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2017年全国中考数学真题《分式与分式方程》分类汇编解析
资料简介
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分式与分式方程
考点一、分式 （8~10分）
1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
一、选择题
1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3.（2017·广西百色·3分）A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（ ）
A．﹣＝30 B．﹣＝
C．﹣＝ D． ＋＝30
4.（2017·广西桂林·3分）当x＝6，y＝3时，代数式（）•的值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
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5. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝ D．﹣＝
6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2
7.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解
10. （2017·湖北武汉·3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝3
12. （2017·四川攀枝花）化简＋的结果是（ ）
A．m＋n B．n﹣m C．m﹣n D．﹣m﹣n
13．（2017·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
14．（2017·四川内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
15．（2017·四川南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
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C． ＝ D． ＝
16. （2017·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程＝3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
17．（2017·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
18．（2017·湖北荆门·3分）化简的结果是（ ）
A． B． C．x＋1 D．x﹣1
19.（2017·内蒙古包头·3分）化简（）•ab，其结果是（ ）
A． B． C． D．
20. （2017·山东潍坊·3分）计算：20•2﹣3＝（ ）
A．﹣ B． C．0 D．8
21. （2017·山东潍坊·3分）若关于x的方程＋＝3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
22. （2017·四川眉山·3分）已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
1.（2017·山东省济宁市·3分）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 km/h．
2. （云南省昆明市·3分）计算：﹣＝ ．
3. （2017·浙江省湖州市·4分）方程＝1的根是x＝ ．
4.（2017·贵州安顺·4分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
5．（2017贵州毕节5分）若a2＋5ab﹣b2＝0，则的值为 ．
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6．（2017·四川南充）计算： ＝ ．
7．（2017·四川攀枝花）已知关于x的分式方程＋＝1的解为负数，则k的取值范围是 ．
8．（2017·四川泸州）分式方程﹣＝0的根是 ．
9．（2017·四川内江）化简：(＋)÷＝______．
10. （2017·湖北荆州·3分）当a＝﹣1时，代数式的值是 ．
三、 解答题
1. （2017·湖北随州·6分）先化简，再求值：（﹣x＋1）÷，其中x＝﹣2．
2. （2017·湖北随州·6分）某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
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3. （2017·吉林·5分）解方程： ＝．
4. （2017·江西·6分）先化简，再求值：（＋）÷，其中x＝6．
5. （2017·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
6. （2017·四川泸州）化简：（a＋1﹣）•．
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7．（2017·四川宜宾）2017年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？
8.（2017·四川宜宾）化简：÷（1﹣）
9.（2017·黑龙江龙东·6分）先化简，再求值：（1＋）÷，其中x＝4﹣tan45°．
10．（2017·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．
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11．（2017·湖北黄石·6分）先化简，再求值：÷•，其中a＝2017．
12．（2017·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
13.（2017·青海西宁·7分）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
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14. （2017·陕西）化简：（x﹣5＋）÷．
15. （2017·四川眉山）先化简，再求值：，其中a＝3．
16. （2017·四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
1100
1400
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2400
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
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17．（2017·山东省滨州市·4分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝．
18．（2017·山东省东营市·4分）化简，再求值：（a＋1－）÷（－），其中a＝2＋．
19．（2017·山东省东营市·8分）东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2)2017年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高 了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总 费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
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20．（2017·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
21. （2017·重庆市A卷·5分）（＋x﹣1）÷．
22. （2017·重庆市B卷·5分）÷（2x﹣）
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23. （2017·浙江省绍兴市·4分））解分式方程： ＋＝4．
24.（2017·福建龙岩·6分）先化简再求值： ，其中x＝2＋．
25.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
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26.（2017·贵州安顺·10分）先化简，再求值：），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
27.（2017·黑龙江哈尔滨·7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin60°＋tan45°．
28.（2017·黑龙江哈尔滨·10分）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
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29．（2017广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
30．（2017河南）先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
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答案
分式与分式方程
一、选择题
1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】最简分式．
【专题】计算题；分式．
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝＝，不合题意；
C、原式＝＝，不合题意；
D、原式＝＝，不合题意，
故选A
【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．
2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＋＝＋＝＝，
故选B
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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3.（2017·广西百色·3分）A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（ ）
A．﹣＝30 B．﹣＝
C．﹣＝ D． ＋＝30
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．
【解答】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，
根据题意得，﹣＝．
故选B．
4.（2017·广西桂林·3分）当x＝6，y＝3时，代数式（）•的值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【考点】分式的化简求值．
【分析】先对所求的式子化简，然后将x＝6，y＝3代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（）•
＝
＝，
当x＝6，y＝3时，原式＝，
故选C．
5. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝ D．﹣＝
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
﹣＝，
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故选C．
6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2
【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：x＋2≠0，
解得x≠﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键．
7.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据：现在植树400棵所需时间＝原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．
【解答】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，
根据题意，可列方程： ＝，
故选：A．
8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1＋x﹣1＝0，
解得：x＝0，
故选A
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
9.(2017河北3分）下列运算结果为x－1的是（ ）
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A． B． C． D．
答案：B
解析：挨个算就可以了，A项结果为—— , B项的结果为x－1，C项的结果为—— D项的结果为x＋1。
知识点：（x＋1）（x－1）＝x2－1;(x＋1)2＝x2＋2x＋1,(x－1)2＝x2－2x＋1。
10. （2017·湖北武汉·3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝3
【考点】分式有意义的条件
【答案】C
【解析】要使有意义，则x－3≠0，∴x≠3
故选C.
12. （2017·四川攀枝花）化简＋的结果是（ ）
A．m＋n B．n﹣m C．m﹣n D．﹣m﹣n
【考点】分式的加减法．
【分析】首先进行通分运算，进而分解因式化简求出答案．
【解答】解： ＋
＝﹣
＝
＝m＋n．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确分解因式是解题关键．
13．（2017·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
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[答案]A
[考点]分式方程，应用题。
[解析]依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x＋2)千米/时．因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以＝．
故选A．
14．（2017·四川内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
[答案]D
[考点]二次根式与分式的意义。
[解析]欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．
∴x的取值范围是解得x≥3且x≠4．故选D．
15．（2017·四川南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【分析】直接利用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
16. （2017·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程＝3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m＝3x＋3，
解得：x＝﹣m﹣3，
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由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，
解得：m＜﹣3，
故选D
17．（2017·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
【考点】分式方程的解．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：等式的两边都乘以（x﹣2），得
x＝2（x﹣2）＋m，
解得x＝4﹣m，
x＝4﹣m≠2，
由关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，得
m＝1，m＝3，
故选：C．
18．（2017·湖北荆门·3分）化简的结果是（ ）
A． B． C．x＋1 D．x﹣1
【考点】分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
故选A
19.（2017·内蒙古包头·3分）化简（）•ab，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝••ab＝，
故选B
20. （2017·山东潍坊·3分）计算：20•2﹣3＝（ ）
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A．﹣ B． C．0 D．8
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：20•2﹣3＝1×＝．
故选：B．
21. （2017·山东潍坊·3分）若关于x的方程＋＝3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
【考点】分式方程的解．
【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：去分母得：x＋m﹣3m＝3x﹣9，
整理得：2x＝﹣2m＋9，
解得：x＝，
∵关于x的方程＋＝3的解为正数，
∴﹣2m＋9＞0，
级的：m＜，
当x＝3时，x＝＝3，
解得：m＝，
故m的取值范围是：m＜且m≠．
故选：B．
22. （2017·四川眉山·3分）已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】已知等式变形求出x﹣＝3，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：x﹣＝3，
则原式＝＝＝，
故选D
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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二、填空题
1.（2017·山东省济宁市·3分）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 80 km/h．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出x的值即可．
【解答】解：设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列方程得：
，
解得：x＝80
经检验，x＝80是原方程的解，
所以这辆汽车原来的速度是80km/h．
故答案为：80．
·云南省昆明市·3分）计算：﹣＝ ．
【考点】分式的加减法．
【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；再分解因式约分计算即可求解．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
2. （2017·浙江省湖州市·4分）方程＝1的根是x＝ ﹣2 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x﹣3＝﹣5≠0，
故方程的解为x＝﹣2，
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故答案为：﹣2．
3.（2017·贵州安顺·4分）在函数中，自变量x的取值范围是 x≤1且x≠﹣2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x＋2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4．（2017贵州毕节5分）若a2＋5ab﹣b2＝0，则的值为 5 ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据题意得出b2﹣a2＝5ab，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结论．
【解答】解：∵a2＋5ab﹣b2＝0，
∴﹣＝＝＝5．
故答案为：5．
5．（2017·四川南充）计算： ＝ y ．
【分析】根据分式的约分，即可解答．
【解答】解： ＝y，
故答案为：y．
【点评】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是约去分子、分母的公因式
6．（2017·四川攀枝花）已知关于x的分式方程＋＝1的解为负数，则k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】先去分母得到整式方程（2k＋1）x＝﹣1，再由整式方程的解为负数得到2k＋1＞0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到x≠±1，即2k＋1≠1且2k＋1≠﹣1，然后求出几个不等式的公共部分得到k的取值范围．
【解答】解：去分母得k（x﹣1）＋（x＋k）（x＋1）＝（x＋1）（x﹣1），
整理得（2k＋1）x＝﹣1，
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因为方程＋＝1的解为负数，
所以2k＋1＞0且x≠±1，
即2k＋1≠1且2k＋1≠﹣1，
解得k＞﹣且k≠0，
即k的取值范围为k＞﹣且k≠0．
故答案为k＞﹣且k≠0．
【点评】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
7．（2017·四川泸州）分式方程﹣＝0的根是 x＝﹣1 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x﹣3）进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x﹣3）得：4x﹣（x﹣3）＝0，
解得：x＝﹣1，
经检验：x＝﹣1是原分式方程的解，
故答案为：x＝﹣1．
8．（2017·四川内江）化简：(＋)÷＝______．
[答案]a．
[考点]分式的化简。
[解析]先算小括号，再算除法．
原式＝(－)÷＝÷＝(a＋3)·＝a．
故答案为：a．
9. （2017·湖北荆州·3分）当a＝﹣1时，代数式的值是 ．
【分析】根据已知条件先求出a＋b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
【解答】解：∵a＝﹣1，
∴a＋b＝＋1＋﹣1＝2，a﹣b＝＋1﹣＋1＝2，
∴＝＝＝；
故答案为：．
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【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．
三、 解答题
1. （2017·湖北随州·6分）先化简，再求值：（﹣x＋1）÷，其中x＝﹣2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝2．
2. （2017·湖北随州·6分）某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，
可得：，
解得：x＝15，
经检验x＝15是原方程的解，
2x＝2×15＝30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．
3. （2017·吉林·5分）解方程： ＝．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣2＝x＋3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
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4. （2017·江西·6分）先化简，再求值：（＋）÷，其中x＝6．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x＝6代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝6时，原式＝＝﹣．
5. （2017·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，
根据题意，得﹣＝15，
解这个方程，得x＝6，
经检验，x＝6是所列方程的根，
∴2x＝2×6＝12（元），
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．
6. （2017·四川泸州）化简：（a＋1﹣）•．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先对括号内的式子进行化简，再根据分式的乘法进行化简即可解答本题．
【解答】解：（a＋1﹣）•
＝
＝
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＝
＝2a﹣4．
7．（2017·四川宜宾）2017年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设第一批花每束的进价是x元/束，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×1.5可得方程．
【解答】解：设第一批花每束的进价是x元/束，
依题意得：×1.5＝，
解得x＝20．
经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：第一批花每束的进价是20元/束．
8.（2017·四川宜宾）化简：÷（1﹣）
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：原式＝÷＝•＝．
9.（2017·黑龙江龙东·6分）先化简，再求值：（1＋）÷，其中x＝4﹣tan45°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝4﹣tan45°＝4﹣1＝3时，原式＝＝．
10．（2017·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．
【考点】分式的化简求值．
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【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2＋2x﹣15＝0得出x2＋2x＝15，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
∵x2＋2x﹣15＝0，
∴x2＋2x＝15，
∴原式＝．
11．（2017·湖北黄石·6分）先化简，再求值：÷•，其中a＝2017．
【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a＝2017代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝••
＝（a﹣1）•
＝a＋1，
当a＝2017时，原式＝2017．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
12．（2017·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k＝m＋2，n＝1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m＝1和﹣1，分别代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k＝﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
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又∵x＝≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0有两个整数根x1、x2，且k＝m＋2，n＝1时，
∴把k＝m＋2，n＝1代入原方程得：﹣mx2＋3mx＋（1﹣m）＝0，即：mx2﹣3mx＋m﹣1＝0，
∴△≥0，即△＝（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△＝9m2﹣4m（m﹣1）＝m（5m＋4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1＋x2＝3，x1•x2＝＝1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m＝1或﹣1，
∴把m＝1代入方程mx2﹣3mx＋m﹣1＝0得：x2﹣3x＋1﹣1＝0，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3；
把m＝﹣1代入方程mx2﹣3mx＋m﹣1＝0得：﹣x2＋3x﹣2＝0，
x2﹣3x＋2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x1＝1，x2＝2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k＝﹣1，
（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1＋x2＝﹣＝＝﹣m，x1x2＝＝，
x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k＋x22﹣x2k＝x1x2﹣x1k﹣x2k＋k2，
x12＋x22═x1x2＋k2，
（x1＋x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝k2，
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（x1＋x2）2﹣3x1x2＝k2，
（﹣m）2﹣3×＝（﹣1）2，
m2﹣4＝1，
m2＝5，
m＝±，
∴|m|≤2不成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
13.（2017·青海西宁·7分）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解即可求得答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2
∵（x＋1）（x﹣1）≠0，x＋2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
∴把x＝0代入．
14. （2017·陕西）化简：（x﹣5＋）÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式的除法，可得答案．
【解答】解：原式＝•
＝（x﹣1）（x﹣3）
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＝x2﹣4x＋3．
15. （2017·四川眉山）先化简，再求值：，其中a＝3．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•（a﹣2）
＝﹣．
当a＝3时，原式＝﹣4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
16. （2017·四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
1100
1400
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2400
【分析】（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x＋400）元，列出方程即可解决问题．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x＋400）元，
根据题意得，
解之得x＝1600，
经检验，x＝1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，
根据题意得50﹣m≤2m
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解之得m≥，
∵y＝（2000﹣1100）m＋（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m＋50000，
∴y随m 的增大而减小，
∴当m＝17时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．
【点评】不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
17．（2017·山东省滨州市·4分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分化简，然后把乘除化为乘法，最后代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷
＝•
＝（a﹣2）2，
∵a＝，
∴原式＝（﹣2）2＝6﹣4
【点评】本题考查分式的混合运算化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，通分时学会确定最简公分母，能先约分的先约分化简，属于中考常考题型．
18．（2017·山东省东营市·4分）化简，再求值：（a＋1－）÷（－），其中a＝2＋．
【知识点】分式的运算——异分母分式的加减、分式的乘除
【思路分析】先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再进行除法运算．将原式括号中两项分别通分，化为同分母分式，利用同分母分式的加减法则计算，然后将各分式的分子和分母分解因式，最后将除法改成乘法进行约分计算，最后再代入a的值计算，即可得到结果．
【解答】(2)原式＝÷
＝ •
＝•
＝a(a－2)
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＝a2－2a.
当a＝2＋时，
原式＝(2＋)2－2(2＋)＝3＋2.
【方法总结】此题考查了分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．分式的化简过程中，分式的分子或分母能分解因式的要先分解因式，分式的除法都要转化为分式的乘法，再进行约分把分式化为最简分式或整式．熟练掌握运算法则是解本题的解题的关键．
19．（2017·山东省东营市·8分）东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2)2017年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高 了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总 费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
【知识点】分式方程——分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用
【思路分析】（1）设一个甲种足球需x元，则一个乙种足球需(x＋20)元，根据购买甲种足球数量是购买乙种品牌足球数量的2倍，列出分式方程解答即可；
（2）设此次可购买y个乙种足球，则购进甲种足球（50﹣y）个，根据购买两种品牌足球的总费用不超过2900元，列出不等式解决问题．
【解答】(1)设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x＋20)元，由题意得：
＝2×.
解得：x＝50.
经检验，x＝50是原方程的解.
x＋20＝70.
答：购买一个甲种足球需50元,购买一个乙种足球需70元．
(2)设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买(50－y)个甲种足球，由题意得：
50×(1＋10% )×(50－y)＋70×(1－70% )y≤2900.
解得：y≤18.75.
由题意知，最多可购买18个乙种足球.
笞：这所学校此次最多可购买18个乙种足球．
【方法总结】此题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
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20．（2017·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【考点】分式方程的应用．
【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x＋0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【解答】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x＋0.8）克，
根据题意，得： ＝2×，
解得：x＝3.2，
经检验：x＝3.2是原分式方程的解，且符合题意，
答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．
21. （2017·重庆市A卷·5分）（＋x﹣1）÷．
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算．
【解答】解：（＋x﹣1）÷
＝×
＝×
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22. （2017·重庆市B卷·5分）÷（2x﹣）
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式混合运算法则进行计算．
【解答】解：
÷（2x﹣）
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＝×
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
23. （2017·浙江省绍兴市·4分））解分式方程： ＋＝4．
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得方程最简公分母为（x﹣1），将方程去分母转化为整式方程即可求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣1），
得：x﹣2＝4（x﹣1），
整理得：﹣3x＝﹣2，
解得：x＝，
经检验x＝是原方程的解，
故原方程的解为x＝．
24.（2017·福建龙岩·6分）先化简再求值： ，其中x＝2＋．
【考点】分式的化简求值．
【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式乘法运算法则求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝x＋2，
当时，
原式＝2＋＋2＝4＋．
25.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
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【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x＋10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
列出方程，求解即可；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x＋10）元，
根据题意得，
解得：x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m＋3m＝2000，
解得m＝500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500＋60×1500＝125000（元）．
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．
26.（2017·贵州安顺·10分）先化简，再求值：），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
27.（2017·黑龙江哈尔滨·7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin60°＋tan45°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•（a＋1）
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＝•（a＋1）
＝•（a＋1）
＝•（a＋1）
＝，
当a＝2sin60°＋tan45°＝2×＋1＝＋1时，原式＝＝．
28.（2017·黑龙江哈尔滨·10分）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设小明步行的速度是x米/分，根据题意可得等量关系：小明步行回家的时间＝骑车返回时间＋10分钟，根据等量关系列出方程即可；
（2）根据（1）中计算的速度列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设小明步行的速度是x米/分，由题意得：，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，
答：小明步行的速度是60米/分；
（2）小明家与图书馆之间的路程最多是y米，根据题意可得：
，
解得：y≤240，
答：小明家与图书馆之间的路程最多是240米．
29．（2017广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
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【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；
（2）根据题意得（＋）×40＝，即可得到a＝60m＋60，根据一次函数的性质得到＝，即可得到结论．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得×（30＋15）＋×15＝，
解得：x＝450，
经检验x＝450是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要450天；
（2）根据题意得（＋）×40＝，
∴a＝60m＋60，
∵60＞0，
∴a随m的增大增大，
∴当m＝1时，最大，
∴＝，
∴÷＝7.5倍，
答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍
【点评】此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．
30．（2017河南）先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的取值范围，选出合适的x的值代入求值即可．
【解答】解：原式＝•
＝﹣•
＝，
解不等式组得，﹣1≤x＜，
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当x＝2时，原式＝＝﹣2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
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