资料简介
2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）
专题 05 数列
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题
1．（2019·山东任城·济宁一中高三月考）在等差数列{an}中，若 a3＝5，S4＝24，则 a9＝（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11
【答案】B
【解析】数列{an}为等差数列，设首项为 a1，公差为 d，
∵a3＝5，S4＝24，
∴a1+2d＝5，4a1+ d＝24，
联立解得 a1＝9，d＝﹣2，
则 a9＝9﹣2×8＝﹣7．
2．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模（理））等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等
差数列，若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【解析】由数列 为等比数列，且 成等差数列，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得： ，根据等比数列前 n 项和公式
．
4 3
2
×
{ }na n nS 14a 22a 3a
1 1a = 4s =3．（2020·宁夏惠农·石嘴山市第一中学高三其他（文））我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”
章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一
尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ）
A．第 2 天 B．第 3 天 C．第 4 天 D．第 5 天
【答案】B
【解析】第一天共挖 ，前二天共挖 ，故前 天挖通，故两鼠相遇在第 天.
4．（2020·广西七星·桂林十八中高三月考（理））已知等差数列 的前 n 项和为 ，若
，则 （ ）
A．7 B．10 C．63 D．18
【答案】C
【解析】等差数列 的首项为 ，公差为
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ..
5．（2019·安徽省太和中学高三月考（理））已知等差数列 中， ，公差 ，则 与 的等
差中项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
1 1 2+ = 2 2 0.5 4.5+ + = 3 3
{ }na nS
3 1 62 14S a a− + = 9S =
{ }na 1a d
3 1 1
3 23 3 32S a d a d
×= + = + 6 1 5a a d= +
1 1 1 13 3 2 5 2 8 14a d a a d a d+ − + + = + =
1 4 7a d+ = 5 7a =
1 9
9 5
( ) 9 9 632
a aS a
+ ×= = =
{ }na 1 2a = − 3
2d = 2a 6a
5
2
7
2
11
2 6【解析】 与 的等差中项是 .
6．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知 是等比数列， ，则公比 =（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由等比数列的性质可得： ，即： ，解得： .
7．（2019·全国高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则满足 的正整
数 的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【解析】由 得， ， ， ，所以公差大于零.
又 ， ，
，
8．（2020·勃利县高级中学高一期末）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】 ，故选 A.
2a 6a 4
3 52 3 2 2a = − + × =
{ }na 2 5
12, 4a a= = q
1
2
− 2− 1
2
3
5 2a a q= 31 24 q= × 1
2q =
{ }na n nS 8 10 9S S S< < 0nS >
n
8 10 9S S S< < 9 0a > 10 0a < 9 10 0a a+ >
( )1 17
17 9
17 17 02
a aS a
+= = > ( )1 19
19 10
19 19 02
a aS a
+= = <
( ) ( )1 18
18 9 10
18 9 02
a aS a a
+= = + >
nS { }na n 5
3
5
9
a
a
= 9
5
S
S
=
1 1− 1
2
( )
( )
1 9
9
1 55
9 5 92 19 552
a a
S
a aS
+ ⋅
= = ⋅ =+ ⋅9．（2019·吉林长春·东北师大附中高三月考（理））已知正项等比数列 的前 项和为 ，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 是等比数列， ，即 ，
也是等比数列，且 ，
，
可得：
，当且仅当 时取等号，
的最小值为 .
10．（2020·安徽屯溪一中高一期中）若数列 是等差数列，首项 ， ，
，则使前 项和 成立的最大自然数 是（ ）
A．4040 B．4041 C．4042 D．4043
【答案】A
【解析】∵ ，∴ 和 异号，
又数列 是等差数列，首项 ，∴ 是递减的数列， ，
，∴ ，
{ }na n nS
6 32 2S S− = 7 8 9a a a+ +
9 8 6 4
{ }na 6 32 2S S− = 6 3 3 2S S S− = +
∴ 3 6 3 9 6, ,S S S S S− − 9 6 7 8 9S S a a a− = + +
( ) ( )2
6 3 3 9 6S S S S S∴ − = ⋅ −
( )2 2
3 3 3
9 6 3
3 3 3
2 4 4 4 4S S SS S SS S S
+ + +− = = = + +
3
3
42 4 8S S
≥ ⋅ + = 3 2S =
∴ 7 8 9a a a+ + 8
{ }na 1 0a > 2020 2021 0a a+ >
2020 2021 0a a⋅ < n 0nS > n
2020 2021 0a a⋅ < 2020a 2021a
{ }na 1 0a > { }na 2020 20210, 0a a> <
2020 2021 0a a+ > 1 4040
4040 2020 2021
4040( ) 2020( ) 02
a aS a a
+= = + >，
∴满足 的最大自然数 为 4040．
11．（2020·安徽屯溪一中高一期中）已知 ，（ ），则在数列｛ ｝的前 50 项中最小项
和最大项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 在 上单调减，在 单调减，
所以当 时 ，此时 ，当 时 ，此时
，因此数列｛ ｝的前 50 项中最小项和最大项分别为 ，选 C.
12．（2020·安徽蚌埠·高一期末）已知等差数列 的前 项和为 ，等差数列 的前 项和为 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵ 是等差数列 的前 项和，∴ ，即 ，
∵ 是等差数列 的前 项和，∴ ，即 ，
∴ ，
1 4041
4041 2021
4041( ) 4041 02
a aS a
+= = <
0nS > n
79
80n
na
n
−=
− n∈ +N na
1 50,a a 81,a a 8 9,a a 59 0,a a
79 80 79=1+
80 80
xy
x x
− −=
− − ( , 80−∞ ） ( 80, )+∞
( , 80x∈ −∞ ） ( ,1)y∈ −∞ 8 1[ , ] ( ,1)na a a∈ ⊂ −∞ ( 80, )x∈ +∞ (1, )y∈ +∞
50 9[ , ] (1, )na a a∈ ⊂ +∞ na 8 9,a a
{ }na n nS { }nb n nT
2 1
1
n
n
S n
T n
−= +
5
5
a
b
=
19
11
17
10
3
2
7
5
nS { }na n 1 9 5
9 5
9( ) 9 2 92 2
a a aS a
+ ×= = = 9
5 9
Sa =
nT { }nb n 1 9 5
9 5
9( ) 9 2 92 2
b b bT b
+ ×= = = 9
5 9
Tb =
5 9
5 9
2 9 1 17
9 1 10
a S
b T
× −= =+=13．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（理））设数列 的前 项和为 ，且
，则数列 的前 10 项的和是（ ）
A．290 B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
当 时， ，整理得 ，
所以 是公差为 4 的等差数列，又 ，
所以 ，从而 ，
所以 ，
数列 的前 10 项的和 .
14．（2020·全国高三其他）已知数列 ， 均为等差数列，其前 项和分别为 ， ，且 ，
则使 恒成立的实数 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
{ }na n nS 1 1a =
2( 1)( )n
n
Sa n n Nn
∗= + − ∈ 1
3nS n
+
9
20
5
11
10
11
( )2( 1)n
n
Sa n n Nn
∗= + − ∈ 2 ( 1)n nS na n n= − −
2n ≥ 1 1( 1) 4( 1)n n n n na S S na n a n− −= − = − − − − 1 4n na a −− =
{ }na 1 1a =
( )4 3na n n N ∗= − ∈ ( ) 213 3 2 2 2 ( 1)2
n
n
n a aS n n n n n n
++ = + = + = +
1 1 1 1 1
3 2 ( 1) 2 1nS n n n n n
= = − + + +
1
3nS n
+
1 1 512 11 11S = − =
{ }na { }nb n nA nB 2 1
n
n
A n
B n
= +
n
n
a
b
λ≥ λ
1
2
1
3【解析】由题意可得
．
设 ， ，
因为函数 是增函数，
所以当 时，函数 取最小值，
所以 ．
故实数 的最大值为 ．
15．（2020·河北枣强中学高一期中）已知 是等差数列，若 ，数列 满足 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知 是等差数列，且 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
( )
( )
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
2 12 2
2 12 2
n n
n
n nn
a a a a na
b b b bb n
− −
− −
+ + ⋅ −
= =+ + ⋅ −
( ) ( )2 1
2 1
2 1 1 1
2 2 1 1 2 2 4 1
n
n
A n
B n n
−
−
−= = = −− + −
( ) ( )
1 1
2 2 4 1f n n
= − − n ∗∈N
( )f n
1n = ( )f n
( ) ( ) 11 3f n f≥ =
λ 1
3
{ }na 42 56, 5a a a+ = = { }nb 1n n nb a a +=
1 2
1 1 1
nb b b
+ + +
1
n
n −
1n
n
− 1n
n
+
1
n
n +
{ }na 42 56, 5a a a+ = =
1 12 4 6, 4 5++ = =a a dd
1 1, 1a d= =
1 ( 1)na a n d n= + − =
( )1nb n n= +所以 ，
所以 ，
，
16．（多选题）（2020·山东文登·高二期末）设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
， .
17．（多选题）（2019·山东薛城·枣庄八中高二期中）若数列 对任意 满足
，下面选项中关于数列 的命题正确的是（ ）
A． 可以是等差数列 B． 可以是等比数列
C． 可以既是等差又是等比数列 D． 可以既不是等差又不是等比数列
【答案】ABD
【解析】解：因为 ,
所以 或 ,
( )
1 1 1 1
1 1nb n n n n
= = −+ +
1 2
1 1 1
nb b b
+ + +
1 1 1 1 1 1 1 1...1 2 2 3 3 4 1n n
= − + − + − + + − +
11 1 1
n
n n
= − =+ +
{ }na n nS 3 0S = 4 8a =
22 6nS n n= − 2 3nS n n= − 4 8na n= − 2na n=
{ }na d 3 1
4 1
3 3 0
3 8
S a d
a a d
= + =
= + =
1 4
4
a
d
= −
=
( ) ( )1 1 4 4 1 4 8na a n d n n∴ = + − = − + − = − ( ) ( ) 2
1
1 4 2 1 2 62n
n n dS na n n n n n
−= + = − + − = −
{ }na 2( )n n N≥ ∈
1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a− −− − − = { }na
{ }na { }na
{ }na { }na
1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a− −− − − =
1 2 0n na a −− − = 12 0n na a −− =即： 或
①当 时, 是等差数列或是等比数列.
② 或 时, 可以既不是等差又不是等比数列
18．（多选题）（2020·江苏盐城·高二期末）设 ， 分别为等差数列 的公差与前 项和，若
，则下列论断中正确的有（ ）
A．当 时， 取最大值 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 ，解得 .
对选项 A，因为无法确定 和 的正负性，
所以无法确定 是否有最大值，故 A 错误.
对选项 B， ，
故 B 正确.
对选项 C， ，
故 C 正确.
对选项 D， ，
，
1 2n na a −− = 12n na a −=
10, 0n na a −≠ ≠ { }na
0na = 1 0na − = { }na
d nS { }na n
10 20S S=
15n = nS 30n = 0nS =
0d > 10 22 0a a+ > 0d < 10 22a a>
10 20S S= 1 1
10 9 20 1910 202 2a d a d
× ×+ = + 1
29
2a d= −
1a d
nS
130
30 29 2930 30 15 29 02 2a dS d d
× = + = × − + × =
( )10 22 16 1
292 15 2 15 02a a a a d d d d + = 2 = + = − + = >
10 1
29 18 119 2 2 2a a d d d d= + = − + = −
22 1
29 42 1321 2 2 2a a d d d d= + = − + =因为 ，所以 ， ，
，故 D 错误.
19．（多选题）（2020·海南海口·高三其他）已知正项等比数列 满足 ， ，若设其公比
为 q，前 n 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意 ，得 ，解得 （负值舍去），选项 A 正确；
，选项 B 正确；
，所以 ，选项 C 错误；
，而 ，选项 D 正确．
20．（多选题）（2020·山东泰安·高三其他）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主
要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪
数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，
24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第 20 项是 200 B．此数列的第 19 项是 182
C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前 项和为
【答案】AC
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为 ，奇数项是后一项减去后一项的项数，
，由此可得 ，A 正确； ，B 错误；C 正确；
0d < 10
11
2a d= − 22
13
2a d= −
10 22a a<
{ }na 1 2a = 4 2 32a a a= +
nS
2q = 2n
na = 10 2047S = 1 2n n na a a+ ++ <
3 22 4 2q q q= + 2 2 0q q− − = 2q =
12 2 2n n
na −= × =
( ) 12 2 1
2 22 1
n
n
nS +
× −
= = −− 10 2046S =
1 3n n na a a++ = 2 4 3n n na a a+ = >
2
2 2na n= n ( 1)nS n n= ⋅ −
2
2 2na n=
2 1 2 2n na a n− = − 2
20 2 10 200a = × = 19 20 20 180a a= − =是一个等差数列的前 项，而题中数列不是等差数列，不可能有 ，D
错．
二、 解答题
21．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
【解析】（1）设 的公比为 ，由题设得 ．
由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ．
故 或 ．
（2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ．由 得 ，解得 ．
综上， ．
22．（2020·河北路北·开滦第一中学高一期末）已知等差数列 和正项等比数列 满足
．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和．
【解析】（1）设等差数列 公差为 ，正项等比数列 公比为 ，
2( 1)nS n n n n= − = − n ( 1)nS n n= ⋅ −
{ }na 1 5 31 4a a a= =，
{ }na
nS { }na n 63mS = m
{ }na q 1n
na q −=
4 24q q= 0q = 2q = − 2q =
( ) 12 n
na −= − 12n
na −=
( ) 12 n
na −= − ( )1 2
3
n
nS
− −= 63mS = ( )2 188m− = −
12n
na −= 2 1n
nS = − 63mS = 2 64m = 6m =
6m =
{ }na { }nb
1 1 2 4 3 51, 10,a b a a b a= = + = =
{ }na
{ }nb
{ }na d { }nb q因为 ，
所以
因此 ；
（2）数列 的前 n 项和
23．（2020·安徽高二期末（理））已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 n 项和 ．
【解析】解：（1）因为 ，
所以 ，两式作差可得
，
整理得 ，则 ，
故 ，
当 时， 满足上式，故 ．
（2）由（1）可知 ，
则 ．
1 1 2 4 3 51, 10,a b a a b a= = + = =
21 1 3 10, 1 4 2, 0 3d d q d d q q+ + + = = + ∴ = > ∴ =
1 11 ( 1) 2 2 1, 1 3 3n n
nna n n b − −= + − × = − = × =
{ }nb 1 3 1 (3 1)1 3 2
n n
nS −= = −−
{ }na nS 1 2a = ( ) ( )*2 1n nS n a n N= + ∈
{ }na
( )( )1
4
2 2n
n n
b a a +
= + + { }nb nT
( ) ( )*2 1n nS n a n N= + ∈
1 12 n nS na− −= ( )2n ≥
( ) ( )12 1 2n n na n a na n−= + − ≥
( ) ( )11 2n nn a na n−=− ≥ ( )
1
21
n
n
a n na n−
= ≥−
( )32
1
1 2 1
2 32 2 21 2 1n
n
na aa na a n na a a n−
= × × × × = × × × × = ≥−
1n = 1 2a = 2na n=
( )( ) ( )( ) ( )( )1
4 4 1 1 1
2 2 2 2 2 4 1 2 1 2n
n n
b a a n n n n n n+
= = = = −+ + + + + + + +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 1 2n nT b b b b n n
= + + + + = − + − + − + + − + + ．
24．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高一期末）已知数列 的前 项和为 ，且满足
， .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）若 ，数列 的前项和为 ，求 .
【解析】（1） ，则当 时， ，
两式相减得： ，
∴ ，即： ，
又 时， ，解得： ，∴ ，
∴ ，
∴数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）得： ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
1 1
2 2 2 4
n
n n
= − =+ +
{ }na n nS
2 2 6n nS a n= + − ( )*Nn∈
{ }2na −
( )2log 2n n nb a a= ⋅ − { }nb nT nT
2 2 6n nS a n= + − 2n ≥ ( )1 12 2 1 6n nS a n− −= + − −
12 2 2n n na a a −= − +
12 2n na a −= − ( )12 2 2n na a −− = −
1n = 1 1 12 2 6S a a= = + − 1 4a = 1 2 2 0a − = ≠ 2 0na − ≠
1
2 22
n
n
a
a −
− =−
{ }2na −
12 2 2 2n n
na −− = × = 2 2n
na = +
( )2log 2n n nb a a= ⋅ − ( )2 2n
nb n= +
( ) ( )2 3
1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3n
n nT b b b b n n= + + +⋅⋅⋅ = × + × + × +⋅⋅⋅+ × + + + +⋅⋅⋅+
( )2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n n
nA n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − ⋅ + ⋅
( )2 3 12 1 2 2 2 1 2 2n n
nA n n += × + × +⋅⋅⋅+ − × + ×两式相减可得： ，
∴ ，又 ，
∴ .
25．（2020·江苏南通·高三其他）已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ， ， ， 成等比数
列，数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）若数列 满足 ，且 为整数，求 m 的值．
【解析】（1）因为 ， ， ， 成等比数列，
所以
即 ,
解得： 或 （舍去）
所以 ，
（2）因为 ，
所以 ，①
( )2 3 1 12 1 2
2 2 2 2 2 21 2
n
n n n
nA n n+ +
−
− = + + +⋅⋅⋅+ − × = − ×−
( ) 11 2 2n
nA n += − ⋅ + ( )11 2 3 2
n nn
++ + +⋅⋅⋅+ =
( ) ( )11 2 2 1n
nT n n n+= − ⋅ + + +
{ }na 1 1a = 4a 6a 9a
{ }nb ( )
1
1 2 1
n
n
i i
i
a b n
=
= − +∑
{ }na
{ }nb
{ }nc n
n
n
ac b
= ( )*
mc m∈N
1 1a = 4a 6a 9a
2
6 4 9a a a= ⋅
( )( )2(1 5 ) 1 3 1 8d d d+ = + +
1d = 0d =
1 1na n n= + − =
( )
1
1 2 1
n
n
i i
i
a b n
=
= − +∑
( )1 1 2 2 1 2 1n
n na b a b a b n+ + + = − ⋅ +②
① ②得： ,
又 ，
所以 ，
当 时， ，即 ，也适合 ，
所以 ,
由 知数列 是公比为 2 的等比数列.
（3） ，
当 时， ， 时， ，
当 时，由 知 ，不是整数，
所以 为整数则 或 .
( ) 1
1 1 2 2 1 1 2 2 1n
n na b a b a b n −
− −+ + + = − ⋅ + ( 2)n ≥
− ( ) ( ) 1 11 2 2 2 2n n n
n na b n n n− −= − ⋅ − − ⋅ = ⋅ ( 2)n ≥
na n=
nb ( )12 2n n−=
1n = 1 1 1a b = 1 1b = 12n
nb −=
12 ( )n
nb n N− ∗= ∈
1
1
2 22
n
n
n
n
b
b
+
−= = { }nb
12
n
n n
n
a nc b −= =
1n = 1 1c = 2n = 2 1c =
3n ≥ 12nn −< 1nc <
( )*
mc m∈N 1m = 2m =
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