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2017年高一数学上3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离试题（有答案和解析）
资料简介
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第三章 3.3 3.3.3 3.3.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( C )
A．3 B．7 C． D．
[解析] 在3x＋4y－2＝0上取一点(0，)，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝＝.
2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为( B )
A． B． C． D．4
[解析] BC边所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0；则d＝＝.
3．若点A(－3，－4)、B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( C )
A． B．－ C．－或－ D．或
[解析] 由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.
4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( C )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
[解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，则有
，解得或.
5．已知点A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，则△ABC的面积等于( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
[解析] 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高
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h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
6．直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是( A )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
[解析] 方法1：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.
方法2：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为，所以－c＝，即c＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0.
二、填空题
7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为__或__.
[解析] ∵l1∥l2，
∴，
解得k＝3或k＝5.
当k＝3时，l1：y＝－1，l2：y＝，此时l1与l2间的距离为；
当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，
此时l1与l2间的距离为＝.
8．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__3x－y＋10＝0__.
[解析] 当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.
三、解答题
9．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程.
[解析] 由，解得.
即该正方形的中心为(－1,0)．
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所求正方形相邻两边方程3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0.
∵中心(－1,0)到四边距离相等，
∴＝，＝，
解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7，
∴所求方程为3x－y－3＝0,3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0.
10．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.求m的值，使它分别满足以下条件：(1)l1，l2，l3交于同一点；(2)l1，l2，l3不能围成三角形.
[解析] (1)由4x＋y－4＝0得y＝－4x＋4代入l2，l3的方程中分别得
x1＝，x2＝，
由＝，解得m＝－1或，经检验都符合题意．
(2)首先由(1)知，当m＝－1或时，不能围成三角形；
又kl1＝－4，kl2＝－m，kl3＝，
若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；
由于kl2与kl3异号，显然l2与l3不平行．
综上知，m＝－1，－，或4.
B级 素养提升
一、选择题
1．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( C )
A． B． C．3 D．6
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.
2．(2016·潍坊高一检测)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( A )
A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
B．3x－4y－11＝0
C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
D．3x－4y＋9＝0
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[解析] 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，
解得m＝9或－11.
3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程( D )
A．x－4y＋4＝0
B．7x＋4y＝0
C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0
D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0
[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得＝，即＝±，化简得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.
4．(2016～2017山西吕梁汾阳四中期中)已知两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( D )
A．4 B． C． D．
[解析] ∵两直线平行，
∴＝.
∴m＝2.
∴两直线方程为6x＋2y－6＝0和6x＋2y＋1＝0，其距离d＝＝.故选D．
二、填空题
5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是__8__.
[解析] x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，
∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，
∴x2＋y2最小值为8.
6．已知点A(1,1)、B(2,2)，点P在直线y＝x上，则当|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标为__(，)__.
[解析] 设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋10＝10(t2－t＋1)＝10(t－)2＋，当t＝时，|PA|2＋|PB2|取得最小值，即P(，)．
C级 能力拔高
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1．(2016～2017·嘉兴高一检测)在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2).
(1)求直线BC的方程．
(2)求直线AB的方程．
[解析] (1)设AD⊥BC，垂足为D，
则kAD＝，
∴kBC＝－2.
∴BC边所在直线方程为y－2＝－2(x－1)．
即2x＋y－4＝0.
(2)∵∠A的平分线所在直线方程为y＝0，
∴设A(a,0)．
又点A在直线AD上，∴a－0＋1＝0，
∴a＝－1.
∴A(－1,0)，
∴直线AB方程为：y＝x＋1.即x－y＋1＝0.
2．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程.
[解析] 解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，
∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1、l2的距离相等，
即＝，
解得t＝，∴M.
又l过点A(2,4)，
由两点式得＝，
即5x－y－6＝0，
故直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．
解方程组，得.
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∴M.又l过点A(2,4)，
故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法三：由题意知直线l的斜率必存在，
设l：y－4＝k(x－2)，
由，得.
∴直线l与l1、l2的交点分别为，
.
∵M为中点，∴M.
又点M在直线x＋y－3＝0上，
∴＋－3＝0，解得k＝5.
故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，
即5x－y－6＝0.
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