资料简介
北京市西城区
2020
年
6
月高三数学试卷
第
1
页(共
6
页)
西 城 区 高 三 模 拟 测 试
数
学
2020. 6
本试卷共
6
页, 150
分。考试时长
120
分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规定
处, 并将答案写在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一
并交回。
第
Ⅰ
卷 (选择题
共
40
分)
一、选择题: 本大题共10 小题, 每小题4 分, 共40 分. 在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要求的一项.
1 . 设全集U = R , 集合 A = {x |x < 2 }, B = {x |x < 1 }, 则集合 (∁U A )∪B =
(A ) (-
¥,2 ) (B ) [2 , +
¥)
(C ) (1 ,2 ) (D ) (-
¥,1 )∪[2 , +
¥)
2 . 设复数z = 1 + i , 则୵z 2
=
(A ) - 2i (B )2i (C )2 - 2i (D )2 + 2i
3 . 焦点在x 轴的正半轴上, 且焦点到准线的距离为
4
的抛物线的标准方程是
(A )x 2
= 4y (B )y 2
= 4x (C )x 2
= 8y (D )y 2
= 8x
4 . 在锐角
△A B C 中, 若a = 2 , b = 3 , A = π
6
, 则
cosB =
(A ) 3
4
(B ) 3
4
(C ) 7
4
(D )3 3
4
5 . 函数f (x )= x - 1x
是
(A ) 奇函数, 且值域为 (0 , +
¥) (B ) 奇函数, 且值域为 R
(C ) 偶函数, 且值域为 (0 , +
¥) (D ) 偶函数, 且值域为 R北京市西城区
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6 . 圆x 2
+ y 2
+ 4x - 2y + 1 = 0
截x 轴所得弦的长度等于
(A )2 (B )2 3 (C )2 5 (D )4
7 . 设a ,b ,c 为非零实数, 且a > b > c , 则
(A )a - b > b - c (B ) 1a < 1b < 1c
(C )a + b > 2c (D ) 以上三个选项都不对
8 . 设向量a ,b 满足
|a | = |b | = 1 , a ·b = 1
2
, 则
|a + xb | (x ∈R ) 的最小值为
(A ) 5
2
(B ) 3
2
(C )1 (D ) 2
9 . 设 {a n } 为等比数列, 则 “对于任意的 m ∈N * , a m + 2 > a m ”是 “{a n } 为递增数列”的
(A ) 充分而不必要条件 (B ) 必要而不充分条件
(C ) 充分必要条件 (D ) 既不充分也不必要条件
10 . 佩香囊是端午节传统习俗之一. 香囊内通常填充一些中草药, 有清香、驱虫、开窍的功
效. 因地方习俗的差异, 香囊常用丝布做成各种不同的形状, 形形色色, 玲珑夺目.
图
1
的
▱A B C D 由六个正三角形构成. 将它沿虚线折起来, 可得图
2
所示的六面
体形状的香囊. 那么在图
2
这个六面体中, 棱A B 与C D 所在直线的位置关系为
图
1
图
2
(A ) 平行 (B ) 相交 (C ) 异面且垂直 (D ) 异面且不垂直北京市西城区
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第
Ⅱ
卷 (非选择题
共
110
分)
二、填空题: 本大题共5 小题, 每小题5 分, 共25 分.
11 . 在 (1 + 5x )6 的展开式中, x 的系数为 .
12 . 在等差数列 {a n } 中, 若a 1 + a 2 = 16 , a 5 = 1 , 则a 1 = ; 使得数列 {a n } 前n 项
的和S n 取到最大值的n = .
13 . 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积
为 .
14 . 能说明 “若 m (n + 2 )≠0 , 则方程x 2
m +
y 2
n + 2 = 1
表示的曲
线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m , n 的值是 .
15 . 已知函数f (x ) 的定义域为R , 满足f (x + 2 )= 2f (x ), 且当x ∈(0 ,2 ] 时,f (x )= 2
x
- 3 .
有以下三个结论:
① f (- 1 )= - 1
2
;
②
当a ∈(1
4
, 1
2
] 时, 方程f (x )= a 在区间 [- 4 ,4 ] 上有三个不同的实根;
③
函数f (x ) 有无穷多个零点, 且存在一个零点b ∈Z .
其中, 所有正确结论的序号是 .北京市西城区
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三、解答题: 本大题共6 小题, 共85 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
16 . (本小题满分
14
分)
如图, 在三棱柱 A B C - A 1 B 1C 1
中, C C 1 ⊥
底面 A B C , A C ⊥B C , D 是A 1C 1
的
中点, 且 A C = B C = A A 1 = 2 .
(Ⅰ) 求证: B C 1 ∥
平面 A B 1 D ;
(Ⅱ) 求直线B C 与平面A B 1 D 所成角的正弦值.
17 . (本小题满分
14
分)
已知函数f (x )= A sin (ωx + φ) (A > 0 , ω> 0 , 0 < φ< π
2
) 同时
满足下列四个条
件中的三个:
①
最小正周期为
π; ②
最大值为
2 ; ③ f (0 )= - 1 ; ④ f (- π
6
)= 0 .
(Ⅰ) 给出函数f (x ) 的解析式, 并说明理由;
(Ⅱ) 求函数f (x ) 的单调递增区间.北京市西城区
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18 . (本小题满分
14
分)
随着科技的进步, 视频会议系统的前景愈加广阔. 其中, 小型视频会议软件格外受
人青睐. 根据调查统计, 小型视频会议软件下载量前
6
名的依次为
A , B , C , D , E , F .
在实际中, 存在很多软件下载后但并未使用的情况. 为此, 某调查公司对有视频
会议需求的人群进行抽样调查, 统计得到这
6
款软件的下载量W (单位: 人次) 与使用
量U (单位: 人次), 数据用柱状图表示如下:
定义软件的使用率t =
U
W , 当t ≥0. 9
时, 称该款软件为 “有效下载软件”. 调查公
司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.
(Ⅰ) 在这
6
款软件中任取
1
款, 求该款软件是 “有效下载软件”的概率;
(Ⅱ) 从这
6
款软件中随机抽取
4
款, 记其中 “有效下载软件”的数量为 X , 求 X 的分
布列与数学期望;
(Ⅲ) 将 (Ⅰ) 中概率值记为x % . 对于市场上所有小型视频会议软件, 能否认为这些软
件中大约有x %
的软件为 “有效下载软件”? 说明理由.
19 . (本小题满分
15
分)
设函数f (x )= axlnx , 其中a ∈R .曲线y = f (x ) 在点 (1 ,f (1 )) 处的切线经过点 (3 ,2 ).
(Ⅰ) 求a 的值;
(Ⅱ) 求函数f (x ) 的极值;
(Ⅲ) 证明: f (x )>
x
e
x - 2
e
.北京市西城区
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20 . (本小题满分
14
分)
已知椭圆E :
x 2
a 2 +
y 2
b 2 = 1 (a > b > 0 ) 经过点C (0 ,1 ), 离心率为 3
2
.O 为坐标原点.
(Ⅰ) 求椭圆E 的方程;
(Ⅱ) 设A ,B 分别为椭圆E 的左、右顶点, D 为椭圆E 上一点 (不在坐标轴上), 直线C D
交x 轴于点P , Q 为直线A D 上一点, 且O P→·O Q→= 4 , 求证: C ,B ,Q 三点共线.
21 . (本小题满分
14
分)
如图, 表
1
是 一 个 由
40 ×20
个 非 负 实 数 组 成 的
40
行
20
列 的 数 表, 其 中
a m ,n (m = 1 ,2 , …,40 ; n = 1 ,2 , …,20 ) 表示位于第 m 行第n 列的数. 将表
1
中每一
列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列 (不改变该数所在的列的位置), 得到
表
2 (即b i ,j ≥b i + 1 ,j , 其中i = 1 ,2 , …,39 ; j = 1 ,2 , …,20 ).
表
1
表
2
a 1 ,1 a 1 ,2 … a 1 ,20
a 2 ,1 a 2 , 2 … a 2 ,20
… … … …
a 40 ,1 a 40 , 2 … a 40 , 20
b 1 ,1 b 1 ,2 … b 1 ,20
b 2 ,1 b 2 , 2 … b 2 ,20
… … … …
b 40 ,1 b 40 , 2 … b 40 , 20
(Ⅰ) 判断是否存在表
1 , 使得表
2
中的b i ,j (i = 1 ,2 , …,40 ;j = 1 ,2 , …,20 ) 等于
100 - i - j ? 等于i + 2
- j 呢? (结论不需要证明)
(Ⅱ) 如果b 40 ,20 = 1 , 且对于任意的i = 1 ,2 , …,39 ;j = 1 ,2 , …,20 , 都有b i ,j - b i + 1 ,j ≥1
成立, 对于任意的 m = 1 ,2 , …,40 ; n = 1 ,2 , …,19 , 都有b m ,n - b m ,n + 1 ≥2
成立,
证明: b 1 ,1 ≥78 ;
(Ⅲ) 若a i ,1 + a i ,2 + …+ a i ,20 ≤19 (i = 1 ,2 , …,40 ), 求最小的正整数k , 使得任给i ≥k ,
都有b i ,1 + b i ,2 + …+ b i ,20 ≤19
成立.北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 1页（共 7页）
西 城 区 高 三 模 拟 测 试
数学参考答案 2020.6
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
1．D 2．A 3．D 4．C 5. B
6. B 7. C 8. B 9. C 10. B
二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分.
11． 30 12． 9 ，5 13． 4 5 4+
14． 答案不唯一. 如 3m ， 1n 15． ① ②
注：第 12 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他
得 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）如图，连接 1A B . 设 1 1A B AB E ，并连接 DE .
由三棱柱 1 1 1ABC A B C ，得 1A E BE . ………… 2 分
又因为 D 是 1 1A C 的中点，
所以 1 //BC DE . ……………… 4 分
又因为 1BC 平面 1AB D ， DE 平面 1AB D ，
所以 1 //BC 平面 1AB D . ……………… 6 分
（Ⅱ）因为 1CC 底面 ABC ， AC BC ，
所以 CA ， CB ， 1CC 两两垂直，故分别以 CA ， CB ， 1CC 为 x 轴， y 轴， z 轴，如
图建立空间直角坐标系， ……………… 7 分
则 (0,0,0)C ， (0,2,0)B ， (2,0,0)A ， 1 (0,2,2)B ， (1,0,2)D ，
所以 1 ( 2,2,2)AB ， 1 (1, 2,0)B D ， (0, 2,0)BC ， ……………… 8 分
D
C
A1 B1
C1
A B
E
yx
z北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 2页（共 7页）
设平面 1AB D 的法向量 ( , , )x y zn ，
由 1 0AB
n ， 1 0B D
n ，得 2 2 2 0,
2 0,
x y z
x y
令 1y ，得 (2,1,1)n . ………………11 分
设直线 BC 与平面 1AB D 所成的角为 ，
则 6sin | cos , | | | 6| | | |
BCBC
BC
nn
n
，
所以直线 BC 与平面 1AB D 所成角的正弦值为 6
6 . ……………… 14 分
17．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）若函数 ( )f x 满足条件③，
则 (0) sin 1f A .
这与 π0, 0 2A 矛盾，故 ( )f x 不能满足条件③，
所以函数 ( )f x 只能满足条件①，②，④. ……………… 2 分
由条件①，得 2π π| | ，
又因为 0 ，所以 2 . ……………… 4 分
由条件②，得 2A . ……………… 5 分
由条件④，得 π π( ) 2sin( ) 06 3f ，
又因为 π0 2
，所以 π
3
.
所以 π( ) 2sin(2 )3f x x . ……………… 8 分
（Ⅱ）由 π π ππ 2 π+2 3 22 2xk k ≤ ≤ ， kZ ， ……………… 10 分
得 5π ππ π+12 12xk k ≤ ≤ ， ……………… 12 分
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5π ππ π+ ]12 12[k k , ， kZ . ……………… 14 分
（注：单调区间写成开区间亦可. ）北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 3页（共 7页）
18．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）根据数据，可得软件 A，B，C，D，E，F 的使用率 A
91 0.996t ， B
84 0.991t ，
C
69 0.985t ， D
54 0.974t ， E
64 0.969t ， F
63 0.965t .
所以软件 A，B，E，F 为“有效下载软件”. ……………… 2 分
记事件 M 为“在 6 款软件中任取 1 款，该款软件是有效下载软件”， ……… 3 分
则事件 M 的概率 4 2( ) 6 3P M . ……………… 4 分
（Ⅱ）随机变量 X 的可能取值为 2，3，4. ……………… 5 分
则
2 2
4 2
4
6
C C 2( 2) C 5P X ，
3 1
4 2
4
6
C C 8( 3) C 15P X ，
4
4
4
6
C 1( 4) C 15P X . …… 8 分
所以随机变量 X 的分布列为：
X 2 3 4
P 2
5
8
15
1
15
……………… 9 分
所以随机变量 X 的数学期望 2 8 1 82 3 45 15 15 3EX . ……………… 10 分
（Ⅲ）不能认为大约有 %x 的软件为“有效下载软件”. ……………… 12 分
理由如下：
若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的
频率，即是用样本估计总体.
用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取.
但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排
名前 6 名”的软件，不是从所有软件中随机抽取 6 款作为样本.
故不能认为大约有 %x 的软件为“有效下载软件”. ……………… 14 分
19．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）由 ( ) lnf x ax x ，得 ( ) lnf x a x a ， ……………… 2 分北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 4页（共 7页）
则 (1) 0f ， (1)f a .
所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线为 ( 1)y a x . ……………… 4 分
将点 (3,2) 代入切线方程，得 1a . ……………… 5 分
（Ⅱ）由题意，得 ( ) lnf x x x ， ( ) ln 1f x x .
令 ( ) 0f x ，得 1
ex . ……………… 7 分
随着 x 变化， ( )f x 与 ( )f x 的变化情况如下表所示：
所以函数 ( )f x 在 1(0, )e
上单调递减，在 1( ,+ )e
上单调递增. ……………… 9 分
所以函数 ( )f x 存在极小值，且极小值为 1 1( )e ef ；函数 ( )f x 不存在极大值.
……………… 10 分
（Ⅲ）“ 2( ) e ex
xf x ”等价于“ 2ln 0e ex
xx x ”. ……………… 11 分
由（Ⅱ），得 1( ) ln ef x x x ≥- （当且仅当 1
ex 时等号成立）. ①
所以 2 1ln e e e ex x
x xx x ≥ .
故只要证明 1 0e ex
x ≥ 即可（需验证等号不同时成立）. ……………… 12 分
设 1( ) e ex
xg x ， (0,+ )x ，则 1( ) ex
xg x . ……………… 13 分
因为当 (0,1)x 时， 1( ) 0ex
xg x ；当 (1, )x 时， 1( ) 0ex
xg x ，
所以函数 ( )g x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+ ) 上单调递增.
所以 ( ) (1) 0g x g ≥ （当且仅当 1x 时等号成立）. ②
因为①②两个不等式中的等号不同时成立，
所以当 (0, )x 时， 2( ) e ex
xf x . ……………… 15 分
x 1(0, )e
1
e
1( ,+ )e
( )f x 0
( )f x ↘ 极小值 ↗北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 5页（共 7页）
20．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意，得 1b ， 3
2
c
a
. ……………… 2 分
又因为 2 2 2a b c ， ……………… 3 分
所以 2a ， 3c .
故椭圆 E 的方程为
2
2 14
x y . ……………… 5 分
（Ⅱ） ( 2,0)A ， (2,0)B .
设 0 0 0 0( , ) ( 0)D x y x y ，则
2
20
0 14
x y . ……………… 6 分
所以直线 CD 的方程为 0
0
1 1yy xx
， ……………… 7 分
令 0y ，得点 P 的坐标为 0
0
( ,0)1
x
y . ……………… 8 分
设 ( , )Q QQ x y ，由 4OP OQ ，得 0
0
4(1 )
Q
yx x
（显然 2Qx ）. …… 9 分
直线 AD 的方程为 0
0
( 2)2
yy xx
， ……………… 10 分
将 Qx 代入，得 0 0 0
0 0
(4 4 2 )
( 2)Q
y y xy x x
，即 0 0 0 0
0 0 0
4(1 ) (4 4 2 )( , )( 2)
y y y xQ x x x
.
……………… 11 分
故直线 BQ 的斜率存在，且 0 0 0
0 0 0
(4 4 2 )
2 ( 2)(4 4 2 )
Q
BQ
Q
y y y xk x x y x
…… 12 分
2
0 0 0 0
2
0 0 0 0
2 2
4 2 4
y y x y
x x y y
2
0 0 0 0
2
0 0 0 0
2 2 1
4 2 4 2
y y x y
y x y y
. ………… 13 分
又因为直线 BC 的斜率 1
2BCk ，
所以 BC BQk k ，即 , ,C B Q 三点共线. ……………… 14 分北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 6页（共 7页）
21．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）存在表 1，使得 , 100i jb i j ；不存在表 1，使得 ,i jb 等于 2 ji . ……… 3 分
（Ⅱ）因为对于任意的 1,2, ,39 1,2, ,20i j ； ，都有 , 1, 1i j i jb b ≥ ，
所以 1,20 2,20 1b b ≥ ， 2,20 3,20 1b b ≥ ，， 39,20 40,20 1b b ≥ ，
所以 1,20 2,20 2,20 3,20 39,20 40,20( 39b b b b b b )+( )+ +( )≥ ，
即 1,20 40,20 39 40b b ≥ . ……………… 6 分
又因为对于 1,2, ,40 1,2, ,19m n ； ，都有 , , 1 2m n m nb n ≥ ，
所以 1,1 1,2 2b b ≥ ， 1,2 1,3 2b b ≥ ，， 1,19 1,20 2b b ≥ ，
所以 1,1 1,2 1,2 1,3 1,19 1,20( 38b b b b b b )+( )+ +( )≥ ，
所以 1,1 1,20 38 40 38 78b b ≥ ≥ .
即 1,1 78b ≥ . ……………… 8 分
（Ⅲ）当表 1 如下图时：
其中，每行恰好有 1 个 0 和 19 个 1；每列恰好有 2 个 0 和 38 个 1；因此每行的和均
为 19. 符合题意.
重新排序后，对应表 2 中，前 38 行中每行各数均为 1，每行的和均为 20；后 2 行各
数均为 0，因此 39k≥ . ……………… 10 分
以下先证：对于任意满足条件的表 1，在表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 7页（共 7页）
行（设为第 r 行）的全部实数（即包含 ,1 ,2 ,20, , ,r r ra a a ）.
假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表 1 中任一行的全部实数.
则表 2 的前 39 行中至多含有表 1 中的 40 19 760 个数，
这与表 2 中前 39 行中共有 39 20 780 个数矛盾.
所以表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行）的全部实数.
……………… 12 分
其次，在表 2 中，根据重排规则得：当 39i≥ 时， , 39, ,i j j r jb b a≤ ≤ 1,2, 20j （ ， ），
所以 ,1 ,2 ,20 ,1 ,2 ,20 19i i i r r rab b b a a ≤ ≤ .
所以 39k ≤ .
综上， 39k . ……………… 14 分
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