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2019届高三数学复习--选考模块--坐标系与参数方程（含答案）
资料简介
第21讲 坐标系与参数方程
1.[2018·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
[试做]
2.[2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
[试做]
命题角度 坐标系与参数方程
(1)根据x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2可将极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现;
(3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.
解答1极坐标与简单曲线的极坐标方程
1 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y=5,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;
(2)射线OP:θ=与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.
[听课笔记]
【考场点拨】
进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.
【自我检测】
在直角坐标系xOy中,圆C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:θ=(ρ∈R).
(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C1的交点为O,M,C3与C1的交点为O,N,求△OMN的面积.
解答2简单曲线的参数方程
2 已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(α为参数),且直线l交曲线C于A,B两点.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求当θ=时,|AB|的值;
(2)已知点P(1,0),当直线l的倾斜角θ变化时,求|PA|·|PB|的取值范围.
[听课笔记]
【考场点拨】
(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来,所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时,用参数方程求解非常方便;(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义,在解题时能够事半功倍.
【自我检测】
已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程;
(2)设曲线C上任意一点P到直线l的距离为d,求d的最大值与最小值.
解答3极坐标方程与参数方程的综合应用
3 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2acos.
(1)分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)已知点P(2,-1),直线l与曲线C相交于M,N两点,若|MN|2=6|PM|·|PN|,求a的值.
[听课笔记]
【考场点拨】
参数方程主要通过代入法或者利用已知恒等式(如cos2α+sin2α=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.利用关系式
等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化.
【自我检测】
在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y-2=0,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos θ=ρ(1-cos2θ).
(1)写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)已知直线l与曲线C交于A,B两点,试求AB的中点N的坐标.
模块七 选考模块
第21讲 坐标系与参数方程
典型真题研析
1.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.
2.解:(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离
d=.
当a≥-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;
当a,
∴t1t2
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