资料简介
专题 14 第二单元自测卷
时间：120 分钟 满分：150 分
一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．向量 AB―→
与 CD―→
共线是 A，B，C，D 四点共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 A，B，C，D 四点共线，得向量 AB―→
与 CD―→
共线，反之不成立，可能 AB∥CD，所以向量 AB―→
与
CD―→
共线是 A，B，C，D 四点共线的必要不充分条件，故选 B.
2．有下列命题：
①若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若| AB―→
|＝| DC―→
|，则四边形 ABCD 是平行四边形；
③若 m＝n，n＝k，则 m＝k；
④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
其中，假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，|a|＝|b|，a，b 的方向不确定，则 a，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若| AB―→
|＝
| DC―→
|，则 AB―→
， DC―→
的方向不一定相同，所以四边形 ABCD 不一定是平行四边形，②错误；对于③，若
m＝n，n＝k，则 m＝k，③正确；对于④，若 a∥b，b∥c，则 b＝0 时，a∥c 不一定成立，所以④错误．综
上，假命题的是①②④，共 3 个，故选 C.
3. 如图，在△ABC 中，点 M 为 AC 的中点，点 N 在 AB 上， AN―→
＝3 NB―→
，点 P 在 MN 上， MP―→
＝2 PN―→
，
那么 AP―→
＝( )
A.
2
3 AB―→
－
1
6 AC―→
B.
1
3 AB―→
－
1
2 AC―→
C.
1
3 AB―→
－
1
6 AC―→
D.
1
2 AB―→
＋
1
6 AC―→
【答案】D【解析】 AP―→
＝ AM―→
＋ MP―→
＝ AM―→
＋
2
3 MN―→
＝ AM―→
＋
2
3( AN―→
－ AM―→
) ＝
1
3 AM―→
＋
2
3 AN―→
＝
1
6 AC―→
＋
1
2
AB―→
.故选 D.
4. 已知平面向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 120°，若(a＋mb)⊥a，则实数 m 的值为( )
A．1 B.
3
2 C．2 D．3
【答案】 D
【解析】 ∵|a|＝3，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 120°，
∴a·b＝|a||b|cos120°＝3×2×(－
1
2 )＝－3.
∵(a＋mb)⊥a，
∴(a＋mb)·a＝a2＋ma·b＝32－3m＝0，解得 m＝3.
5．在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 AO―→
＝λ AB―→
＋μ
BC―→
，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ 等于( )
A．1 B.
1
2
C.
1
3 D.
2
3
【答案】D
【解析】由题意易得 AD―→
＝ AB―→
＋ BD―→
＝ AB―→
＋
1
3 BC―→
，
则 2 AO―→
＝ AB―→
＋
1
3 BC―→
，即 AO―→
＝
1
2 AB―→
＋
1
6 BC―→
.
故 λ＋μ＝
1
2＋
1
6＝
2
3.
6. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝2AD＝2DC，E 为 BC 边上一点， BC―→
＝3 EC―→
，F 为 AE 的中点，则 BF―→
＝( )
A.
2
3 AB―→
－
1
3 AD―→
B.
1
3 AB―→
－
2
3 AD―→
C．－
2
3 AB―→
＋
1
3 AD―→
D．－
1
3 AB―→
＋
2
3 AD―→
【答案】C
【解析】如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边形 DCBG 为平行 四边形，所以BC―→
＝ GD―→
＝ AD―→
－ AG―→
＝ AD―→
－
1
2 AB―→
，∴ AE―→
＝ AB―→
＋ BE―→
＝ AB―→
＋
2
3 BC―→
＝ AB―→
＋
2
3(－
1
2 )
＝
2
3 AB―→
＋
2
3 AD―→
，于是 BF―→
＝ AF―→
－ AB―→
＝
1
2 AE―→
－ AB―→
＝
1
2(2
3＋
2
3 )－ AB―→
＝－
2
3 AB―→
＋
1
3 AD―→
，故
选 C.
7. 已知在平行四边形 ABCD 中， AD―→
＝(3,7)， AB―→
＝(－2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 CO―→
的坐标
为( )
A.(－
1
2，5) B.(1
2，5 )
C.(－
1
2，－5) D.(1
2，－5)
【答案】C
【解析】因为在平行四边形 ABCD 中， AD―→
＝(3,7)， AB―→
＝(－2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 CO―→
＝－ AO―→
＝－
1
2( AD―→
＋ AB―→
)＝(－
1
2，－5).故选 C.
8.已知点 G 是△ABC 的重心，过 G 作一条直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且AM→
＝xAB→
，AN→
＝yAC→
，则
xy
x＋y的值为( )
A．
1
2 B．
1
3 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 由已知得 M，G，N 三点共线，∴AG→
＝λAM→
＋(1－λ)AN→
＝λxAB→
＋(1－λ)yAC→
．∵点 G 是△ABC 的
重心，∴AG→
＝
2
3×
1
2(AB→
＋AC→
)＝
1
3(AB→
＋AC→
)，
∴Error!即Error!得
1
3x＋
1
3y＝1，即
1
x＋
1
y＝3，通分变形得，
x＋y
xy ＝3，∴
xy
x＋y＝
1
3．故选 B．
9．已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，则( AB―→
－2 BC―→
)·(3 BC―→
＋4 CA―→
)＝( )
A．－
13
2 B.－
11
2
C．－6－
3
2 D．－6＋
3
2
【答案】B
【解析】( AB―→
－2 BC―→
)·(3 BC―→
＋4 CA―→
)＝3 AB―→
· BC―→
－6 BC―→
2＋4 AB―→
· CA―→
－8 BC―→
· CA―→
＝
3| AB―→
|·| BC―→
|·cos 120°－6| BC―→
|2＋4| AB―→
|·| CA―→
|cos 120°－8| BC―→
|·| CA―→
|·cos 120°＝3×1×1×(－
1
2 )－6×12＋4×1×1×(－
1
2 )－8×1×1×(－
1
2 )＝－
3
2－6－2＋4＝－
11
2 ，故选 B.
10．已知非零向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝3，且 a 与 a＋b 的夹角为
π
4 ，则|b|＝( )
A．6 B.3 2
C．2 2 D．3
【答案】D
【解析】因为 a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|·cos
π
4 ，所以|a＋b|＝3 2，将|a＋b|＝3 2两边平方
可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选 D.
11.在△ABC 中，已知 AD⊥AB，CD→
＝3DB→
，|AD→
|＝1，则AC→
·AD→
＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 如图，过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E，则 AB∥CE．由CD→
＝3DB→
，得DE→
＝3AD→
，从而AE→
＝4
AD→
．由数量积的几何意义，知AC→
·AD→
＝4AD→
·AD→
＝4，故选 D．
12. 已知 AB―→
＝(cos 23°，cos 67°)， BC―→
＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC 的面积为( )
A．2 B. 2
C．1 D．
2
2
【答案】D
【解析】 根据题意， AB―→
＝(cos 23°，cos 67°)，∴ BA―→
＝－(cos 23°，sin 23°)，
则| BA―→
|＝1.又∵ BC―→
＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴| BC―→
|＝2.
∴ BA―→
· BC―→
＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－ 2，∴cos B＝
·
||||＝
－
2
2 ，则 B＝135°，则 S△ABC＝
1
2| BA―→
|| BC―→
|sin B＝
1
2×1×2×
2
2 ＝
2
2 ，故选 D.
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 设 e1 与 e2 是两个不共线向量， AB―→
＝3e1＋2e2， CB―→
＝ke1＋e2， CD―→
＝3e1－2ke2，若 A，B，D 三点
共线，则 k 的值为________．【答案】－
9
4.
【解析】由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数 λ，使得 AB―→
＝λ BD―→
.
又 AB―→
＝3e1＋2e2， CB―→
＝ke1＋e2， CD―→
＝3e1－2ke2，
所以 BD―→
＝ CD―→
－ CB―→
＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以 3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
又 e1 与 e2 不共线，
所以Error!解得 k＝－
9
4 .
14. 已知向量 a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数 m＝________.
【答案】±2
【解析】因为 a＋b＝(5,2m)≠0，所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0 得 2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以
42＋m2＝2 12＋m2，解得 m＝±2.
15. 已知AB→
与AC→
的夹角为 90°，|AB→
|＝2，|AC→
|＝1，AM→
＝λAB→
＋μAC→
(λ，μ∈R)，且AM→
·BC→
＝0，则
λ
μ的
值为________．
【答案】
1
4
【解析】
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB→
＝(0，2)，AC→
＝
(1，0)，BC→
＝(1，－2)．设 M(x，y)，则AM→
＝(x，y)，所以AM→
·BC→
＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，即 x＝
2y，又AM→
＝λAB→
＋μAC→
，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以 x＝μ，y＝2λ，所以
λ
μ＝
1
2y
x ＝
1
4．
16. 已知向量 AB―→
＝(m,1)， BC―→
＝(2－m，－4)，若 AB―→
· AC―→
>11，则 m 的取值范围为________．
【答案】(7，＋∞)
【解析】由向量 AB―→
＝(m,1)， BC―→
＝(2－m，－4)，得 AC―→
＝ AB―→
＋ BC―→
＝(2，－3)．又因为 AB―→
· AC―→
>11，所以 2m－3>11，解得 m>7.
三、解答题（6 大题，共 70 分）
17.（10 分）如图，已知△OCB 中，B，C 关于点 A 对称，OD∶DB＝2∶1，DC 和 OA 交于点 E，设OA→
＝a，OB→
＝
b．
(1)用 a 和 b 表示向量OC→
，DC→
；
(2)若OE→
＝λOA→
，求实数 λ 的值．
【解析】 (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且OD→
＝
2
3OB→
，
由平行四边形法则，得OB→
＋OC→
＝2OA→
．
∴OC→
＝2OA→
－OB→
＝2a－b，
∴DC→
＝OC→
－OD→
＝(2a－b)－
2
3b＝2a－
5
3b．
(2)∵EC→
∥DC→
，EC→
＝OC→
－OE→
＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
DC→
＝2a－
5
3b，∴
2－λ
2 ＝
－1
－
5
3
，∴λ＝
4
5．
18．（12 分）平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
(2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d 的坐标．
【解析】 (1)a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得 k＝－
16
13.
(2)设 d＝(x，y)，则 d－c＝(x－4，y－1)，
又 a＋b＝(2,4)，| d－c|＝ 5，
∴{4(푥 ― 4) - 2(푦 ― 1) = 0，
(푥 ― 4)2 + (푦 ― 1)2 = 5， 解得Error!或Error!
∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
19.（12 分）如图，∠AOB＝
π
3 ，动点 A1，A2 与 B1，B2 分别在射线 OA，OB 上，且线段 A1A2 的长为 1，线段 B1B2的长为 2，点 M，N 分别是线段 A1B1，A2B2 的中点．
(1)用向量A1A2→
与B1B2→
表示向量MN→
；
(2)求向量MN→
的模．
【解析】 (1)MN→
＝MA1→
＋A1A2→
＋A2N→
，MN→
＝MB1→
＋B1B2→
＋B2N→
，两式相加，并注意到点 M，N 分别是线段
A1B1，A2B2 的中点，得MN→
＝
1
2(A1A2→
＋B1B2→
)．
(2)由已知可得向量A1A2→
与B1B2→
的模分别为 1 与 2，夹角为
π
3 ，所以A1A2→
·B1B2→
＝1，
由MN→
＝
1
2(A1A2→
＋B1B2→
)
得|MN→
|＝
1
4A1A2→
＋B1B2→
2
＝
1
2 A1A2→
2＋B1B2→
2＋2A1A2→
·B1B2→
＝
7
2 ．
20.（12 分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)和点 B(－1，0)，|OC→
|＝1，且∠AOC＝x，其
中 O 为坐标原点．
(1)若 x＝
3π
4 ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求|OC→
＋OD→
|的最小值；
(2)若 x∈[0，
π
2 ]，向量 m＝BC→
，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求 m·n 的最小值及对应的 x 值．
【解析】 (1)设 D(t，0)(0≤t≤1)，由题易知 C(－
2
2 ，
2
2 )，
所以OC→
＋OD→
＝(－
2
2 ＋t，
2
2 )，所以|OC→
＋OD→
|2 ＝
1
2－ 2t＋t2 ＋
1
2＝t2 － 2t＋1＝ (t－
2
2 )2 ＋
1
2
(0≤t≤1)，所以当 t＝
2
2 时，|OC→
＋OD→
|2 的最小值为
1
2，则|OC→
＋OD→
|的最小值为
2
2 ．
(2)由题意得 C(cosx，sinx)，m＝BC→
＝(cosx＋1，sinx)，
则 m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx
＝1－cos2x－sin2x＝1－ 2sin(2x＋
π
4 )．
因为 x∈[0，
π
2 ]，所以
π
4 ≤2x＋
π
4 ≤
5π
4 ，
所以当 2x＋
π
4 ＝
π
2 ，即 x＝
π
8 时，
sin (2x＋
π
4 )取得最大值 1，
所以 m·n 的最小值为 1－ 2，此时 x＝
π
8 ．
21.（12 分）在△ABC 中，设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，n＝( 2－sin A，cos
A)，且|m＋n|＝2.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 b＝4 2，c＝ 2a，求△ABC 的面积．
【解析】(1)∵m＋n＝( 2＋cos A－sin A，cos A＋sin A)，
∴|m＋n|＝ (＋cos 퐴－sin 퐴)2 + （cos 퐴＋sin 퐴）2
＝ 4－4sin(A－
π
4 ).
∵|m＋n|＝2，∴sin(A－
π
4 )＝0，
又 0
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