资料简介
2020 年高考诊断性测试
数学参考答案
一、单项选择题
1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C
二、多项选择题
9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD
三、填空题
13. 14. 15. 16. ，
四、解答题
17．解：（1）因为 ，由正弦定理得
所以 , …………………………1 分
即 ， …………………………2 分
又 ，所以
所以 ， …………………………3 分
而 ，
所以 ，
所以 . …………………………4 分
（2）因为 …………………………5 分
将 ， ， 代入，得 . …………………………6 分
由余弦定理得 ，
于是 ， …………………………8 分
即 ，解得 或 . …………………………10 分
4
5
− 300 3+2 3
12
2 4x y= 4 3
2 cos 3( cos + cos )a A b C c B=
2sin cos 3(sin cos sin cos )A A B C C B= +
2sin cos 3sin( )A A B C= +
B C Aπ+ = − sin( ) sin( ) sinB C A Aπ+ = − =
2sin cos 3sinA A A=
0 A π< < sin 0A ≠
3cos 2A =
6A
π=
1 1sin2 2ABC BCS bc A a h∆ = = ⋅
2 3b = 3BCh = 1sin 2A = 3
3
ca =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 23 3( ) (2 3) 2 2 33 2
c c c= + − × ×
2 9 18 0c c− + = 3c = 6c =18．解：设等比数列 的公比为 （ ），则 ， ，
于是 ， …………………………2 分
即 ，解得 ， （舍去）. …………………………4 分
若选①：则 ， ，
解得 ， …………………………6 分
所以 ， …………………………8 分
， …………………………9 分
于是 ……10 分
令 ，解得 ，因为 为正整数，所以 的最小值为 . ……12 分
若选②：则 ， ，解得 .
下同①.
若选③：则 ， ，解得 . ………………6 分
于是 ， …………………8 分
， ……………………9 分
于是
， ………………………………………10 分
令 ，得 ，
注意到 为正整数，解得 ，所以 的最小值为 . ………………………12 分
19．解：（1）证明：延长 交 于点 ,点 为 的中点，
因为 分别是棱 的中点,
所以 是 的中位线，所以 ， …………………………2 分
{ }nb q 0q > 1
8b q
= 3 8b q=
8 3 8 4qq
− × =
26 2 0q q+ − = 1
2q = 2
3q = −
1 4 2a b= = 4 1
4 34 202S a d
×= + =
2d =
2( 1)2 22n
n nS n n n
−= + × = +
1 1 1 1
( 1) 1nS n n n n
= = −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1+ (1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1k
k
T S S S k k k
= + + = − + − + + − = −+ +
1 151 1 16k
− >+ 15k > k k 16
1 4 2a b= = 1 1
3 23 2( 2 )2a d a d
×+ = + 1 2a d= =
1 4 2a b= = 1 13( 2 ) ( 3 ) 8a d a d+ − + = 4
3d =
2( 1) 4 2 42 2 3 3 3n
n nS n n n
−= + × = +
1 3 1 3 1 1( )2 ( 2) 4 2nS n n n n
= × = −+ +
3 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( )]4 3 2 4 1 1 2kT k k k k
= − + − + + − + −− + +
3 1 1 1(1 )4 2 1 2k k
= + − −+ +
9 3 1 1( )8 4 1 2k k
= − ++ +
15
16kT > 1 1 1
1 2 4k k
+ = = =
×
m nm n m n
CFG EFG 3
5
60
130 110 90 110 100 60 0.61000
+ + + + + =
60 0.6
2K
21000 (250 270 330 150) 5.542400 600 420 580k
× × − ×= ≈× × ×
3.841>
95%
6 4
ξ 0,1,2,3
0 3
6 4
3
10
( 0) n
n
C CP C
ξ +
+
= =
1 2
6 4
3
10
( 1) n
n
C CP C
ξ +
+
= =
2 1
6 4
3
10
( 2) n
n
C CP C
ξ +
+
= =
3
6
3
10
( 3) n
n
CP C
ξ +
+
= =
ξ
ξ
P
0 3
6 4
3
10
n
n
C C
C
+
+
1 2
6 4
3
10
n
n
C C
C
+
+
2 1
6 4
3
10
n
n
C C
C
+
+
3
6
3
10
n
n
C
C
+
+ ………………10 分
,
可得， ，
，
，
解得 . …………………………………………12 分
21．解：（1）由 可得， ，
令 ，则 ， ………………1 分
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，故
在 处取得最大值， ………………3 分
要使 ，只需 ，
故 的取值范围为 ， ………………4 分
显然，当 时，有 ，即不等式 在 上成立，
令 ，则有 ，
所以 ，
即： ； ………………6 分
（2）由 可得， ，即 ，
令 ，则 ， ………………8 分
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得最大值 ， ………………10 分
又当 时， ，当 时， ， ………………11 分
所以，当 时，方程 有一个实数解；当 时，方程 有两个不同
0 3 1 2 2 1 3
6 4 6 4 6 4 6
3 3 3 3
10 10 10 10
0 1 2 3 2n n n n
n n n n
C C C C C C CE C C C C
ξ + + + +
+ + + +
= × + × + × + × ≥
1 2 2 1 3 3
6 4 6 4 6 101 2 3 2n n n nC C C C C C+ + + +× + × + × ≥
1 16( 6) 4( 6)( 5) ( 6)( 5)( 4) ( 10)( 9)( 8)2 3n n n n n n n n n+ + + + + + + + ≥ + + +
23( 6)( 17 72) 2( 10)( 9)( 8)n n n n n n+ + + ≥ + + +
3( 6) 2( 10)n n+ ≥ +
2n ≥
( ) 0f x ≤ 1 ln ( 0)xa xx
+≥ >
1 ln( ) xh x x
+=
2 2
1 (1 ln ) ln( )
x x xxh x x x
⋅ − + −′ = =
(0,1)x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x (1+ )x∈ ∞， ( ) 0h x′ < ( )h x
( )h x 1x =
1 ln xa x
+≥ (1) 1a h≥ =
a 1a ≥
1a = 1 ln 1x
x
+ ≤ ln 1x x< − (1, )+∞
1 1( )nx nn
∗+= > ∈N 1 1 1ln 1n n
n n n
+ +< − =
2 3 1 1 1 1ln ln ln 11 2 2 3
n
n n
++ + + < + + + +
1 1 11 ln( 1)2 3 nn
+ + + + > +
( ) ( )f x g x= 21 ln ( 1) exx a xx
+ − = − 21 ln ( 1) exxa xx
+= − −
21 ln( ) ( 1) exxt x xx
+= − − 2
2
ln( ) ( 1)exxt x xx
−′ = − −
(0,1)x∈ ( ) 0t x′ > ( )t x (1+ )x∈ ∞， ( ) 0t x′ < ( )t x
( )t x 1x = (1) 1t =
0x → ( )t x → −∞ +x → ∞ ( )t x → −∞
1a = ( ) ( )f x g x= 1a < ( ) ( )f x g x=的实数解；当 时，方程 没有实数解. ………………12 分
22．解：（1）将点的坐标代入椭圆 的方程得
，解得 ，所以椭圆 的方程为 ． ……3 分
（2）设 .因为以 为直径的圆恒过点 ，
所以 ，即 . ……………………4 分
因为 点在椭圆上，所以 .
（i）将 代入椭圆，得 ， ，
于是 , . …………5 分
因为
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以 的取值范围为 . ……………………………………7 分
（ii）存在.定圆的方程为 .
假设存在满足题意的定圆，则点 到直线 的距离为定值.
因为 ，所以直线 方程为
，
整理可得 ， ………………………………8 分
所以 到直线 的距离 ， …………………………9 分
由（i）知， ，得 ， ，
1a > ( ) ( )f x g x=
C
2 2
2 2
4 2 1
4
a b
a b
+ =
− =
2 28 4a b= =， C
2 2
18 4
x y+ =
1 1( ,2 2), ( , )P t Q x y PQ O
1 12 2 0OP OQ x t y= + =
1
1 2 2
x ty = −
Q
2 2
1 1 18 4
x y+ =
1
1 2 2
x ty = − 2
1 2
32
4x t
= +
2
2
1 2
4
4
ty t
= +
2 2 2 2 2
1 14 =( 8) 4( )OP OQ t x y+ + + + 2
2
64 244t t
= + ++ t ∈R
2
2
64 244t t
+ ++
2
2
64+4 204t t
= + ++
2
2
642 ( +4) 204t t
≥ ⋅ ++ 36=
2
2
64+4= 4t t + = 2t ±
2 24OP OQ+ [36, )+∞
2 2 4x y+ =
O PQ
1 1( ,2 2), ( , )P t Q x y PQ
1 1( )( 2 2) ( 2 2)( ) 0x t y y x t− − − − − =
1 1 1 1( 2 2) ( ) 2 2 0y x x t y ty x− − − − + =
O PQ 1 1
2 2
1 1
| 2 2 |
( 2 2) ( )
ty xd
y x t
− +=
− + −
1
1 2 2
x ty = − 2
1 2
32
4x t
= +
2
2
1 2
4
4
ty t
= +，注意到 ，知 .
所以 ， …………………10 分
又
， ……………………11 分
所以 ，
因此，直线 与圆 恒相切. …………………………………………12 分
1 12 2 0x t y+ = 1 0x ≠ 1
1
2 2yt x
= −
2 2
21 1
1 1 1 2
| | 2( 8)| 2 2 | | 2 2 | ( 8)=
2 2 2 2 4
x t x tty x x t
t
+− + = + = +
+
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1( 2 2) ( ) 8 4 2 2y x t y x t y tx− + − = + + + − −
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 2
4 32 88 84 4 4
t ty x t tt t t
+= + + + = + + + =+ + +
1 1
2 2
1 1
| 2 2 | 2
( 2 2) ( )
ty xd r
y x t
− += = =
− + −
PQ 2 2 4x y+ =
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