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考前三个月高考数学理科总复习压轴小题突破练6：新定义、推理证明
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6.与新定义、推理证明有关的压轴小题
1.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 A
解析 设只持有A股票的人数为X(如图所示)，
则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的部分)，因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的a值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.
因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.
2.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )
A.77 B.49 C.45 D.30
答案 C
解析 因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}所以集合A中有5个元素(即5个点)，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45(个).
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3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝
答案 C
解析 根据题意，当x＝16时，y＝1，所以选项A，B不正确，当x＝17时，y＝2，所以D不正确，故选C.
4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A.设数列{an}的前n项和为Sn，由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B.由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C.由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab
D.由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n
答案 A
解析 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确.
5.给出以下数对序列：
(1，1)
(1，2)(2，1)
(1，3)(2，2)(3，1)
(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)
…
若第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3，2)，则anm等于( )
A.(m，n－m＋1) B.(m－1，n－m) C.(m－1，n－m＋1) D.(m，n－m)
答案 A
解析 由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1).
6.若函数f(x)，g(x)满足ʃf(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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答案 C
解析 对①，ʃdx＝ʃsin xdx＝－cosx|＝0，则f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的正交函数；
对②，ʃ(x＋1)(x－1)dx＝ʃ(x2－1)dx＝|≠0，则f(x)，g(x)不是区间[－1，1]上的正交函数；
对③，ʃx3dx＝|＝0，则f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的正交函数.
7.已知点A(0，1)，点B在曲线C1：y＝ex－1上，若线段AB与曲线C2：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称点B为曲线C1与曲线C2的一个“相关点”，记曲线C1与曲线C2的“相关点”的个数为n，则( )
A.n＝0 B.n＝1 C.n＝2 D.n＞2
答案 B
解析 设B(t，et－1)，则AB的中点为P，所以有＝，et＝，所以“相关点”的个数就是方程ex＝解的个数，由于y＝ex的图象在x轴上方，且是R上的增函数，y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n＝1，故选B.
8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n等于( )
A.7 B.8 C.11 D.15
答案 C
解析 由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(23－1)要多，比四个盘子不同时操作的次数(24－1)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.
9.定义域为[a，b]的函数y＝f(x)图象的两个端点为A，B，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中x＝λa＋(1－λ)b，λ∈[0，1].已知向量＝λ＋(1－λ)，若不等式||≤k恒成立，则称函数f
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(x)在[a，b]上“k阶线性近似”.若函数y＝x－在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )
A.[0，＋∞) B. C. D.
答案 D
解析 由题意可知，A(1，0)，B，
M，N，
∴||＝＝，
∵＋≥2＝，当且仅当＝，λ＝2－时，等号成立，
又∵λ∈[0，1]，∴2－λ∈[1，2]，
∴＋≤，∴max＝－，
即实数k的取值范围是.
10.(2017届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝的“不动区间”，则实数t的取值范围是( )
A.(0，2] B. C. D.∪[4，＋∞)
答案 C
解析 易知y＝|2x－t|与y＝在[1，2]上单调性相同，当两个函数递增时，y＝|2x－t|与y＝的图象如图1所示，易知解得≤t≤2；
当两个函数递减时，y＝|2x－t|的图象如图2所示，此时y＝|2x－t|关于y轴对称的函数y＝不可能在[1，2]上为减函数.
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综上所述，≤t≤2，故选C.
11.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…
根据以上排列规律，数阵中第n(n＞3)行从左至右的第3个数是________.
答案
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝个，即个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
12.设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“精致数列”. 已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为__________.
答案 bn＝2n－1(n∈N*)
解析 设等差数列{bn}的公差为d，由为常数，设＝k且b1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，
整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，
因为对任意正整数n上式恒成立，
则解得d＝2，k＝，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*).
13.已知cos＝，
coscos＝，
coscoscos＝，
…，
(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；
(2)若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，a3＝coscoscos，…，
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前n项和Sn＝，则n＝________.
答案 (1)cos·cos·…·cos＝(n∈N*) (2)10
解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为cos·cos·…·cos＝(n∈N*).
(2)由(1)可知an＝，
故Sn＝＝1－＝＝，
解得n＝10.
14.(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)
答案 ②③
解析 对于①，若令A(1，1)，则其伴随点为A′，而A′的伴随点为(－1，－1)，而不是P.故错误；对于②，令单位圆上点的坐标为P(cos x，sin x)，其伴随点为P′(sin x，－cos x)仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线f(x，y)＝0关于x轴对称，则f(x，－y)＝0与曲线f(x，y)＝0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f ＝0与f ＝0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为f ＝0与f ＝0的图象关于y轴对称，所以③正确；对于④，反例为直线y＝1，取三个点A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)，这三个点的伴随点分别是A′(1，0)，B′，C′
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，而这三点不在同一条直线上.故④错误.所以正确的序号为②③.
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