资料简介
2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 1 页（共 21 页）
准考证号________________ 姓名________________
（在此卷上答题无效）
保密★启用前
泉州中学数学学科联盟 2020 届高三考前冲刺适应性模拟试卷
文 科 数 学
本试卷共 23 题，满分 150 分，共 6 页．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超
出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择
题答案使用 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
3．若椭圆 的焦点和顶点分别是双曲线 的顶点和焦点，则 的离心率是
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙三部门组织人员报名参加一项志愿者活动，已知甲、乙两部门各报了 2 人，丙部门报了 1
人，若从这 5 人中随机抽取 3 人，则这 3 人来自不同部门的概率为
A． B． C． D．
5．已知函数 是 上的奇函数，当 时， ，则 在 处的切线的
斜率为
A． B． C． D．
5.0
z i 2 iz⋅ = + z
2{ 2 0}A x x x= ∈ − − ≤N| { 1,1,2}B = − A B =
{ 1,1,2}− {1,2} { 1,1}− {1}
149
22
=+ yx E E
5
53
5
54
13
133
3
5
1
3
2
3
3
10
2
5
)(xfy = R 0>x ( ) 2 sinf x x x= + )(xf 2x
π= −
π π− π1− π 1+2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 2 页（共 21 页）
6． 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的
的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知某圆锥的母线与底面所成的角为 ，轴截面的面积为
，则该圆锥的侧面积为
A．
B． C． D．
8． 2020 年 是 5G 的 爆 发 之 年 ， 5 月 中国信 通 院 发 布 了 2020 年 4 月 国 内 手 机 市 场 运 行 分 析 报
告 ， 该 报 告 统 计 了 从 2019 年 7 月 到 2020 年 4 月 这 十 个 月 国 内 手 机 市 场 总 出 货 量 与 国 内
5G 手 机 出 货 量 占 同 期 手 机 出 货 量 比 重 变 化 情 况（ 简 称 市 场 占 比 ），得 到 下 面 两 个 统 计 图 ，
则 下 列 描 述 不 正 确 的 是
A．2020 年 4 月国内 5G 手机出货量是这十个月中的最大值
B．从 2019 年 7 月到 2020 年 2 月，国内 5G 手机出货量保持稳定增长
C．相比 2020 年前 4 个月，2019 年下半年 的 国内手机市场总出货量相对稳定
D．2019 年 12 月到 2020 年 1 月国内 5G 手机市场占比的增长率比 2020 年 1 月到 2 月的增长率大
9．若 ，则
]1,1[−∈x y
]1,1[− ]4
1,1[−
]4
1,2[− ]1,0[
60
34
4
3
π 4π 8π 16π
0c b a> > >2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 3 页（共 21 页）
A． B． C． D．
10． 中，角 的平分线交 于 ，已知 ，则
A． B． C． D．
11．已知函数 则 在 的所有零点之和等于
A． B． C． D．
12．已知半径为 的球 与正方体 的六个面均相切， 为球 的球面上的动点，若
，则 的轨迹对应的曲线长度为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量 ，且 ，则实数 _____________．
14．角 的顶点为坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 交于点 ，则
_____________．
15．若椭圆 的左焦点是 ，坐标原点为 ，给定 上的任意一点 ，则
的最小值为_____________．
16．点 为函数 图象 上一点，已知 向右平移 个单位后仍落
在 上．
①
②存在这样的 ，使得 上任一点向左平移 后仍在 上
③存在这样的 ，使得 上的点 向右平移 后仍在 上
④若 在 单调递减，则
上述四个结论中，所有正确结论的编号为_____________．
c ca ba b
− > − 2ln ln lnb a c< + b c c ba b a b> log loga bc c>
ABC△ A BC D 422 === ADACAB =BC
23 3 22 3 6
>+−
≤−=
.0,1)1(
,0,)(
2
xxf
xxxf xxfxg −= )()( ( ,3]−∞
0 2 5 6
1 O 1111 DCBAABCD − P O
CAPD 11 ⊥ P
π3
6 π3
2 π3
4 π3
62
( ) ( )2,1 , 1,= = − ta b ( )⊥ −a a b =t
α O x O 1( , )2P b
sin( 2 )2
απ =+
13: 2
2
=+ yxE F O E P 22 |||| PFPO +
P ( , ( ))4 4f
π π
( ) sin( )( 0)8f x xω ωπ= + > C P 2
π
C
*{ | 4 , }Nk kω ω ω∈ = ∈
ω C 4
π
C
ω C ( ( ))12 12f
π π
, 5
6
π C
( )f x 19( )54 2
π π
, 27
4
ω =2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 4 页（共 21 页）
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
记 为正项数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为正项等比数列 的前 项和，且 ， ，若 ，求 的最小
值．
18．（12 分）
某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店 20
天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：
（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为 ，方差为 ．
①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若公司规定，分店一年（按 360 天计算）中日销售额不低于 58 万的天数应不少于 90 天，结合
上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？
（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．
nS { }na n nnn Saa 422 =+
{ }na
nT { }nb n 21 ab = 283 =T 1562 ≥+ n
nT n
49 33.872020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 5 页（共 21 页）
19．（12 分）
如图，在六棱锥 中，底面 是边长为 的正六边形， ．
（1）点 在侧棱 上，且 平面 ，证明： 为
的中点；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
20．（12 分）
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
21．（12 分）
已知点 ，直线 ，直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作 的两条切线，切点分别为 ，记△ 的外接圆为 ，不论 取何值，
试判断以 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
P ABCDEF− ABCDEF 4 2 7PA PC= =
Q PE PB∥ CFQ Q
PE
2 5PB = E PCD
2( ) ( 2) lnf x ax a x x= + − −
( )f x
( )f x a
( )0,1F : 1= −l y l′ l P PF l′ Q
Q C
( ), 2−H a C ,A B HAB G a
HG2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 6 页（共 21 页）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分）
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为 ，将曲线 绕点 顺时针旋转 得到曲线 ．
（1）求曲线 的极坐标方程和直角坐标方程；
（2）过点 的直线 交曲线 于 两点，求 的最小值．
23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2） ， ，求 的取值范围．
xOy O x 1C
12sin2 =θρ 1C O 4
π
2C
2C
( )1 1P −， l 2C BA, PBPA ⋅
3)( +−−= xaxxf
2=a ( ) 1f x ≤
[ 3,3]x∀ ∈ − ( ) 4f x x −≤ a2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 7 页（共 21 页）
泉州中学数学学科联盟 2020 届高三考前冲刺适应性模拟卷
文科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查
内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继
部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B
7．C 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D
1．【解析】依题意， ，则其在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．
2．【解析】依题意， ，则 ，故选B．
3．【解析】椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ，设
双曲线 ，则有 ，故其离心率 ，故选 A．
4．【解析】设甲部门的两人为 ，乙部门的两人为 ，丙部门的一人为 ，
从中随机抽取 3 人，则所有基本事件为 ， ， ，
， ， ， ， ， ，
，共 10 种；
3 人来自不同部门包含的基本事件为 ， ， ， ，共
4 种；
ii
i 212 −=+=z
}2,1,0{}21{ =≤≤−∈= xxA N }2,1{=BA
149
22
=+ yx ( ) ( )0,5,0,5− ( ) ( )0,3,0,3−
1: 2
2
2
2
=−
b
y
a
xE 3,5 == ca 5
53
5
3 ===
a
ce
21, AA 21, BB C
},,{ 121 BAA },,{ 221 BAA },,{ 21 CAA
},,{ 211 BBA },,{ 11 CBA },,{ 21 CBA },,{ 212 BBA },,{ 12 CBA },,{ 22 CBA
},,{ 21 CBB
},,{ 11 CBA },,{ 21 CBA },,{ 12 CBA },,{ 22 CBA2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 8 页（共 21 页）
则 3 人来自不同部门的概率为 ．故选 D．
5．【解析】方法一：由函数 是 上的奇函数可得，当 时， ，所以
，所以 ，由导数的几何意义可得所求切线的斜率为 ，故选
A．
方法二：当 时， ，所以 ，因为函数 是
上的奇函数，可导的奇函数的导数是偶函数，所以 ，由导数的几何意义
可得所求切线的斜率为 ，故选 A．
6．【解析】由程序框图可知，函数 ，绘制图象如下所示，结合图
象可知，当 时， ，故选 ．
7．【解析】 如图是圆锥的轴截面，由题意可得， ，所以△
是等边三角形，设圆锥底面圆半径为 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以圆锥侧面积为
，故选 C．
8．【解析】因为 2020 年 4 月国内手机市场总出货量和国内 5G 手机市场占比均为
十个月中的最大值，所以国内 5G 手机出货量最大，故 A 正确；
从 2019 年 7 月到 2020 年 2 月，国内 5G 手机的市场占比保持稳定增长，受国内手机总出货量
影响，2 月国内 5G 手机的出货量比 1 月有所下降，故 B 错误；
由上图知，相比 2020 年前 4 个月，2019 年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定，故 C 正
确；2019 年 12 月到 2020 年 1 月国内 5G 手机市场占比的增长率为 ，
2020 年 1 月到 2 月的增长率为 ，前者大，故 D 正确；故选 B．
9．【解析】通过 ，或构造函数 ，根据其在 单调递增，
可知 ，故 A 错误；
因为 与 大小不能确定，故 B 错误；
因为 ，所以 ，故 C 正确；
5
2
10
4 =
( )xfy = R 0x ( ) 2 sinf x x x= + ( ) xxxf cos2 +=′ ( )xfy = R
2 2f f
π π ′ ′− = = π
π
2 , 0,
2 2, 0.x
x x xy
x−
− >= − ≤
]1,1[−∈x 1[ 1, ]4y∈ − B
60, =∠= SABSBSA
SAB r rAB 2=
34322
1 =××=∆ rrS SAB 42 =r
2 8rl r rπ = π × = π
26.3% 17.8% 0.4817.8%
− ≈
37.3% 26.3% 0.4226.3%
− ≈
( ) ( )(1 ) 0c c ca b a ba b ab
− − − = − + < ( ) cf x x x
= − (0, )+∞
( ) ( )f a f b<
2b ac
( ) 1
b c
b c c b b c
c b
a b aa ba b b
− − −= = > b c c ba b a b>2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 9 页（共 21 页）
令 ，则 ，故 D 错误．故选 C．
10．【解析】解法一：依题意， ， ，由正弦定理可知，
中， ①； 中， ②，
将①÷②，得 ，故设 ，则 ，
又因为 ③，由余弦定理可知，
中， ④； 中，
⑤，
联立③④⑤，可求得 ，故 ，故选A．
解法二：过 作 ，
因为 ，所以 ，
由角平分线定理可知， ，若设
，则 ， ．
在 中， ①
在 中， ②
联立①②可得 ，故 ，故选A．
11．【解析】由已知可作出函数 的部分图象，可得当 时 与
的图象的交点的横坐标分别为 ，
所以 在 的所有零点之和等于 5，故选 C．
12．【解析】依题意， 的轨迹为平面 与球 的截面对应的圆 ．
依题意，可计算得， ，记 的中点为 ，
在直角 中，可求得 ，故圆 的周长为 ，
故选 ．
1c = log log 0a bc c= =
sin sinBAD CAD∠ = ∠ sin sinCAD ADC∠ = ∠
ABD△
sin sin
BD AB
BAD ADB
=∠ ∠ ACD△
sin sin
CD AC
CAD ADC
=∠ ∠
: :AB AC BD CD= 2BD x= CD x=
cos cosADB ADC∠ = − ∠
ABD△
2 2 2
cos 2
AD BD ABADB AD BD
+ −∠ = ⋅ ACD△
2 2 2
cos 2
AD CD ACADC AD CD
+ −∠ = ⋅
2x = 3 2BC =
A EBCAE =⊥
ADAC = EDEC =
CDBDACAB :: =
xCD =
2
xEDEC == xBD 2=
AED△ 22 4 EDAE −=
AEB△ 222 )( ABBDEDAE =++
2x = 3 2BC =
( )xf 3≤x ( )xfy =
xy = 1,0,1,2,3−
( ) ( ) xxfxg −= ( ,3]−∞
P 1 1AB D O 1O
1
3
3OO = 1 1B D 1P
1 1OO P△ 1 1
6= 3O P 1O π3
62
D2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 10 页（共 21 页）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．【解析】解法一：由已知 ，得 ，
根据 得 ，解得 ．
解法二：由 ，得 构成以 为斜边的直角三角形，
又 ，由勾股定理，得 ，即
，解得 ．
14．【解析】由已知可得， ．
15．【解析】解法一： 由已知，得 设 ，
则
解法二：设 ，
所以
令 ，则 ，
当 ，
解法三：由中线定理，得
设 ，
则 （令 ）
，
( ) ( )2,1 , 1,t= = −a b ( )3,1 t− = −a b
( )⊥ −a a b ( ) 2 3 1 (1 ) 7 0t t⋅ − = × + ⋅ − = − =a a b 7t =
( )⊥ −a a b , , −a b a b b
( )225, 1 , 9 1= = + − = + −t ta b a b ( )2 25 9 1 1+ + − = +t t
5 9 2 0+ − =t 7=t
2
2 1 1sin( 2 cos2 2cos 1 2 12 2 2
α α απ = = − = − = − + ）
( ),0,2−F ),( yxP
( ) 222222 2|||| yxyxPFOP ++++=+
++=++=+
−++= 32
23
3
44223
42312222 2
22
2 xxxxxxx
2
5
2
5
4
23
3
4
8
15
4
23
2
23
3
4
22
2 ≥+
+=
+
++= xxx )33( ≤≤− x
( )θθ sin,cos3P ( ),0,2−F
( ) θθθθ 222222 sin2cos3sincos3|||| ++++=+ PFPO
θθθθθ cos62cos442cos62sin2cos6 222 ++=+++=
[ ]1,1cos −∈= θt 4624|||| 222 ++=+ ttPFPO
4
6−=t ( ) .2
5
16
40
16
2464|||| min
22 ==−=+ PFPO
( ) 122
2222|||| 2
2
22222 +=
+=+=+ PMPMOMPMPFPO
( )θθ sin,cos3P ,0,2
2
−M
θθ 2
2
sin2
2cos3 +
+=PM [ ]1,1cos −∈= θt
≥++=++=
2
36t22
3cos6cos2 22 tθθ
2
3
8
62
324
=
−×× [ ]1,1−∈t2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 11 页（共 21 页）
所以 ．
16．【解析】由已知可得，图象 的周期为 ，或一条对称轴为 ，
故 或 ，所以①错误；
存在 ， ，所以②正确；
因为图象有一条对称轴为 ，则 关于 的对称点为 ，故
存在 ，使得 上的点 向右平移 后仍在 上 ，所以③正确；
因 为 时 ， 在 单 调 递 减 ， 且 ， 故 时 ， 在
单调递减也成立，所以④错误．故选②③．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
记 为正项数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为正项等比数列 的前 项和，且 ， ，若 ，求 的最小
值．
【命题意图】本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列通项与和等基础知识；考查运算求解、推
理论证等基本能力；考查分类与整合、化归与转化基本思想；取向数学运算、逻辑推理
核心素养．
解析：（1）当 时， ，可得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
( )
2
514
32122|||| 22222 =+×≥+=+=+ PMOMPMPFPO
C (2
k k
π ∈Z) 1
4 2 2 2x
π π π= + × =
4kω = 3 24 kω = +
8ω =
4T
π=
2
π=x ( ( ))12 12f
π π
, 2
π=x 11( , ( ))12 12f
π π
ω C ( ( ))12 12f
π π
, 11 5
12 12 6
π π− = π C
11
4
ω = ( )f x )4 2
π π（ , )4 2
π π（ , 19( )54 2
π π⊇ , 11
4
ω = ( )f x
19( )54 2
π π
,
nS { }na n nnn Saa 422 =+
{ }na
nT { }nb n 21 ab = 283 =T 1562 ≥+ n
nT n
1=n 11
2
1 42 Saa =+ 21 =a2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 12 页（共 21 页）
当 时，由 ①，可得 ②．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
①—②得： ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
整理得 ．因为 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙5 分
所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）依题意，设 为 的公比， ， ，
又 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以 ，
由 ，得 ，故所求 的最小值为 5． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
18．（12 分）
某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店 20
天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：
（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为 ，方差为 ．
①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若公司规定，分店一年（按 360 天计算）中日销售额不低于 58 万的天数应不少于 90 天，结
合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？
（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．
【命题意图】本题主要考查平均数、方差、直方图基础知识；考查数据处理、运算求解基本能力；或
然与必然的统计概率基本思想；取向数据分析、数学运算核心素养．
2≥n nnn Saa 422 =+ 11
2
1 42 −−− =+ nnn Saa
1
2
1
2 22 −− +=− nnnn aaaa
( )( ) 0211 =−−+ −− nnnn aaaa 0>na ( )221 ≥=− − naa nn
( ) nnan 2212 =⋅−+=
q { }nb 421 == ab ( ) 2814 2
3213 =++=++= qqbbbT
0>q 2=q
( ) ( )12421
214 −=−
−= n
n
nT
42524242 −⋅=+−⋅=+ nnnn
nT
156425 ≥−⋅ n 5≥n n
49 33.872020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 13 页（共 21 页）
解法一：（1）①估计算乙店的日销售额平均数为
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
②日销售额超过 58 万的天数占比不少于 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
甲日销售额不低于 58 万的概率约为
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
乙日销售额不低于 58 万的概率约为
，
两者均大于 ，两店均有达到这一规定的要求．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
（2）答案不唯一，但需结合数据与统计概率相关知识加以说理，方能给分．
答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，经计算，乙店方差为 771，故甲店销售情况
比乙店要稳定，所以我选甲店；
答案二：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知，甲店的销售额方差
明显低于甲店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；
答案三：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在 80 万-100 万出现的
概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
解法二：（1）①同解法一．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
②日销售额超过 58 万的天数占比不少于 ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
由甲店的频率分布直方图可知，若甲店日销售额不低于 万元时的概率不低于 ，
则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由乙店的频率分布直方图可知，乙店日销售额不低于 60 万元的概率约为
，两店均有达到这一规定的要求．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
（2）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19．（12 分）
如图，在六棱锥 中，底面 是边长为 的正六边
形， ．
（1）点 在侧棱 上，且 平面 ，证明： 为 的中点；
20 0.1 25 0.3 25 0.5 10 0.7 20 0.9 47x = × + × + × + × + × =乙
4
1
360
90 =
(60 58) 0.03 20 0.0075 20 0.0025 0.26− × + × + × =
(60 58) 0.0125 20 0.005 20 0.010 0.325− × + × + × =
4
1
4
1
360
90 =
x
4
1
0.25 0.0075 20 0.0025 20 160 58 580.03 3x
− × − ×= − = >
120 0.005 20 0.010 0.3 4
× + × = >
P ABCDEF− ABCDEF 4
2 7PA PC= =
Q PE PB∥ CFQ Q PE2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 14 页（共 21 页）
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
【命题意图】本题主要考查线面平行、线面垂直、多面体的体 积、
点面距等基础知识；考查空间想象、运算求解、推 理论
证等基本能力；考查转化与化归、数形结合等基 本思
想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心 素
养．
解析：（1）设 ，在正六边形 中，易知 为 中点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
因为 为 中点，所以 为 的中点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）设 ，连结 ．
在正六边形 中，易得 ， ．
又因为 ，所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
在正六边形 中， ，所以 ， ．
又因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，即 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
， ， ， 平面 ，
所以 平面 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ， ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，易得 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
记 为点 到平面 的距离，由 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
2 5PB = E PCD
CF BE R= ABCDEF R BE
PB∥ CFQ PB ⊂ PBE PBE CFQ QR=
PB QR∥
R BE Q PE
AC BE O= PO
ABCDEF AC BE⊥ AO CO=
PA PC= PO AC⊥
ABCDEF 4AB BC= = 2 3AO CO= = 2BO =
2 7PA PC= = 4PO =
2 5PB = 2 2 2PB BO PO= + PO BO⊥
PO AC⊥ PO BO⊥ BO AC O= ,BO AC ⊂ ABCDEF
PO ⊥ ABCDEF
PO ⊥ ABCDEF PO ⊂ PAC PAC ⊥ ABCDEF
BE ⊂ ABCDEF BE AC⊥ PAC ABCDEF AC=
BE ⊥ PAC CD BE∥ CD ⊥ PAC
PC ⊂ PAC CD PC⊥ 74=PCDS△
h E PCD E PCD P CDE
=- -V V 34=CDES△2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 15 页（共 21 页）
可得 ，可得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20．（12 分）
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【命题意图】本题主要考查函数单调性、零点基础知识；考查运算求解、推理论证基本能力；考查数
形结合、分类与整合等基本思想；取向数学运算、逻辑推理等核心素养．
解法一：（1） ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
①当 时， ，所以 ，所以 在 上递减．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
②当 时，由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 上递减，在 上递增．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）①当 时，由（1）可知， 在 上递减，不可能有两个零点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
②当 时， ，令 ，
则 ，所以 在 上递增，而 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
当 时， ，从而 没有两个零点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
当 时， ，
在 上取 ， ，
所以 在 上有 个零点；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
在 上取 ，
1 1
3 3PCD CDES h S PO⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 4 21
7h =
2( ) ( 2) lnf x ax a x x= + − −
( )f x
( )f x a
( ) ( ) ( )( )2 1 112 2 ( 0)x axf x ax a x xx x
+ −′ = + − − = >
0a ≤ 1 0ax − < ( ) 0f x′ < ( )f x ),0( +∞
0a > ( ) 0f x′ > 1x a
> ( ) 0f x′ < 10 x a
< <
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )f x ),0( +∞
0a > ( )
min
1 1 ( 2) 1 1ln 1 lnaf x f aa a a a a
− = = + − = − +
( ) 11 lng a aa
= − +
( ) 2
1 1 0g a a a
′ = + > ( )g a ( )0,+∞ ( )1 0g =
1a ≥ ( ) ( )
min 0g a f x= ≥ ( )f x
0 1a< < ( ) ( )
min 0g a f x=
( )f x 1 1,e a
1
1 ,a
+∞
3 11x a a
= − >2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 16 页（共 21 页）
因为 ，
所以 在 上有 个零点．综上所述， 的取值范围为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
解法二：（1）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）方程 等价于 ，所以 有两个零点等价于
有两个解， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
令 ，
则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
令 ，则 ，所以 在 上递增，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
而 ，所以当 时， ， ，当 时， ，
，所以 在 上递增，在 上递减．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
，当 时， ，当 时， ．若 有两个
零点，则 与 有两个交点，所以 的取值范围是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
解法三：（1）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）问题等价于方程 有两个解，即 ．
令 ， ，
则 有两个零点等价于 与 有两个交点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
因为 ，由 可得 ，由 可得 ，所以 在
上递增，在 上递减， ，当 时， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
是斜率为 ，过定点 的直线．
当 与 相切的时候，设切点 ，
( )23 3 3 3 3 31 1 2 1 ln 1 1 ln 1 0f a aa a a a a a
− = − + − − − − = − − − >
( )f x 1 ,a
+∞ 1 a ( )0,1
2 ( 2) ln 0ax a x x+ − − = 2
2 lnx xa x x
+= + ( )f x
2
2 lnx xa x x
+= +
( ) 2
2 lnx xG x x x
+= +
( )
( ) ( )( )
( )
2
22
12 2 ln 2 1x x x x xxG x
x x
+ + − + + ′ = =
+
( )( )
( )22
2 1 1 lnx x x
x x
+ − +−
+
( ) 1 lnH x x x= − + ( ) 11 0H x x
′ = + > ( )H x ( )0,+∞
( )1 0H = 0 1x< < ( ) 0H x < ( ) 0G x′ > 1x > ( ) 0H x >
( ) 0G x′ < ( )G x ( )0,1 ( )1,+∞
( )1 1G = 0x +→ ( )G x → −∞ x → +∞ ( ) 0G x +→ ( )f x
y a= ( )G x a ( )0,1
2 ( 2) ln 0ax a x x+ − − = ( ) ln1 2 xa x x
+ − =
( ) ( )1 2k x a x= + − ( ) ln xx x
ϕ =
( )f x ( )y k x= ( )y xϕ=
( ) 2
1 ln xx x
ϕ −′ = ( ) 0xϕ′ > 0 ex< < ( ) 0xϕ′ < ex > ( )xϕ
( )0,e ( )e,+∞ ( ) 1e e
ϕ = x → +∞ ( ) 0xϕ +→
( )y k x= a ( )1, 2A − −
( )y k x= ( )y xϕ= ( )0 0,P x y2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 17 页（共 21 页）
则有 ，消去 和 ，可得 ，
即 ，即 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
令 ，显然 是增函数，且 ，
于是 ，此时切点 ，斜率 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以当 与 有两个交点时， ，所以 的取值范围是 ．∙∙12 分
21．（12 分）
已知点 ，直线 ，直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作 的两条切线，切点分别为 ，记△ 的外接圆为 ，不论 取何值，
试判断以 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题主要考查曲线的方程、垂直平分线的性质等基础知识；考查运算求解能力；体现数
形结合思想；取向逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养．
解析：（1）依题意，得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
假设 点的坐标为 ，则 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
化简，得到 ，所以点 的轨迹 的方程是 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）解法一：假设 ， ，
抛物线方程化成 ，求导，得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
，中垂线 的斜率是 中点坐标是
的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
又 即
代入上面式子，得
( )
0
0
0
0 0
0
2
0
ln
1 2
1 ln
xy x
y a x
x ax
=
= + −
− =
a 0y ( )0 0
02
0 0
ln 1 ln 1 2x x xx x
−= + −
( )( )0 0 02 1 ln 1 0x x x+ + − = 0 0ln 1 0x x+ − =
( ) ln 1p x x x= + − ( )p x ( )1 0p =
0 1x = ( )1,0P 1a =
( )y k x= ( )y xϕ= 0 1a< < a ( )0,1
( )0,1F : 1= −l y l′ l P PF l′ Q
Q C
( ), 2−H a C ,A B HAB G a
HG
=FQ PQ
Q ( ),x y 2 2( 1) 1+ − = +x y y
2 4=x y Q C 2 4=x y
2 2
1 1 2 2
1 1( , ), ( , )4 4A x x B x x ( ), 2−H a
21
4y x= 1
2y x′ =
1
1
2
=HAk x HA
1
2 ,k x
= − HA
2
1 1 8( , ),2 8
x a xA
+ −
HA
2
1 1
1
8 2
8 2
x x ay xx
− + − = − −
( )1
2
1 1
42 ,8
x a
x x
−− = − +
2
1 12 8,x ax− =
1 1
1
2
4 2
ax x ay xx
+ − = − − 2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 18 页（共 21 页）
同理可得 的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
联立方程，得圆心坐标是 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
以 为直径的圆的方程为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
化简整理，得 ，
即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
由 的任意性，得 ，
即 ，解得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以以 为直径的圆恒过定点 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
解法二：（1）同解法一； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）假设 ， ，
抛物线方程化成 ，求导得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
，中垂线 的斜率是 中点坐标是 ，
的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
又 即
代入上面式子，得
同理可得 的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
联立方程，得圆心坐标 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由对称性可知，定点存在且必在 轴上，设为点 ，则
( ) ( ) 23 2 1 0.2 2
ax a x a y y
− − + + − − =
HB 2 2
2
2
4 2
ax x ay xx
+ − = − −
23( ,1 )2 2
+ aG a
HG
2
2 2 25 12 02 2 2
− + + − − + =ax ax y y y a
( )2 2 2 25 2 2 2 4= + + − − +ax x y a y a
a ( )2 2 2 2
0
2 2 2 4 0
= + + − − + =
x
x y a y a
( ) ( )2
0
1 2 4 0
= − − − =
x
y y a
0
1
=
=
x
y
HG ( )0,1
2 2
1 1 2 2
1 1( , ), ( , )4 4A x x B x x ( ), 2−H a
21
4y x= 1
2y x′ =
1
1
2
=HAk x HA
1
2 ,k x
= − HA )8
8,2(
2
11 −+ xax
HA
2
1 1
1
8 2
8 2
x x ay xx
− + − = − −
( )1
2
1 1
42 ,8
x a
x x
−− = − +
2
1 12 8,x ax− =
1 1
1
2
4 2
ax x ay xx
+ − = − −
HB 2 2
2
2
4 2
ax x ay xx
+ − = − −
23( ,1 )2 2
+ aG a
y ( )00,M y2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 19 页（共 21 页）
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
则
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
由 的任意性，得 ，解得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以以 为直径的圆恒过定点 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分）
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为 ，将曲线 绕点 顺时针旋转 得到曲线 ．
（1）求曲线 的极坐标方程和直角坐标方程；
（2）过点 的直线 交曲线 于 两点，求 的最小值．
【命题意图】本题主要考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、参数几何意义基础知识；考查推
理论证、运算求解等基本能力；考查数形结合、化归与转化等基本思想；取向数学运算、
直观想象、逻辑推理等核心素养．
解析：（1）设 是曲线 上任意一点，
则 绕点 逆时针旋转 得到点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
2
0
3( , 1 )2 2
= − − − aGM a y 0( , 2)= − +HM a y
2 2
2 2 2
0 0 0 0 0 0
3 3( 1 )( 2) 2 22 2 2 2
⋅ = ⋅ + − − + = + + − − − − a aGM HM a a y y a y y y y a
2 2
0 0 0
1 1 2 02 2
= − + + − = y a y y
a 0
2
0 0
1 1 02 2
2 0
− =
+ − =
y
y y
0 1=y
HG ( )0,1
xOy O x 1C
12sin2 =θρ 1C O 4
π
2C
2C
( )1 1P −， l 2C BA, PBPA ⋅
( )θρ,M 2C
( )θρ,M O 4
π
+′
4
π,θρM2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 20 页（共 21 页）
因为 在曲线 上，所以 =1，
化简得曲线 的极坐标方程是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
可得 ，将 代入即得
曲线 直角坐标方程 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）设直线 的参数方程为 （ 为参数）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
代入 直角坐标方程 得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
设点 对应的参数分别为 ，则 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由参数 的几何意义得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
当且仅当 时， 取得最小值 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2） ， ，求 的取值范围．
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式基础知识；考查运算求解基本能力；考查函数与方程、分类
与整合、数形结合等基本思想；取向数学运算核心素养．
解析：（1）当 时，
当 时， 无解，故不成立；.....................................................................1 分
当 时， ，解得 ； .................................................3 分
当 时， 恒成立，综上所述， ．.................................................5 分
（2） ， 等价于 ， .................................................7 分
即 ， ..............................................................................................................8 分
'M 1C
+
4
π2sin2 θρ
2C 12cos2 =θρ
12cos2 =θρ 1sincos 2222 =− θρθρ yx == θρθρ sin,cos
2C 122 =− yx
l
+−=
+=
，
，
α
α
sin1
cos1
ty
tx t
2C 122 =− yx ( ) 01cossin22cos 2 =−++⋅ tt ααα
BA, 21,tt α2cos
1
21 −=tt
t α2cos
1
21 ==⋅ ttPBPA
0=α PBPA ⋅
3)( +−−= xaxxf
2=a ( ) 1f x ≤
[ 3,3]x∀ ∈ − ( ) 4f x x −≤ a
2=a
5, 3
( ) 2 3 1 2 , 3 2
5, 2
x
f x x x x x
x
−
= − − + = − − −
≤
≤
3x −≤ ( ) 5 1f x = ≤
3 2x− < ≤ ( ) 1 2 1f x x= − − ≤ 1 2x− ≤ ≤
2x > ( ) 5 1f x = − ≤ x≥- 1
[ 3,3]x∀ ∈ − 3 4x a x x− − + −≤ 7x a− ≤
77 +≤≤− axa2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（文科）试题 第 21 页（共 21 页）
得 ．......................................................................................................................10 分44 ≤≤− a
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