56250.066（2.5，2.5625）2.53125－0.009（2.53125，2.5625）2.5468750.029（2.53125，2.546875）2.53906250.010（2.53125，2.5390625）2.535156250.001由此得到：1.二分法：对于在区间［a，b］上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤（1）确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a，b）的中点x1；（3）计算f（x1）.①若f（x1）=0，则x1就是函数的零点；②若f（a）·f（x1）＜0，则令b=x1〔此时零点x0∈（a，x1）〕；③若f（x1）·f（b）＜0，则令a=x1〔此时零点x0∈（x1，b）〕.（4）判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复（2）～（4）.
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.【例1】教科书P105例2.本例说明求方程的根的近似值可以转化为求函数的零点的近似值，并让学生体会用二分法求方程的近似解的完整过程.此例也可以按下面的方法解答：原方程化为2x+3x－7=0.令f（x）=2x+3x－7，则原方程的根为函数f（x）的零点.因为f（1）=－2，f（2）=3，所以f（1）·f（2）＜0，即函数f（x）在（1，2）内存在零点.因为f（x）在R上是增函数，所以函数f（x）在（1，2）内有唯一的零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：通过上述表格，我们得知函数唯一的零点x0在区间（1.375，1.4375）内，即1.375＜x0＜1.4375，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4.三、课堂练习教科书P106练习解答：1.由题设可知f（0）=－1.4＜0，f（1）=1.6＞0，于是f（0）·f（1）＜0.所以函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点.
下面用二分法求函数f（x）=x3+1.1x2+0.9x－1.4在区间（0，1）内的零点.取区间（0，1）的中点x1=0.5，用计算器可得f（0.5）=－0.55.因为f（0.5）·f（1）＜0，所以x0∈（0.5，1）.再取区间（0.5，1）的中点x2=0.75，用计算器可算得f（0.75）≈0.32.因为f（0.5）·f（0.75）＜0，所以x0∈（0.5，0.75）.同理可得x0∈（0.625，0.75），x0∈（0.625，0.6875），x0∈（0.65625，0.6875）.由于|0.6875－0.65625|=0.03125＜0.1，此时区间（0.65625，0.6875）的两个端点精确到0.1的近似值都是0.7，所以原函数在区间（0，1）内精确到0.1的零点约为0.7.2.原方程即x+lgx－3=0，令f（x）=x+lgx－3.用计算器可算得f（2）≈－0.70，f（3）≈0.48，于是f（2）·f（3）＜0.所以这个方程在区间（2，3）内有一个解.下面用二分法求方程x=3－lgx在区间（2，3）的近似解.取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器可算得f（2.5）≈－0.10.因为f（2.5）·f（3）＜0，所以x0∈（2.5，3）.再取区间（2.5，3）的中点x2=2.75，用计算器可算得f（2.75）≈0.19.因为f（2.5）·f（2.75）＜0，所以x0∈（2.5，2.75）.同理可得x0∈（2.5，2.625），x0∈（2.5625，2.625），x0∈（2.5625，2.59375），x0∈（2.578125，2.59375），x0∈（2.5859375，2.59375）.由于|2.5859375－2.59375|=0.0078125＜0.01.此时区间（2.5859375，2.59375）的两个端点精确到0.01的近似值都是2.59，所以原方程精确到0.01的近似解为2.59.四、课堂小结求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的变号零点都有效.如果一种计算方法对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法.算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果.更大的优点是，它可以让计算机来实现.例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点.有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值.五、布置作业教科书P108习题3.1A组1～6题.板书设计3.1.2用二分法求方程的近似解二分法定义与求解步骤一、探索发现使用二分法求方程的近似值二、例：借助于计算器或计算机求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）课堂练习1课堂练习2课堂小结
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