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最新人教版高中数学必修第一册单元测试题含 答案全套 第一章 集合与常用逻辑用语 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 ,集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2.命题“ ,都有 ”的否定是( ) A. ,使得 B. ,使得 C. ,都有 D. ,都有 3.已知集合 , , 若 ,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 6.设 , ,若 ,求实数 组 成的集合的子集个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.8 7.已知 , ,若集合 ,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 8.已知集合 ,且若下列三个关系:① ;② ;③ ,有且只有一个正确,则 ( ) A.12 B.21 C.102 D.201 9.已知集合 , .若 , 则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 10.集合 中的元素都是正整数,且若 ,则 ,则所有满足条件的集 { }1,0,1,2,3U = − { }0,1,2A = { }1,0,1B = − ( )U A B = { }0,1 { }1− { }1,2,3− { }1,0,1,3− 0x∀ > 2 0x x− ≤ 0x∃ > 2 0x x− ≤ 0x∃ > 2 0x x− > 0x∀ > 2 0x x− > 0x∀ ≤ 2 0x x− > { }2| 3 4 0A x x x= − − < [ ]{ }( ) ( 2) 0B x x m x m= − − + > A B = R m 1 m− < 2m < 1 2m− < < 1 2m− ≤ ≤ 0x > 2 0x x+ > 2{ | 1 0}A x x mx= + + = A = ∅R m 4m < 4m > 0 4m< < 0 4m≤ < 2{ | 8 15 0}A x x x= − + = { | 1 0}B x ax= − = A B B= { }2, ,1 ,0,ba a a ba   = −   2019 2019a b+ { , , } {0,1,2}a b c = 2a ≠ 2b = 0c ≠ 100 10a b c+ + = { }2 5A x x= − ≤ ≤ { }1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ − B A⊆ m 3m ≥ 2 3m≤ ≤ 2m ≥ 3m ≤合 共有( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 11.已知集合 ,集合 , 则( ) A. B. C. D. 12 . 已 知 集 合 , , ,若 , ,则有( ) A. B. C. D. , , 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13 . 设 , , ,则 __________, __________. 14.已知集合 , ,且 , 则实数 的取值范围是_________. 15.若命题“ 使 ”是假命题,则实数 的取值范围为 ___________. 16.设 为全集,对集合 、 ,定义运算“*”, .对于 集 合 , , , , 则 ___________. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17 .( 10 分 ) 不 等 式 的 解 集 记 为 p , 关 于 x 的 不 等 式 的解集记为 q,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取 值范围. π ,4 4 πkM x x k  = = + ∈   Z π ,8 4 πkN x x k  = = − ∈   Z M N = ∅ { }2 ,A x x a a= = ∈Z { }2 1,B x x b b= = + ∈Z { }4 1,C x x c c= = + ∈Z { }5 2 2 5,U x x x x= − ≤ < − < ≤ ∈Z或 { }2 2 15 0A x x x= − − = { }3,3,4B = − U A = U B = ( )( ){ }2 5 0A x x x= + − > { }1B x m x m= ≤ < + ( )B A⊆ R m x∃ ∈R ( )2 1 1 0x a x+ − + < a U X Y ( )UX Y X Y∗ =  { }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }1,2,3X = { }3,4,5Y = { }2,4,7Z = ( )X Y Z∗ ∗ = 2 3 2 0x x + >− ( )2 1 0x a x a+ − − >18.(12 分)设全集为 ,集合 , . (1)求: , , ; (2)若集合 ,满足 ,求实数 的取值范围. 19.(12 分)已知全集 ,集合 , , . (1)求 ; (2)若 ,求实数 的取值范围. R 1 3{ | }A x x= − ≤ < { }2B x x= ≤ A B A B ( )A BR  { | 2 0}C x x a= − > B C C= a U = R { }3 2A x x= − < < { }1 6B x x= ≤ ≤ { }1 2 1C x a x a= − ≤ ≤ + ( )UA B  ( )C A B⊆  a20.(12 分)已知集合 , . (1)当 时,求 , ; (2)若 ,求实数 的取值范围. 21.(12 分)已知不等式 的解集为 . (1)若 ,求集合 ; (2)若集合 是集合 的子集,求实数 的取值范围. { }2 2A x a x a= − ≤ ≤ + { }2 5 4 0B x x x= − + ≥ 3a = A B A BR( ) A B = ∅ a ( )2 1 0x a x a− + + ≤ A 2a = A A { }4 1x x− ≤ ≤ a22 . ( 12 分 ) 已 知 集 合 , 集 合 . (1)当 时,求 ; (2)设 ,若“ ”是“ ”的必要不充分条件,求实数 的取值 范围. { }2 24 3 0A x x ax a= − + < ( )( ){ }3 2 0B x x x= − − ≥ 1a = A B A B , 0a > x A∈ x B∈ a答 案 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】B 【解析】 ,所以 ,故选 B. 2.【答案】B 【解析】全称命题的否定为特称命题, 据 此 可 得 : 命 题 “ , 都 有 ” 的 否 定 是 , 使 得 . 本题选择 B 选项. 3.【答案】C 【解析】集合 , 集合 , 若 ,则 ,解得 ,故选 C. 4.【答案】A 【解析】 ,所以“ ”是“ ”的充分不 必要条件,故选 A. 5.【答案】D 【解析】由题意可得,m 为被开方数,则 , 关于实数 x 的方程 没有实数根, 则 ,解得 , 综上可得:实数 的取值范围是 ,本题选择 D 选项. 6.【答案】D 【解析】 , 因为 ,所以 , 因此 ,对应实数 的值为 , , , 其组成的集合的子集个数有 ,故选 D. 7.【答案】B 【 解 析 】 由 于 分 式 有 意 义 , 则 , , , , ,得 , 因此 ,故选 B. 8.【答案】D 【解析】由 ,得 的取值情况如下: 当 时, , 或 , ,此时不满足条件; { }1,3U A = − ( ) { }1U A B = − 0x∀ > 2 0x x− ≤ 0x∃ > 2 0x x− > { }2| 3 4 0 { | 1 4}A x x x x x= − − < = − < < ( )[ ]{ } { }( 2) 0 2B x x m x m x x m x m= − − + > = < > +或 A B = R 1 2 4 m m > −  + ⇒ > < −或 0x > 2 0x x+ > 0m ≥ 2 1 0x mx+ + = ( )2 4 1 1 0Δ m= − × × < 4m < m 0 4m≤ < { } { }2| 8 15 0 3,5A x x x= − + = = A B B= B A⊂ { } { }3 5B = ∅, , 0 1 3 1 5 32 8= b a 0a ≠ { }2, ,1 ,0,ba a a ba   = −   0 0b ba ∴ = ⇒ = { } { }201 0a a a∴ =,, , , 2 1 1 a a  =∴ ≠ 1a = − ( )20192019 2019 20191 0 1a b+ = − + = − { , , } {0,1,2}a b c = , ,a b c 0a = 1b = 2c = 2b = 1c =当 时, , 或 , 此时不满足条件; 当 时, , 此时不满足条件; 当 时, , 此时满足条件; 综上得: , , 代入 . 9.【答案】D 【解析】 , 当 为空集时: 成立; 当 不为空集时: , 综上所述: ,故答案选 D. 10.【答案】B 【解析】满足条件的集合 有:{1,5},{2,4},{3},{1,5,2,4},{1,5,3}, {2,4,3},{1,5,2,4,3},共 7 个集合.故选 B. 11.【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 可 知 , , , 所以 ,故选 B. 12.【答案】B 【解析】由已知可得集合 A 属于偶数集,集合 B 为奇数集, ∵ , ,∴m 为偶数,n 为奇数,∴ 为奇数. 故 ,故选 B. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.【答案】 ; 【解析】因为 , 所以 , . 14.【答案】 【解析】由题意可得 , 据此结合题意可得 ,即 , 即实数 的取值范围是 . 15.【答案】 【解析】由题意得若命题“ ”是假命题, 则命题“ ,”是真命题, 1a = 0b = 2c = 2b = 0c = 2a = 1b = 0c = 2a = 0b = 1c = 2a = 0b = 1c = 100 10 200 1 201a b c+ + = + = { }1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ − B 2 1 1 2m m m− < + ⇒ < B 2 2 1 5 2 3 1 2 m m m m ≥  − ≤ ⇒ ≤ ≤  + ≥ − 3m ≤ ( )2 4 π 2 π, ,8 4 π 8 4 πk nM x x k x x n  +   = = − ∈ = = − ∈        Z Z ( )2 1 π2 π ,8 4 8 4 π πkkN x x x k  − = = − = − ∈     Z或 { }5, 4,3,4− − { }5, 4,5− − { } { }5, 4, 3,5 3,4,52 2 5,U x x x x= − ≤ < − < = − −≤ ∈ −Z或 { }5, 4,3,4U A − −= { }5, 4,5U B = − − 2 4m− ≤ ≤ ( )( ){ } { }2 5 0 | 2 5A x x x x x= + − ≤ = − ≤ ≤R 2 1 5 m m ≥ −  + ≤ 2 4 m m ≥ −  ≤ m 2 4m− ≤ ≤ 1 3a− ≤ ≤ 2R, ( 1) 1 0x x a x∃ ∈ + − + < 2R, ( 1) 1 0x x a x∀ ∈ + − + ≥则需 ,故本题正确答案为 . 16.【答案】 . 【 解 析 】 由 于 , , , , 则 , 由 题 中 定 义 可 得 , 则 , 因此 ,故答案为 . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.【答案】 . 【解析】由不等式 ,得 或 , 不等式 等价为 , ①当 ,即 时,不等式的解是 或 , ∵p 是 q 的充分不必要条件,∴ ,即 ; ②若 ,即 时,不等式的解是 或 , ∵p 是 q 的充分不必要条件,∴ ,即 , 综上 . 18.【答案】(1)见解析;(2) . 【 解 析 】 ( 1 ) ∵ 全 集 , 集 合 , , ∴ , , . (2)∵ ,由 , ∴ ,∴ ,解得 ,故实数 的取值范围 . 19.【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)∵ , , ∴ . (2) , ①当 即 时, ; ② 当 , 即 时 , 要 使 , 有 , ∴ , 又 ,∴ ,∴ 的取值范围是 . ( )20 1 4 0 1 3Δ a a≤ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤ 1 3a− ≤ ≤ { }1,3,5,6,8 { }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }1,2,3X = { }3,4,5Y = { }2,4,7Z = { }3X Y = ( ) { }1,2,4,5,6,7,8UX Y X Y∗ = = ( ) { }2,4,7U X Y Z =  ( ) ( ) { }1,3,5,6,8U UX Y Z X Y Z∗ ∗ = =     { }1,3,5,6,8 12 −≤− 2x > 1x < ( )2 1 0x a x a+ − − > ( )( )1 0x x a− + > 1≤− a 1−≥a 1>x ax −< 1≥− a 1−=a 1>− a 1− 1 ac bd> a c b d− > − a c b d+ > + a b d c > 2 0( 0)ax bx c a+ + < ≠ R 0a < 0Δ < 0a < 0Δ ≤ 0a > 0Δ ≥ 0a > 0Δ > a b c> > ab ac> a c b c> ab bc< ( ) 0a b c b− − > ( 5)(3 2 ) 6x x+ − ≥{ }2 3B x x= ≤ ≤A. B. C. D. 5.若 ,则 的最大值是( ) A.2 B. C.1 D. 6.下列选项中,使不等式 成立的 的取值范围是( ) A. B. C . D. 7.若 ,则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.要制作一个容积为 ,高为 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价 是每平方米 元,侧面造价是每平方米 元,则该容器的最低总造价是( ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 9.若对于任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 10.已知关于 的不等式 ,对任意 恒成立,则有( ) A. B. C. D. 11.某金店用一杆不准确的天秤(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买 黄金, 售货员先将 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( )(杠杆原理:动力×动力臂=阻力×阻力臂) A.大于 B.小于 C.大 于等于 D.小于等于 12.设 , ,且不等式 恒成立,则实数 的最小值 等于( ) A.0 B.4 C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.不等式 的解集为 . 14.已知 ,且 ,则 与 的大小关系是 . 15.若正数 , 满足 ,则 的最小值等于 . 91 2x x x  ≤ − ≥    或 9| 1 2x x − ≤ ≤   9 12x x x  ≤ − ≥    或 9| 12x x − ≤ ≤   ( )0,2x∈ ( )2x x− 3 2 1 2 21x xx < < x { }1x x < − { }1 0x x− < < { }0 1x x< < { }1x x > 0, 0a b> > 4a b+ ≤ 4ab ≤ 34 m 1m 20 10 80 120 160 240 0x > 2 3 1 x ax x ≤+ + a 1 5a ≥ 1 5a > 1 5a < 1 5a ≤ x 2 4x x m− ≥ (0,1]x∈ 3m ≤ − 3m ≥ − 3 0m− ≤ < 4m ≥ − 10 g 5g 5g 10 g 10 g 10 g 10 g 0a > 0b > 1 1 0k a b a b + + ≥+ k 4− 2− 2 7 6x x− + > 0a b> > 0c d> > a d b c x y x y xy+ = 4x y+16.若 , , ,则下列不等式:① ;② ;③ ;④ ,对满足条件的 , 恒成立的是 .(填序号) 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(10 分)解不等式 . 18 .( 12 分 ) 已 知 常 数 , 和 变 量 , 满 足 , , 的最小值为 ,求 , 的值. 0a > 0b > 2a b+ = 1ab ≤ 2a b+ ≤ 2 2 2a b+ ≥ 1 1 2a b + ≥ a b 22 2 8x x≤ − < 0a > 0b > 0x > 0y > 10a b+ = 1a b x y + = x y+ 18 a b19.(12 分)设 . (1)若不等式 对一切实数 恒成立,求实数 的取值范围; (2)解关于 的不等式 ( ). 20.(12 分)设 , 均为正实数,求证: . 2 (1 ) 2y ax a x a= + − + − 2y ≥ − x a x 1y a< − a∈R a b 2 2 1 1 2 2aba b + + ≥21.(12 分)运货卡车以 的速度匀速行驶 ,按交通法规限制 (单位: ).假设汽油的价格是每升 元,而汽车每小时耗油 升,司机的工资是每小时 元. (1)这次行车总费用 关于 的表达式; (2)当 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. /x km h 130 km 50 100x≤ ≤ /km h 2 2 2 360 x +   14 y x x22.(12 分)某建筑队在一块长 ,宽 的矩形地块 上施工,规划建设占地如图中矩形 的学生公寓,要求顶点 在地块的对角 线 上, , 分别在边 , 上,假设 的长度为 , (1)要使矩形学生公寓 的面积不小于 , 的长度应该在什么范 围? (2)长度 和宽度 分别为多少米时,矩形学生公寓 的面积最大? 最大值是多少 ? 30 mAM = 20 mAN = AMPN ABCD C MN B D AM AN AB mx ABCD 2144 m AB AB AD ABCD 2m答 案 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】C 【解析】∵ , ,∴ . 2.【答案】A 【解析】结合与不等式对应的二次函数 图象可知, 不等式恒成立需满足 , . 3.【答案】D 【解析】选项 A,必须满足 ,故不恒成立; 选项 B, 时,结论不成立; 选项 C, 时,结论显然不成立; 选项 D,∵ ,∴ ,又∵ ,∴D 正确. 4.【答案】D 【解析】方法一:取 检验,满足排除 A; 取 检验,不满足排除 B,C. 方 法 二 : 原 不 等 式 化 为 , 即 , ∴ . 5.【答案】C 【解析】因为 ,所以 , , 当且仅当 ,即 时,等号成立. 6.【答案】A 【解析】原不等式等价于 ①,或 ②, ①无解,解②得 . 7.【答案】A 【解析】当 时, , 则当 时,有 ,解得 ; 当 时,满足 ,但此时 , 综上所述,“ ”是“ ”的充分不必要条件. 8.【答案】C 【解析】由题意知,体积 ,高 ,所以底面积 , 设底面矩形的一条边长是 ,则另一条边长是 , 又设总造价是 元,则 , a b> c d> a c b d+ > + 2y ax bx c= + + 0a < 0Δ < 0a > 0c = 0b = a b c> > 0a b− > 0c b− > 1x = 4x = 22 7 9 0x x+ − ≤ ( 1)(2 9) 0x x− + ≤ 9 12 x− ≤ ≤ ( )0,2x∈ 2 0x− > 22(2 ) ( ) 12 x xx x + −− ≤ = 2x x= − 1x = 2 3 0 1 x x x >  <  1x < − 0, 0a b> > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ 1, 4a b= = 4ab ≤ 5 4a b+ = > 4a b+ ≤ 4ab ≤ 34 mV = 1mh = 24 mS = mx 4 mx y 8 820 4 10 (2 ) 80 20 2 160y x xx x = × + × + ≥ + ⋅ =当且仅当 ,即 时,等号成立. 9.【答案】A 【解析】由 ,得 , 当且仅当 时,等号成立,则 . 10.【答案】A 【解析】令 ,则在 上,当 时, 最小值为 ,所以 . 11.【答案】A 【解析】设右左两臂长分别为 , ,两次放入的黄金克数分别为是 , , 依题意有 , ,∴ , ∵ ,∴ , 又 ,∴ ,∴ ,即两次所得黄金数大于 克. 12.【答案】C 【 解 析 】 由 , 得 , 而 ( 时,等号成立),所以 , 因此要使 恒成立,应有 ,即实数 的最小值等于 . 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.【答案】 【解析】不等式可化为 ,解得 , ∴不等式的解集为 . 14.【答案】 【解析】∵ ,∴ , ∵ ,∴ ,∴ . 15.【答案】9 【解析】因为 ,所以 , , 当且仅当 时,等号成立. 82x x = 2x = 0x > 2 1 1 1 13 1 513 2 3 x x x x xx x = ≤ =+ + + + ⋅ + 1x = 1 5a ≥ 2 24 ( 2) 4y x x x= − = − − (0,1] 1x = y 3− 3m ≤ − a b x y 5ax b= 5by a= 25xy = 2 x y xy + ≥ 10x y+ ≥ a b≠ x y≠ 10x y+ > 10 1 1 0k a b a b + + ≥+ 2( )a bk ab +≥ − ( )2 2 4a b b a ab a b + = + + ≥ a b= ( )2 4a b ab +− ≤ − ( )2a bk ab +≥ − 4k ≥ − k 4− { }1 6x x< < ( )( )1 6 0x x− − < 1 6x< < { }1 6x x< < a b d c > 0c d> > 1 1 0d c > > 0a b> > 0a b d c > > a b d c > x y xy+ = 1 1 1x y + = 1 1 44 ( 4 )( ) 1 4 5 2 4 9x yx y x y x y y x + = + + = + + + ≥ + = 4x y y x =16.【答案】①③④ 【解析】 ,所以①正确; 因为 ,故②不正确; ,所以③正确; ,所以④正确. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.【答案】 . 【解析】原不等式等价于 , 由①得 或 ;由②得 , ∴ 或 , ∴不等式的解集为 . 18.【答案】 , 或 , . 【解析】∵ , 当且仅当 ,即 时,等号成立, ∴ 的最小值为 . 又 ,∴ ,解得 , 或 , . 19.【答案】(1) ;(2)见解析. 【 解 析 】(1 ) 由 题 意 , 不 等 式 对 于 一 切 实 数 恒 成 立 , 等 价 于 对于一切实数 恒成立. 当 时,不等式可化为 ,不满足题意; 当 时,满足 ,即 ,解得 . (2)不等式 等价于 . 当 时,不等式可化为 ,所以不等式的解集为 ; 当 时,不等式可化为 ,此时 , 所以不等式的解集为 ; 当 时,不等式可化为 , 2( ) 12 a bab +≤ = 2( ) 2 2 2 2 4a b a b ab ab a b+ = + + = + ≤ + + = 2 2 2 ( ) 22 a ba b ++ ≥ = 1 1 2 2a b a b ab ab ++ = = ≥ { }2 1 3 1 3 4x x x− < ≤ − + ≤ ( 1)( 1) 0ax x+ − < 1 1a − < 1 1x xa  − < − < −    或 a b 2 2 2 2 1 1 1 1 22a b a b ab + ≥ ⋅ = 2 2 1 1 a b = a b= 2 22 2 2ab abab ab + ≥ ⋅ = 2 abab = 2 2 1 1 2 2 2ab aba b ab + + ≥ + ≥ 2 2 1 1 2 a b abab  =  = 4 2a b= = 18 10 /x km h= 26 10 130 (h)t x = 2130 1302 (2 ) 14360 xy x x = × × + + × 50 100x≤ ≤ y x 130 18 2 130 360y xx × ×= + 50 100x≤ ≤ 2340 13 18y xx = + 50 100x≤ ≤ 130 18 2 130 26 10360y xx × ×= + ≥ 130 18 2 130 360 xx × ×= 18 10x = 18 10 /x km h= 26 10 12 18x≤ ≤ 15 mAB = 10 mAD = ABCD 2150 m NDC△ NAM△ DC ND AM NA = 20 30 20 x AD−= 220 3AD x= − ABCD 2220 (0 30)3S x x x= − < < ABCD 144 2220 1443S x x= − ≥ 2 30 216 0x x− + ≤解得 ,故 的长度范围应在 内. (2) , 当且仅当 ,即 时等号成立. 此时 . 故 , 时 , 学 生 公 寓 的 面 积 最 大 , 最 大 值 是 . 第三章 函数的概念与性质 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列函数中,对任意 ,不满足 的是( ) A. B. C. D. 2.已知定义在 上的奇函数 的图象与 轴交点的横坐标分别为 , , , , ,且 ,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 3.下列函数中,值域为 的是( ) A. B. C. D. 4.已知幂函数 在 上单调递减, 若 , , ,则下列不等关系正确的是( ) A. B. C . D. 5.关于函数 ,有下列结论 ①函数是偶函数; ②函数在 上递减; ③函数在 上递增; ④函数在 上的最大值为 1, 其中所有正确结论的编号是( ) A.①② B.①②④ C.②③ D.①③④ 6.已知偶函数 的图象如图所示(网格中小正方形边长为 1), 则 的图象可能是( ) 12 18x≤ ≤ AB 12 18x≤ ≤ 2 22 2 2 3020 (30 ) 1503 3 3 2 x xS x x x x − + = − = − ≤ =   30x x= − 15x = 220 103AD x= − = 15 mAB = 10 mAD = ABCD 2150 m x 2 ( ) (2 )f x f x= ( )f x x= ( ) 2f x x= − ( )f x x x= − ( ) 1f x x= − R ( )f x x 1x 2x 3x  2019x 1 2 3 2019x x x x m+ + + + = 23 ( 2) 1x m x m− + − ≤ 1 ,13  −   [ ]0,3 ( ),0−∞ ∅ [0,4] { }( ) 1, 1,2,3,4,5f x x x= − ∈ 2( ) 4f x x= − + 2( ) 16f x x= − 1( ) 2( 0)f x x xx = + − > 2( ) ( 5) ( )mf x m m x m= − − ∈Z (0, )+∞ 62 2 m a − =     1 2 2 m b − =     1 2 m c − =    b a c< < c b a< < c a b< < b c a< < ( ) 1f x x= − ( , 1)−∞ − (0,1) ( 3,3)− ( )f x ( ) [ ( )]g x f f x=A. B. C. D. 7 . 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 增 函 数 , 若 ,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知幂函数 的图象关于原点对称,且在 上是减函 数,若 ,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.若函数 的图象与函数 的图象有 三个交点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 10 . 已 知 满 足 , 若 对 任 意 的 , 恒成立,则实数 的最小值为( ) A. B. C. D. 11 . 定 义 , 已 知 , , 若 , 且 , ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 12.设定义在 上的函数 满足 ,且对任意的 ,都有 ,则 的定义域为( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.已知定义在 上的函数 满足: 是奇函数, 是偶函数, 则 等于 . ( )f x (0, )+∞ 2 2(2 5 2) ( 2)f a a f a a− + < + + a 1( , ) (2, )2 −∞ +∞ 1(0, ) (2, )2 +∞ 1(0, ) (2,6)2  (0,6) 2( ) ( )mf x x m−= ∈N (0, )+∞ 2 2( 1) (3 2 ) m m a a − −+ < − a ( 1,3)− 2 3( , )3 2 3( 1, )2 − 2 3( , 1) ( , )3 2 −∞ −  2 1 ( ) 1 x f x x − = − 2( ) 2 1( )g x ax ax a a= + + − ∈R a 1 3( ,0) (0, )4 4 −  3 1( ,0) (0, )4 4 −  1 1( ,0) (0, )2 2 −  1 1 1 3( , ) ( , )2 4 2 4 − −  ,x y ∈ R 3 3 ( 2) 2019( 2) 1 ( 2) 2019( 2) 1 x x y y  − + − = − + − = − 0t > kt x yt + ≥ + k 4− 1− 1 4 a c ad bcb d = − 1 2 2 1( ) ( 12 20)f x x x= − + − 1 2 2 2 ( ) ( 10 )f x x x= − + 1 2 ( )( ) ( ) m f xg x n f x = (4) 2( 6 3)g = − (6) 2( 6 2)g = − ( )g x 3 4 6 8 R ( )f x (0) 2f = ,x y∈R ( 1) ( ) ( ) 2 ( ) 2 3f xy f x f y f y x+ = ⋅ − − + ( )y f x= [ 2 )− + ∞ [ 1 )− + ∞ ( ,1]−∞ ( ,2]−∞ R ( )f x 2( )f x x+ 3( )f x x+ (2)f14.已知 的值域为 ,则实数 的取值范围 是 . 15 . 记 表 示 中 的 最 小 者 , 设 函 数 ,则 等于 . 16.已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时 ,对任意的 ,恒有 ,则实数 的最大值为 . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(10 分)设函数 , . (1)若函数 在区间 的最大值为 ,求函数 的解析式; (2)在(1)的结论下,若关于 的不等式 在区间 上恒成 立,求实数 的取值范围. 18.(12 分)在充分竞争的市场环境中,产品的定价至关重要,它将影响产品的销 量,进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验,总结得到了其 生产的产品 在一个销售季度的销量 (单位:万件)与售价 (单位:元)之 间满足函数关系 , 的单件成本 单位:元 与销量 之间满足函数关系 . (1)当产品 的售价在什么范围内时,能使得其销量不低于 万件? (2)当产品 的售价为多少时,总利润最大? 注:总利润 销量 售价 单件 成本 2 12 , 4( ) 1 13, 4 x x m x f x x xx  + − ≤=   + − > [ 1, )− +∞ m { }min , ,x y z , ,x y z { }2( ) min 6 6, 1, 7f x x x x x= − + + − + { }| ( ) 1a f a ≥ ( )f x R 0x ≤ 2( )f x x= [ 1, 1]x a a∈ − + ( 2 ) 3 ( )f x a f x+ ≥ a 2( )f x x ax a= + + a∈R ( )f x [0,2] 2a + ( )f x x 5 ( ) 54 f x− ≤ ≤ [ 2, ]m− m A y x 14 , 6 162 22 , 16 21 x xy x x  − ≤ ≤=   − < ≤ A (C ) y 30C y = A 5 A ( = (× − ))19.(12 分)已知函数 定义在 上的奇函数,且 ,对任意 时,有 成立. (1)解不等式 ; (2)若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围. 20.(12 分)已知函数 . (1)若对于任意 ,恒有 ,求实数 的取值范围; (2)若 ,求函数 在区间 上的最大值 . ( )f x [ 1,1]− (1) 1f = , [ 1,1], 0a b a b∈ − + ≠ ( ) ( ) 0f a f b a b + >+ 1( ) (1 2 )2f x f x+ < − 2( ) 2 1f x m am≤ − + [ 1,1]a∈ − m ( ) | | ( )f x x x a x a= − + ∈R [1,2]x∈ 2( ) 2f x x≥ a 2a ≥ ( )f x [0,2] ( )g a21.(12 分)设函数 定义在 上,当 时, ,且对任意 ,有 ,当 时 . (1)证明: ; (2)求 的值并判断 的单调性. 22.(12 分)已知函数 .且 , 记由所有 组成的数集为 . (1)已知 , ,求 ; (2)对任意的 , 恒成立,求 的取值范围; (3)若 , ,判断数集 中是否存在最大的项?若存在,求出最大项; 若不存在,请说明理由. ( )y f x= R 0x > ( ) 1f x > ,m n ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ = ⋅ m n≠ ( ) ( )f m f n≠ 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 f x f x x xf + +≥ (0)f ( )f x 2( ) ( )2 x af x ax += ∈+ R 1 ( )( 2, )n n nx f x x n+ = ≠ − ∈ *N nx E 1 1x = 3 3x = 2x 1[ ,1]6x∈ 1( )f x x < a 1 1x = 1a > E答 案 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】D 【解析】选项 D 中, , 选项 A、B、C 中函数,均满足 . 2.【答案】A 【解析】由题意知 ,由 ,解得 . 3.【答案】C 【解析】A 中 ,B 中 ,D 中 , 只有 C 中函数符合题意. 4.【答案】B 【解析】由题意知 ,解得 , 则 . 5.【答案】B 【解析】函数满足 ,是偶函数; 作出函数图象,可知在 , 上递减, , 上递增, 当 时, . 6.【答案】D 【 解 析 】 , 所 以 是 偶 函 数 , , 则 ,排除 A, 又设 ,取 ,所以存在 ,使得 ,排除 B、C. 7.【答案】C 【解析】由题意知 ,解得 或 . 8.【答案】B 【解析】∵幂函数 的图象关于原点对称,且在 上是减函数, 所以 ,因为 ,所以 或 , ∴当 时, ,图象关于 轴对称,不满足题意; 当 时, ,图象关于原点对称,满足题意, ∴不等式 即 , 2 ( ) 2 2 (2 ) 2 1f x x f x x= − ≠ = − 2 ( ) (2 )f x f x= 0m = 23 2 1 0x x− − ≤ 1 13 x− ≤ ≤ { }( ) 0,1,2,3,4f x ∈ ( ) ( ,4]f x ∈ −∞ ( ) [0, )f x ∈ +∞ 2 5 1 0 m m m  − − =  = > =              ( ) ( )f x f x− = ( , 1)−∞ − (0,1) ( 1,0)− (1, )+∞ ( 3,3)x ∈ − max( ) (0) 1f x f= = ( ) [ ( )] [ ( )] ( )g x f f x f f x g x− = − = = ( )g x 0 (1) 1f< < [ (1)] 0f f > 0( ) 0f x = 0 1x > 0 1x > 0[ ( )] 1f f x > 2 2 2 2 2 5 2 0 2 0 2 5 2 2 a a a a a a a a  − + >  + + >  − + < + + 10 2a< < 2 6a< < 2( ) mf x x −= (0, )+∞ 2 0m − < m∈N 0m = 1m = 0m = 0 2 2− = − y 1m = 1 2 1− = − 2 2( 1) (3 2 ) m m a a − −+ < − 1 1 2 2( 1) (3 2 )a a − −+ < −因为函数 在 上递减,所以 , 解得 ,即实数 的取值范围是 . 9.【答案】A 【解析】 , , 当 时显然不成立, 当 时,如图,两函数图象在第三象限一定有两个交点,当二次函数图象过 时, ,此时仅有两个交点,故 ; 当 时 , 如 图 , 设 有 等 根 , 则 ,解得 ,此时图象交点横坐标为 或 (不可取),故需 , 综上, . 10.【答案】D 【解析】由题意令 ,知其为奇函数且在 上递增, 所以当 时,得 ,即 , 对函数 ,若 ,则 在 上递增, 存在 ,使得 ,不符合题意, 当 时, , 时取等号,所以 . 11.【答案】B 【解析】 , , 由 , ,得 , 解得 , , 函数 在 上递减且非负, 在 上递增且 为正, 故 在 上递减,则 . 12.【答案】A 【解析】令 ,则 , 令 ,则 ①, 1 2y x −= (0, )+∞ 1 0 3 2 0 1 3 2 a a a a + >  − >  + > − 2 3 3 2a< < a 2 3( , )3 2 2 1, 11 ( ) 1, 1 11 1, 1 x xx f x x xx x x + >− = = − − − < (1,2)A 3 4a = 30 4a< < 0a < 21 ( 1) 1x a x+ = + − 2(2 1) 4 ( 2) 0Δ a a a= − − − = 1 4a = − 3x = − 1x = 1 04 a− < < 1 3( ,0) (0, )4 4a ∈ −  3( ) 2019f x x x= + R ( 2) ( 2) 0f x f y− + − = 2 2 0x y− + − = 4x y+ = ky t t = + 0k ≤ ky t t = + (0, )+∞ 0t > 4ky t t = + < 0k > 2ky t kt = + ≥ t k= 2 4 4k k≥ ⇒ ≥ 1 1 1 2 22 2 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( 10 ) ( 12 20)( ) m f xg x mf x nf x m x x n x xn f x = = − = − + − − + − [2,10]x∈ (4) 2( 6 3)g = − (6) 2( 6 2)g = − 2 6 2 3 2( 6 3) 2 6 4 2( 6 2) m n m n  − = − − = − 1m n= = 2 10( ) 10 ( 2) 2 xg x x x x x x −= − − − = + − 10y x= − [2,10] 2y x x= + − [2,10] ( )g x [2,10] max[ ( )] (2) 4g x g= = 0x y= = 2(1) (0) 2 (0) 3 3f f f= − + = 1y = ( 1) 3 ( ) 2 (1) 2 3 3 ( ) 2 3f x f x f x f x x+ = − − + = − −令 ,则 ,即 ②, 解方程组①②得 ,则选 A. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.【答案】 【解析】 是奇函数,则 , 是偶函数,则 , 解方程组得 . 或特别的,可令 ,则 . 14.【答案】 【解析】当 时, ,当 时取等号, 故当 时, , 即 在 时恒成立,所以 . 15.【答案】 【 解 析 】 函 数 的 部 分 图 象 如 图 , 直 线 与 曲 线 交 于 点 , 故 时,实数 的取值范围是 或 . 16.【答案】 【解析】由题意知 ,函数 在 上递减, 又 ,所以 ,即 , 所以 ,即 在 上恒成立, 所以 ,即 ,解得 . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)由题意知, 对称轴 . 1x = ( 1) 3 ( ) 2 ( ) 2 3 ( ) 1f y f y f y f y+ = − − + = + ( 1) ( ) 1f x f x+ = + ( ) 2f x x= + 12− 2( )f x x+ ( 2) 4 (2) 4f f− + = − − 3( )f x x+ ( 2) 8 (2) 8f f− − = + (2) 12f = − 3 2( )f x x x= − − (2) 12f = − 1 4x > 1 3 1x x + − ≥ − 1x = 1 4x ≤ 2 2 1x x m+ − ≥ − 2( 1)x m+ ≥ 1 4x ≤ 0m ≤ [0,1] [5,6] ( )f x 1y = (0,1), (1,1), (5,1), (6,1)A B C D ( ) 1f a ≥ a 0 1a≤ ≤ 5 6a≤ ≤ 3 3 − 2 2 , 0( ) , 0 x xf x x x  ≤= − > ( )f x R ( 3 ) 3 ( )f x f x= ( 2 ) 3 ( )f x a f x+ ≥ ( 2 ) ( 3 )f x a f x+ ≥ 2 3x a x+ ≤ 2 ( 3 1)a x≤ − [ 1, 1]x a a∈ − + 2 ( 3 1)( 1)a a≤ − − (3 3) ( 3 1)a− ≤ − − 3 3a ≤ − 2( ) 1f x x x= − − 1 ,32m  ∈   ( )f x 2 ax = − ( ,0]−∞①当 即 时, ,解得 ; ②当 即 时, ,无解, 故函数的解析式是 . (2)由(1)知 , , 由题知 , 又函数 在 上递增,令 ,解得 . 所以 . 18.【答案】(1) ;(2)当产品 的售价为 元时,总利润最大. 【解析】(1)由 ,得 或 , 解得 或 ,即 . ∴当产品 的售价 时,其销量 不低于 万件. ( 2 ) 由 题 意 , 总 利 润 . ①当 时, ,当且仅当 时等号成立; ②当 时, 单调递减, , ∴当产品 的售价为 元时,总利润最大. 19.【答案】(1) ;(2) 或 或 . 【 解 析 】 ( 1 ) 任 取 , , 由已知得 ,所以 , 所以 在 上单调递增, 原不等式等价于 ,所以 ,原不等式解集为 . (2)由(1)知 ,即 , 即 ,对 恒成立. 设 ,若 ,显然成立; 若 ,则 ,即 或 ,故 或 或 . 12 a− ≤ 2a ≥ − max( ) (2) 4 3 2f x f a a= = + = + 1a = − 12 a− > 2a < − max( ) (0) 2f x f a= = + 2( ) 1f x x x= − − 2 21 5 5( ) 1 ( )2 4 4f x x x x= − − = − − ≥ − ( 2) 5f − = 1 2m ≥ ( )f x 1 1( , )( )2 2m m< ( ) 5f m = 3m = 1 ,32m  ∈   [6,17] 5y ≥ 14 52 6 16 x x  − ≥  ≤ ≤ 22 5 16 21 x x − ≥  < ≤ 6 16x≤ ≤ 16 17x< ≤ 6 17x≤ ≤ A [6,17]x∈ y 5 (28 ) 30, 6 1630( ) 30 2 (22 ) 30, 16 21 x x xL y x xyy x x x − − ≤ ≤= ⋅ − = − =   − − < ≤ 6 16x≤ ≤ 21 ( 14) 68 682L x= − − + ≤ 14x = 16 21x< ≤ L (22 ) 30 16 6 30 66L x x= − − < × − = A 14 1[0, )6 2m ≤ − 2m ≥ 0m = 1 2 [ 1,1]x x< ∈ − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f x f xf x f x f x f x x xx x + −− = + − = ⋅ −+ − 1 2 1 2 ( ) ( ) 0( ) f x f x x x + − >+ − 1 2( ) ( ) 0f x f x− < ( )f x [ ]1,1− 1 1 22 11 12 1 1 2 1 x x x x  + < − − ≤ + ≤  − ≤ − ≤  10 6x≤ < 1[0, )6 ( ) (1) 1f x f≤ = 2 2 1 1m am− + ≥ 2 2 0m am− ≥ [ ]1,1a∈ − 2( ) 2g a ma m= − + 0m = 0m ≠ ( ) ( 1) 0 1 0 g g − ≥  ≥ 2m ≤ − 2m ≥ 2m ≤ − 2m ≥ 0m = A 1420.【答案】(1) 或 ;(2)见解析. 【解析】(1)对于任意 ,恒有 ,即 , 即 , 即 ,即 在 上恒成立, 得 ,解得 或 . (2) . 当 时, , 这时 在 上单调递增,在 上单调递减, 此时 ; 当 时, , 在 上单调递增, 此时 . 综上所述, . 21.【答案】(1)证明见解析;(2) , 在 上是增函数. 【解析】(1) , , , 所以 ,当 时取等号, 即 . (2)令 ,得 ,解得 或 , 若 ,当 时,有 ,与已知矛盾, . 设 ,则 ,由已知得 , , 所以 在 上是增函数. 22.【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析. 【解析】(1)已知 , , , 解得 ,∴ . 1a ≤ − 5a ≥ [1,2]x∈ 2( ) 2f x x≥ | | 1 2x a x− + ≥ | | 2 1x a x− ≥ − 2 2| | (2 1)x a x− ≥ − 2 23 (4 2 ) 1 0x a x a− − + − ≤ [1,2] 2 2 3 (4 2 ) 1 0 12 (4 2 ) 2 1 0 a a a a  − − + − ≤ − − × + − ≤ 1a ≤ − 5a ≥ 2 2 2 2 2 2 1 ( 1)( ) ,, 2 4( ) , 1 ( 1)( ) ,2 4 a ax x ax ax x x af x x ax x x a a ax x a  + +− − + ≤− + + ≤ = = − + > − −  − − > 2 3a≤ < 1 1 22 2 a a a − +< < ≤ ( )y f x= 1[0, ]2 a + 1[ ,2]2 a + 21 ( 1)( ) ( )2 4 a ag a f + += = 3a ≥ 1 22 a + ≥ ( )y f x= [0,2] ( ) (2) 2 2g a f a= = − (0) 1f = ( )f x R 21 1 1( ) (2 ) ( )2 2 x xf x f f= × = 22 2 2( ) (2 ) ( )2 2 x xf x f f= × = 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 2 x x x xf f f + = 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ( ) ( )) 02 2 2 x x x xf x f x f f f ++ − = − ≥ 1 2x x= 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 f x f x x xf + +≥ 0m n= = (0) (0) (0)f f f= (0) 0f = (0) 1f = (0) 0f = 0m ≠ ( 0) 0 (0)f m f+ = = (0) 1f = 1 2x x< 2 1 0x x− > 2 1( ) 1f x x− > 2 2 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x f x x f x f x= − + = − ⋅ > ( )f x R 2 4x = ( ,1)−∞ 1 1x = 2 1 2( ) 3 ax f x += = 3 4 2 2 3( ) 323 23 a aax f a + ++= = =+ + 10a = 2 4x =2( 1) , 2 3( ) 4 2 2, 3 a ag a a a  + ≤ ( )f x ( 2, )− +∞ ( 2, )x∈ − +∞ ( ) (2, )f x ∈ +∞ 1 1x = 2 4(1) 2 3 ax f −= = + 1n ≥ 1 ( ) 2n nx f x+ = > 1( ) (2)nf x f+ < 1 2 4 4( ) 2 24 3n a af x x+ − −< + < + = E 2 3 a + 1 4a< < ( )f x ( 2, )− +∞ ( 2, )x∈ − +∞ ( ) ( ,2)f x ∈ −∞ 1 1x = 2 4(1) 2 3 ax f −= = + 2 1 4 11 03 3 a ax x − −− = + = > 2 1x x> 2 1 2 1 3 2( ) ( ) ,x x f x f x x x> ⇒ > ⇒ >  1n nx x+ > 1 1 2( ) ( )n nx f x f x x+ = > > = E 4a ≥ E 2 3 a + 1 4a< < E {( , ) }A x y y a= = {( , ) 1, 0, 1}xB x y y b b b= = + > ≠ A B a ( ,1)−∞ ( ,1]−∞ (1, )+∞ R x∈R 3 2x x> 1a > x∈R x xa a−> ( 3) xy −=④ 的最小值为 ; ⑤在同一坐标中, 与 的图象关于 轴对称. A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤ 3.函数 的定义域是( ) A. B. C. D. 4.函数 的图像的大致形状是( ) A. B. C. D. 5.已知函数 ,则 ( ) A. B. C. D. 6.若函数 是奇函数,则使 成立的 的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.根据有关资料,围棋状态空间复杂度上限 约为 ,而可观测宇宙中普通物 质的原子总数 约为 .则下列各数中与 最接近的是( )(参考数据: ) A. B. C. D. 8 . 设 是 定 义 在 上 以 为 周 期 的 偶 函 数 , 已 知 当 时 , ,则函数 在 上( ) A.是增函数,且 B.是增函数,且 C.是减函数,且 D.是减函数,且 9.已知 是定义在 上的偶函数,且在 上是增函数,设 , , ,则 , , 的大小关系是 ( ) A. B. C . D. 10.设 ,函数 ,则使 的 的取值 范围是( ) 2 xy = 1 2xy = 2 xy −= y ln( 3)( ) 1 2x xf x += − ( 3,0)− ( 3,0]− ( , 3) (0, )−∞ − +∞ ( , 3) ( 3,0)−∞ − − (0 1) xxay ax = < < ( ) 3log , 0 2 , 0x x x f x x >=  ≤ 1 9f f    =     4 1 4 4− 1 4 − 2 1( ) 2 x xf x a += − ( ) 3f x > x ( , 1)−∞ − ( 1,0)− (0,1) (1, )+∞ M 3613 N 8010 M N lg3 0.48≈ 3310 5310 7310 9310 ( )f x R 2 (0,1)x∈ 1 2 ( ) log (1 )f x x= − ( )f x (1,2) ( ) 0f x < ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x > ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ,0]−∞ 4(log 7)a f= 1 2 (log 3)b f= 0.6(0.2 )c f −= a b c c a b< < c b a< < b c a< < a b c< < 0 1a< < 2( ) log ( 2 2)x x af x a a= − − ( ) 0f x < xA. B. C. D. 11.已知函数 ,若 ,则此函数的单调递增区间 是( ) A. B. C. D. 12.已知函数 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递增. 若实数 满足 ,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13. 的值域是 . 14.已知 , ,则用 , 表示 为 . 15 . 若 函 数 在 上 是 增 函 数 , 则 的 取 值 范 围 为 . 16.若函数 ( 且 )有两个零点,则实数 的取值范 围是 . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(10 分)计算: . 18.(12 分)设 , 是 上的偶函数(其中 ). (1)求 的值; (2)证明: 在 上是增函数. ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( ,log 3)a −∞ (log 3, )a +∞ 2( ) log ( 2 3)af x x x= + − (2) 0f > ( , 3)−∞ − ( , 3) (1, )−∞ − +∞ ( , 1)−∞ − (1, )+∞ ( )f x R (0, )+∞ a 2 1 2 (log ) (log ) 2 (1)f a f a f+ ≤ a 3 2 1 1 2 2 2 2 31 2 x x y − − =    lg9 a= 10 5b = a b 36log 45 2( ) log ( )af x ax x= − [2,4] a ( ) xf x a x a= − − 0a > 1a ≠ a 2lg 2 lg3 1 11 lg0.36 lg82 3 + + + 0a > ( ) x x e af x a e = + R 2.71828e ≈ a ( )f x (0, )+∞19.(12 分)已知函数 ( 且 )在区间 上的最大值与最小值 之和为 ,记 . (1)求 的值; (2)证明: ; (3)求 的值. 20.(12 分)已知函数 ( 为常数)是奇函数. (1)求 的值与函数 的定义域; (2)若当 时, 恒成立.求实数 的取值范 xy a= 0a > 1a ≠ [1,2] 20 ( ) 2 x x af x a = + a ( ) (1 ) 1f x f x+ − = 1 2 3 2016( ) ( ) ( ) ( )2017 2017 2017 2017f f f f+ + + + 2 1( ) log 1 axf x x += − a a ( )f x (1, )x∈ +∞ 2( ) log ( 1)f x x m+ − > m围. 21.(12 分)已知 , , 为正数, ,且 . (1)求 的值; (2)求证: . x y z 3 4 6x y z= = 2x py= p 1 1 1 2z x y − =22.(12 分)定义在 上的单调函数 满足 ,且对任意 , 都有 . (1)求证: 为奇函数; (2)若 对任意 恒成立,求实数 的取值范 围. R ( )f x 2(3) log 3f = x y∈R ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ( )f x ( 3 ) (3 9 2) 0x x xf k f⋅ + − − < x∈R k答 案 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】B 【 解 析 】 ∵ , 如 果 只 有 一 个 子 集 , 则 , ∴ . 2.【答案】B 【解析】①可取 ,则 ,故①错; ②可取 ,则 ,故②错; ③ 即 在 上是单调减函数,故③错; ④由于 ,则 ,即 时,取最小值 ,故④对; ⑤由图象对称的特点可得,在同一坐标系中, 与 的图象关于 轴对 称,故⑤对. 故答案为④⑤. 3.【答案】A 【解析】因为 ,所以要使函数 有意义,需使 , 即 . 4.【答案】D 【解析】 且 , 根据指数函数的图象和性质, 时,函数为减函数, 时,函数为增函数,故选 D. 5.【答案】B 【解析】根据分段函数可得 , 则 ,所以 B 正确. 6.【答案】C 【解析】∵ 为奇函数,∴ ,即 , 而 ,∴ ,∴ ,即为 , 当 时, ,∴ ,解得 ; 当 时, ,∴ ,无解. ∴ 的取值范围为 . 7.【答案】D 【 解 析 】 由 题 意 , , 1 1xy b= + > A B A B = ∅ 1a ≤ 0x = 3 2 1x x= = 0x = 1x xa a−= = ( 3) xy −= 3( )3 xy = R 0x ≥ 02 2 1x ≥ = 0x = 1 2xy = 2 xy −= y ln( 3)( ) 1 2x xf x += − ( )f x 3 0 1 2 0x x + >  − > 3 0x− < < , 0 , 0 xx x a xxay x a x  >= = − > a ∴ ),0( +∞∈x )0,(−∞∈x 3 1 1log 29 9f   = = −   21 1( 2) 29 4f f f −   = − = =     ( )f x ( ) ( )f x f x− = − 2 1 2 1 2 2 x x x xa a − − + += −− − 2 1 1 2 2 1 2 x x x xa a − − + +=− − ⋅ 1a = ( ) 3f x > 2 1 32 1 x x + >− 0x > 2 1 0x − > 2 1 3 2 3x x+ > ⋅ − 0 1x< < 0x < 2 1 0x − < 2 1 3 2 3x x+ < ⋅ − x (0,1) 361 361 80 80 3lg lg lg3 lg10 361lg3 80lg1010 M N = = − = − 361 0.48 80 1 93.28× − × =≈又 , , , , 故与 最接近的是 . 8.【答案】D 【解析】由于 时, ,所以 在区间 上单调递 增且 , 又因为 是偶函数,所以 在区间 上单调递减且 , 又因为 是周期为 的周期函数,所以 在区间 上单调递减且 , 故选 D. 9.【答案】B 【解析】 , , , . 又 是定义在 上的偶函数,且在 上是增函数, 故 在 上单调递减,∴ , 即 . 10.【答案】C 【解析】 , 因 为 , 所 以 , 即 或 , 所以 或 (舍去),因此 ,故选 C. 11.【答案】D 【解析】∵ ,∴ . 由 ,得函数 的定义域为 . 设 ,则此函数在 上为增函数,在 上为减函数, 根据复合函数的单调性可知函数 的单调递增区间是 ,故选 D. 12.【答案】C 【 解 析 】 由 于 为 偶 函 数 , 所 以 且 , 因 为 在 区 间 上 单 调 递 增 , 所 以 , 即 的最小值为 .故选 C. 第Ⅱ卷 33lg10 33= 53lg10 53= 73lg10 73= 93lg10 93= M N 9310 (0,1)x∈ 1 2 ( ) log (1 )f x x= − ( )f x (0,1) ( ) 0f x > ( )f x ( )f x ( 1,0)− ( ) 0f x > ( )f x 2 ( )f x (1,2) ( ) 0f x > 1 2 4 2 log 3 log 3 log 9= − = − 1 4 4 2 (log 3) ( log 9) (log 9)b f f f= = − = 4 41 log 7 log 9 2< < < 3 3 0.6 5 55 5 4 10.2 ( ) 5 125 32 2 log 95 −− = = = > = > ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ,0]−∞ ( )f x (0, )+∞ 0.6 1 4 2 (0.2 ) (log 3) (log 7)f f f− < < c b a< < 2 2( ) 0 log ( 2 2) 0 log ( 2 2) log 1x x x x a a af x a a a a< ⇔ − − < ⇔ − − < 0 1a< < 2 2 2 1x xa a− − > 2 2( ) 2 1 4 ( 1) 4 1 2x x x xa a a a− + > ⇔ − > ⇔ − > 1 2xa − < − 3xa > 1xa < − log 3ax < (2) log 5 0 log 1a af = > = 1a > 2 2 3 0x x+ − > ( )f x ( , 3) (1, )−∞ − +∞ 2 2 3u x x= + − (1, )+∞ ( , 3)−∞ − ( )f x (1, )+∞ ( )f x ( ) ( )f x f x− = 2 1 2 2 2 (log ) (log ) (log ) ( log )f a f a f a f a+ = + − 2 22 (log ) 2 (1) (log ) (1)f a f f a f⇒ ≤ ⇒ ≤ ( )f x (0, )+∞ 2 2 1log 1 1 log 1 22a a a≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ a 1 2二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.【答案】 【解析】函数由 , 复合而成,其中 是减函数, 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以原函数在 上单调递增,在 上单调递减,从而函数 在 处取得最大值,最大值为 ,则值域为 . 14.【答案】 【解析】由已知得 ,则 , 因为 , 所以 ,即 . 15.【答案】 【解析】函数 是由 和 复合而成的,根据复合函 数的单调性的判断方法. ( 1 ) 当 时 , 若 使 在 上 是 增 函 数 , 则 在 上是增函数且大于零.故有 ,解得 ,∴ ; (2)当 时,若使 在 上是增函数, 则 在 上是减函数且大于零, , 不等式组无解, 综上所述,存在实数 使得函数 在 上是增函数. 16.【答案】 【 解 析 】 设 函 数 ( , 且 ) 和 函 数 , 则 函 数 ( ,且 )有两个零点,就是函数 ( , 且 )与函数 有两个交点. 由图象可知,当 时,两函数只有一个交点,不符合; 当 时,因为函数 的图像过点 ,而直线 所过的点 一定在点 的上方, 所以一定有两个交点,所以实数 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 (0,16] 1 2 t y  =    2 2 3t x x= − − 1 2 t y  =    2 2 3t x x= − − ( ,1)−∞ (1, )+∞ ( ,1)−∞ (1, )+∞ 2 2 31 2 x x y − − =    1x = 41 162 −  =   (0,16] 2 2 a b a b + − + lg5b = 36 lg 45 lg5 lg9log 45 lg36 lg 4 lg9 2lg 2 b a a + += = =+ + 10lg 2 lg 1 lg5 15 b= = − = − 2lg 2 2(1 ) 2 2 b a a b a b a b a a b + + += =+ − + − + 36log 45 2 2 a b a b += − + 1a > ( )f x 2( )x ax xϕ = − log ( )ay xϕ= 1a > 2( ) log ( )af x ax x= − [2,4] 2( )x ax xϕ = − [2,4] 1 22 (2) 4 2 0 a aϕ  ≤  = − > 1 2a > 1a > 0 1a< < 2( ) log ( )af x ax x= − [2,4] 2( )x ax xϕ = − [2,4] 1 42 (4) 16 4 0 a aϕ  ≥  = − > 1a > 2( ) log ( )af x ax x= − [2,4] 1a > xy a= 0a > 1a ≠ y x a= + ( ) xf x a x a= − − 0a > 1a ≠ xy a= 0a > 1a ≠ y x a= + 0 1a< < 1a > ( 1)xy a a= > (0,1) y x a= + (0,1) a 1a >步骤) 17.【答案】 . 【解析】原式 . 18.【答案】(1) ;(2)证明见解析. 【解析】(1)依题意,对一切 有 ,即 , 所以 对一切 成立,由此可得 ,即 . 又因为 ,所以 . ( 2 ) 证 明 : 设 , , 由于 , , ,得 , , , ∴ ,即 在 上是增函数. 19.【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3) . 【解析】(1)函数 ( 且 )在 上的最大值与最小值之和为 , ∴ ,得 或 (舍去). (2)由(1)知 , ∴ . (3)由(2)知 , , , , ∴ . 20.【答案】(1) , ;(2) . 【解析】(1)因为函数 是奇函数,所以 , 所以 ,即 ,所以 , 1 2 3 2lg 2 lg3 2lg 2 lg3 2lg 2 lg3 1 1 1 lg0.6 lg 2 1 (lg6 lg10) lg 21 lg0.6 lg 22 3 + + += = =+ + + − ++ + 2lg 2 lg3 2lg 2 lg3 2lg 2 lg3 1lg6 lg 2 lg 2 lg3 lg 2 2lg 2 lg3 + + += = = =+ + + + 1a = x∈R ( ) ( )f x f x= − 1x x x x e a aea e ae + = + 1 1( )( ) 0x xa ea e − − = x∈R 1 0a a − = 2 1a = 0a > 1a = 1 20 x x< < 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1( ) ( ) ( )(1 ) x x x x x x x x x x x x x x e ef x f x e e e e e ee e e e+ + −− = − + − = − + = − − 1 0x > 2 0x > 2 1 0x x− > 1 2 0x x+ > 21 xx ee < 121 >+xxe 1 2( ) ( ) 0f x f x− < ( )f x (0, )+∞ 4a = 1008 xy a= 0a > 1a ≠ [1,2] 20 2 20a a+ = 4a = 5a = − 4( ) 4 2 x xf x = + 1 1 4 4 4 4 4( ) (1 ) 44 2 4 2 4 2 24 x x x x x x x x f x f x − −+ − = + = ++ + + + 4 4 4 2 14 2 2 4 4 4 2 4 2 x x x x x x = + = + =+ ⋅ + + + 1 2016( ) ( ) 12017 2017f f+ = 2 2015( ) ( ) 12017 2017f f+ =  1008 1009( ) ( ) 12017 2017f f+ = 1 2 3 2016 1 2016( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]2017 2017 2017 2017 2017 2017f f f f f f+ + + + = + 2 2015 1008 1009[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 1 1 10082017 2017 2017 2017f f f f+ + + + + = + + + =  1a = { }1 1x x x< − >或 ( ,1]−∞ 2 1( ) log 1 axf x x += − ( ) ( )f x f x− = − 2 2 1 1log log1 1 ax ax x x − += −− − − 2 2 1 1log log1 1 ax x x ax − −=+ + 1a =令 ,解得 或 , 所以函数的定义域为 . (2) , 当 时, ,所以 . 因为 , 恒成立,所以 , 所以 的取值范围是 . 21.【答案】(1) ;(2)证明见解析. 【解析】(1)设 (显然 ,且 ), 则 , , , 由 ,得 , ∵ ,∴ . (2)证明: , 又∵ ,∴ . 22.【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】(1)证明:由 , 令 ,得 .令 ,得 , 又 ,则有 , 即 对任意 成立,所以 是奇函数. (2) ,即 , 又 是 上的单调函数,所以 在 上是增函数. 又由(1)知 是奇函数. , 分离参数得 ,即 对任意 恒成立, 令 ,当 时 的最小值为 , 则要使对任意 不等式 恒成立,只要使得 , 故 的取值范围是 . 第五章 三角函数 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1 01 x x + >− 1x < − 1x > { }1 1x x x< − >或 2 2( ) log ( 1) log (1 )f x x x+ − = + 1x > 1 2x + > 2 2log (1 ) log 2 1x+ > = (1, )x∈ +∞ 2( ) log ( 1)f x x m+ − > 1m ≤ m ( ,1]−∞ 32log 4p = 3 4 6x y z k= = = 0k > 1k ≠ 3logx k= 4logy k= 6logz k= 2x py= 3 3 4 3 log2log log log 4 kk p k p= = ⋅ 3log 0k ≠ 32log 4p = 6 3 1 1 1 1 log 6 log 3 log 2log log k k kz x k k − = − = − = 1 1 log 4 log 22 2 k ky = = 1 1 1 2z x y − = 2 2 1k < − ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + 0x y= = (0) 0f = y x= − (0) ( ) ( )f f x f x= + − (0) 0f = ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( ) ( )f x f x− = − x∈R ( )f x 2(3) log 3 0f = > (3) (0)f f> ( )f x R ( )f x R ( )f x ( 3 ) (3 9 2) 0 ( 3 ) (9 3 2) 3 9 3 2x x x x x x x x xf k f f k f k⋅ + − − < ⇔ ⋅ < − + ⇔ ⋅ < − + 23 13 x xk < + − 23 13 x xk < + − x∈R 23 13 x xu = + − 3 1 log 22x = u 2 2 1− x∈R 23 13 x xk < + − 2 2 1k < − k 2 2 1k < −1.下列说法正确的是( ) A.小于 的角是锐角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限的角大于第一象限的角 D.若角 与角 的终边相同,则 , 2.下列各角中,终边相同的角是( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. ( ) A. B. C. D. 4.点 所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5. ( ) A. B. C. D. 6.已知 为锐角,角 的终边过点 , ,则 ( ) A. B. C. D. 或 7.若 , 是第二象限的角,则 的值为( ) A. B. C. D. 8 . 已 知 , 若 对 任 意 的 , 不 等 式 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.如图所示,用两种方案将一块顶角为 ,腰长为 的等腰三角形钢板 裁剪成扇形,设方案一、二扇形的面积分别为 , ,周长分别为 , ,则( ) A. , B. , C. , D. , 10.已知函数 , ,则下列说法正确的是( ) A. 与 的定义域都是 90° α β πkα β= + k ∈Z 2 π3 240° π 5 − 314° 7 π9 − 29 π9 3 3° cos780° = 3 2 3 2 − 1 2 1 2 − (sin3 cos3,sin3 cos3)P − + sin160 cos10 cos20sin170° + ° = 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 β α (3,4) 2sin( ) 2 α β+ = cos β = 3 2 10 2 10 7 2 10 2 10 7 2 10 3cos 5 α = − α 2 3tan 2 4 tan 2 α α + − 3 4 − 2 4 4− [0,π)θ ∈ [ 1,0]x∈ − 2 2 2cos ( 1) sin 0x x x xθ θ+ + + + > θ π 5π( , )12 12 π π( , )6 4 π 3π( , )4 4 π 5π( , )6 6 120° 2 OAB 1S 2S 1l 2l 1 2S S= 1 2l l> 1 2S S= 1 2l l< 1 2S S> 1 2l l= 1 2S S< 1 2l l= ( ) cos(sin )f x x= ( ) sin(cos )g x x= ( )f x ( )g x [ 1,1]−B. 为奇函数, 为偶函数 C. 的值域为 , 的值域为 D. 与 都不是周期函数 11.已知函数 ,若 在区间 内没有零点, 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.设 ( , , ),若 对一 切 恒成立,给出以下结论: ① ; ② ; ③ 的单调递增区间是 ; ④函数 既不是奇函数也不是偶函数; ⑤存在经过点 的直线与函数 的图象不想交.其中正确结论的个数为 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.已知扇形的半径为 ,圆心角为 ,则扇形的面积为 . 14.若 , , , ,则 的值等于 . 15.将函数 的图象向右平移 个单位后,得到函数 的图 象,则 的值是 . 16.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,由四个全等的直 角三角形围成一个大正方形,中间空出一个小正方形(如图阴影部分).若直角三 角形中较小的锐角为 .现向大正方形区城内随机投掷-枚飞镖,要使飞镖落在小 正形内的概率为 ,则 . ( )f x ( )g x ( )f x [cos1,1] ( )g x [ sin1,sin1]− ( )f x ( )g x π( ) 5 sin( )( 0)3f x xω ω= − > ( )f x (π,2π] ω 1(0, )6 1 1 2(0, ) [ , )6 3 3 1 1 2(0, ) [ , ]6 3 3 2(0, )3 ( ) sin 2 cos2f x a x b x= + a b∈R 0ab ≠ π( ) ( )3f x f≤ x∈R π( ) 012f = 5π 11π( ) ( )12 12f f= ( )f x π 5π[ π , π ]( )3 6k k k+ + ∈Z ( )y f x= ( , )a b ( )f x 1 2 3 4 6 π 3 α π(0, )2 β ∈ 3cos( )2 2 βα − = 1sin( )2 2 α β− = − cos( )α β+ ( ) sin(2 π)f x x= + π 4 ( )g x π( )4g α 1 4 cosα =三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(10 分)已知角 的顶点在原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边上一点 的坐标是 . (1)求 , ; (2)求 . 18.(12 分)已知 , . (1)求 及 的值; (2)求 的值. 19.(12 分)已知函数 . (1)用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在 的图象;(请先列表, α x P ( 1,2)− sinα tanα π2sin(π ) sin( )2 sin(2π ) cos(π ) α α α α − − − − + + π0 2 α< < 4sin 5 α = tanα sin 2α πcos2 sin( )2 α α+ + π3sin(2 )3y x= − π 7π[ , ]6 6再描点,图中每个小矩形的宽度为 ) (2)请描述上述函数图象可以由函数 怎样变换而来? 20.(12 分)已知函数 ( , )的图象 过点 , . (1)求 , 的值; (2)若 ,且 ,求 的值; (3)求 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 21.(12分)已知函数 ,且 , . π 12 siny x= ( ) 2 2 sin( )f x xω ϕ= + π0 2 ω< < π 2 ϕ < (0, 6)A 8( ,0)3C ω ϕ 8 2( ) 5f θ = 10 2( , )3 3 θ ∈ − ( 1)f θ − ( ) 0f x m− < 1[ 4, ]3x∈ − m 2 2( ) sin sin cos cos ( )f x x a x x b x x= + + ∈R (0) 3f = π 5 3( )6 2f −=(1)求该函数的最小正周期及对称中心坐标; (2)若方程 的根为 , 且 ,求 的值. 22.(12 分)已知函数 ,其中 , . (1)当 , 时,求函数 的最大值与最小值; (2)函数 为奇函数,求 的值; (3)求 的取值范围,使 在区间 上是单调函数. 6( ) 22f x = + α β π( )k kα β− ≠ ∈Z tan( )α β+ 2( ) 2 tan 1f x x x θ= + − π π2 kθ ≠ + k ∈Z π 6 θ = − [ 1, 3]x∈ − ( )f x ( )( ) f xg x x = θ θ ( )y f x= [ 1, 3]−答 案 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.【答案】B 【解析】A:负角不是锐角,比如“ ”的角,故错误; B:钝角范围是“ ”,是第二象限角,故正确; C:第二象限角取“ ”,第一象限角取“ ”,故错误; D:当角 与角 的终边相同,则 , . 故选 B. 2.【答案】C 【解析】对于 A 选项, ,∵ ,不合乎要求; 对于 B 选项, , ,不合乎要求; 对于 C 选项, ,合乎要求; 对于 D 选项, , ,不合乎要求. 故选 C. 3.【答案】C 【解析】∵ ,∴ .故选 C. 4.【答案】D 30− ° 90 180α° < < ° 91° 361° α β 2 πkα β= + k ∈Z 4π240 3 ° = 4π 2π 2π 3 3 3 − = π 365 − = − ° 314 ( 36 ) 350°− − ° = ° 29 7ππ ( ) 4π9 9 − − = 3 3 57.3 171.9≈ × ° = ° 171.9 3 168.9°− ° = ° 1cos780 cos(720 60 ) cos60 2 ° = °+ ° = ° = 1cos780 2 ° =【解析】∵ ,作出单位圆如图所示, 设 , 分别为 , . , ,所以 , 因为 ,即 ,所以 . 故点 在第四象限.故选 D. 5.【答案】D 【解析】 ,故本题选 D. 6.【答案】B 【解析】 为锐角,角 的终边过点 , ∴ , , ,∴ 为钝角, ∴ , 则 ,故选 B. 7.【答案】C 5 π 3 π6 < < MP OM a b sin 0a= > cos3 0b= < sin3 cos3 0− > MP OM< a b< sin3 cos3 0a b+ = + < (sin3 cos3,sin3 cos3)P − + sin160 cos10 cos20 sin170 sin 20 cos10 cos20 sin10° °+ ° ° = ° °+ ° ° 1sin(20 10 ) sin30 2 = °+ ° = ° = β α (3,4) 4sin 5 α = 3cos 5 α = 2sin( ) sin2 α β α+ = < α β+ 2 2cos( ) 1 sin ( ) 2 α β α β+ = − − + = − cos cos[( ) ]β α β α= + − 2 3 2 4 2cos( )cos sin( )sin 2 5 2 5 10 α β α α β α= + + + = − ⋅ + ⋅ =【解析】因为 , 故 . 因为 是第二象限的角,故 , , 所以 , ,即 为第一象限角或第三象限角, 故 ,所以 .故选 C. 8.【答案】A 【解析】 , 恒成立, 在 恒成立, 只需满足 ,故选 A. 9.【答案】A 【解析】∵ 为顶角为 ,腰长为 的等腰三角形,∴ , , 方案一中扇形的周长 , 方案二中扇形的周长 , 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 32 2 2cos cos sin2 2 5cos sin 1 tan2 2 2 α α α α αα α α α − − = − = = = − + + 2tan 42 α = α π2 π 2 π π2k kα+ < < + k ∈Z π ππ π4 2 2k k α+ < < + k ∈Z 2 α tan 22 α = 2 3tan 82 424 tan 2 α α + = = − 2( ) (cos sin 1) (2sin 1) sin 0f x x xθ θ θ θ= + + + + + > cos sin 1 0θ θ+ + > ( )f x [ 1,0]− ( 1) 0 cos 0 π 5(0) 0 sin 0 ( , π)6 122sin 1 1( ) 0 sin 22(1 cos sin ) 2 f f f θ θ θ θ θθ θ   − > >  > ⇒ > ⇒ ∈   + − > >+ +  AOB△ 120° 2 π30 6A B= = ° = 1OD = 1 π π2 2 2 46 3l = + + × = + 2 2π 2π1 1 1 23 3l = + + × = +方案一中扇形的面积 , 方案二中扇形的面积 , 所以 , .故选 A. 10.【答案】C 【解析】A. 与 的定义域都是 ,故 A 错误; B. , 则 是偶函数,故 B 错误; C.∵ , ,∴ 的值域为 , 的值域 ,故 C 正确; D. 则 是周期函数, 故 D 错误, 故选 C. 11.【答案】B 【解析】因为 , ,所以 . 因为 在区间 内没有零点,所以 , , 解得 , . 1 1 π π2 22 6 3S = × × × = 2 2 1 2π π12 3 3S = × × = 1 2S S= 1 2l l> ( )f x ( )g x R ( ) cos( sin( )) cos( sin )f x x x− = − − = − cos(sin ) ( )x f x= = ( )f x 1 sin 1x− ≤ ≤ 1 cos 1x− ≤ ≤ ( )f x [cos1,1] ( )g x [ sin1,sin1]− ( 2π) cos(sin( 2π)) cos(sin ) ( )f x x x f x+ = + = = ( )f x π 2πx< ≤ 0ω > π π π2 π3 3 3x xω ω ω− < − ≤ − ( )f x (π,2π] ππ π3 2 π ( 1)π3 k k ω πω  − ≥  − < + k ∈Z 1 2 3 2 3 kk ω+ ≤ < + k ∈Z因为 ,所以 , 因为 ,所以 或 . 当 时, ;当 时, .故选 B. 12.【答案】C 【解析】由 对 恒成立可知: , 即: ,整理可得 ,∴ , ∴ , ① ,可知①正确; ② ; , ∴ ,可知②正确; ③当 时, , 当 时, 为 的单调递增区间; 当 时, 为 的单调递减区间,可知③错误; 1 2 3 2 3 2 02 3 kk k  + < +  + > 4 2 3 3k− < < k ∈Z 1k = − 0k = 1k = − 10 6 ω< < 0k = 1 2 3 3 ω≤ < π( ) ( )3f x f≤ x∈R 2 2π( )3f a b= ± + 2 23 1 2 2a b a b− = ± + 2( 3 ) 0a b+ = 3a b= − π( ) 3 sin 2 cos2 2 cos(2 )3f x b x b x b x= − + = + π π( ) 2 cos 012 2f b= = 5π 7π( ) 2 cos 312 6f b b= = 11π 13π( ) 2 cos 32 6f b b= = 5π 11π( ) ( )12 2f f= π 5π[ π , π ]( )3 6x k k k∈ + + ∈Z π2 [2 π π,2 π 2π]( )3x k k k+ ∈ + + ∈Z 0b > π 5π[ π , π ]( )3 6k k k+ + ∈Z ( )f x 0b < π 5π[ π , π ]( )3 6k k k+ + ∈Z ( )f x④由函数解析式可知: 且 ,则 为非奇非偶函数,可知④正确; ⑤要使得经过 的直线与函数 无交点,则直线需要与 轴平行且 . 又 ,∴ ,不成立,可知⑤错误. 综上所述:①②④正确,本题正确选项 C. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】 【解析】根据扇形的弧长公式可得 , 根据扇形的面积公式可得 ,故答案为 . 14.【答案】 【解析】∵ , ,∴ , , 由 和 ,得 , , 当 , 时, ,与 , 矛盾; 当 , 时, ,此时 . 15.【答案】 ( ) ( )f x f x− ≠ ( ) ( )f x f x− ≠ − ( )f x ( , )a b ( )f x x 2 2b a b> + 3a b= − 2b b> 6π π 6 2π3l rα= = × = 1 1 2π 6 6π2 2S lr= = ⋅ ⋅ = 6π 1 2 − α π(0, )2 β ∈ π π 4 2 2 βα− < − < π π 2 2 4 α β− < − < 3cos( )2 2 βα − = 1sin( )2 2 α β− = − π 2 6 βα − = ± π 2 6 α β− = − π 2 6 βα − = − π 2 6 α β− = − 0α β+ = α π(0, )2 β ∈ π 2 6 βα − = π 2 6 α β− = − π 3 α β= = 1cos( ) 2 α β+ = − 0【 解 析 】 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 , 得 到 函 数 的图象,则 ,故答案为 . 16.【答案】 【解析】设正方形边长为 ,则直角三角形的两条直角边分别为 和 , 则每个直角三角形的面积为 , 由题意知,阴影部分正方形的面积为 , 所以四个直角三角形的面积和为 ,即 , 由于 是较小的锐角,则 ,∴ , 所以 , 因此 ,故答案为 . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.【答案】(1) , ;(2) . 【解析】(1)∵ ,∴ ,∴ ,∴ . ( ) sin(2 π)f x x= + π 4 π( ) sin[2( ) π] cos24g x x x= − + = π π( ) cos(2 ) 04 4g = × = 0 7 1 4 + 1 sinα cosα 1 1sin cos sin 22 4 α α α= 1 4 1 14 sin 2 14 4 α× = − 3sin 2 4 α = α π0 4 α< < π0 2 2 α< < 2 7cos2 1 sin 2 4 α α= − = 711 cos2 8 2 7 7 14cos 2 2 16 4 αα ++ + += = = = 7 1 4 + 2 5sin 5 α = tan 2α − 5− ( 1,2)P − 5r = 2 5sin 5 α = tan 2α −(2)∵ , 为第四象限,∴ , . 18.【答案】(1) , ;(2) . 【 解 析 】( 1 ) 因 为 , , 所 以 , 所 以 , . (2)原式 . 19.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】(1)由题意,因为 ,所以 ,列表如下: 描点、连线,得出所要求作的图象如下: 2 5sin 5 α = α 5cos 5 α = − 2 5 5π 22sin(π ) sin( ) 2sin cos 5 52 5sin(2π ) cos(π ) sin cos 2 5 5 5 5 α α α α α α α α × +− − − −= = = −− + + − − − + 4tan 3 α = 24sin 2 25 α = 8 25 π0 2 α< < 4sin 5 α = 3cos 4 α = sin 4tan cos 3 αα α= = 4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25 α α α= ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 23 3 82cos 1 cos 2 ( ) 15 5 25 α α= − + = ⋅ − + = π 7π[ , ]6 6x∈ π2 [0,2π]3x − ∈(2)把 的图象向右平移 个单位,可得 的图象, 再把所得图象的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,可得 的图象; 再把所得图象的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变,可得 的图象. 20.【答案】(1) , ;(2) ;(3) . 【解析】(1)由 ,得 ,即 , 由 ,知 ,∴ , 由 ,得 , 即 ,即 , 由 ,得 ,所以 . (2)由 ,得 ,即 , 由 ,得 ,∴ , ∴ . siny x= π 3 πsin( )3y x= − 1 2 πsin(2 )3y x= − 3 π3sin(2 )3y x= − π 4 ω = π 3 ϕ = 2 5 (1 3, )+ +∞ (0) 6f = 2 2 sin 6ϕ = 3sin 2 ϕ = π 2 ϕ < π 3 ϕ = π π( ) 2 2 sin( )(0 )3 2f x xω ω= + < < 8( ) 03f = 8 π2 2 sin( ) 03 3 ω + = 8 π π( )3 3 k kω + = ∈Z 3 π π ( )8 8 k kω = − ∈Z π0 2 ω< < π 4 ω = π π( ) 2 2 sin( )4 3f x x= + 8 2( ) 5f θ = π π 8 22 2 sin( )4 3 5 θ + = π π 4sin( )4 3 5 θ + = 10 2( , )3 3 θ ∈ − π π π π( , )4 3 2 2 θ + ∈ − 2π π 4 3cos( ) 1 ( )4 3 5 5 θ + = − = π π π π π π π π π( 1) 2 2 sin[( ) ] 2 2[sin( )cos cos( )sin ]4 3 4 4 3 4 4 3 4f θ θ θ θ− = + − = + − + 4 2 3 2 22 2( )5 2 5 2 5 = × − × =(3)由 ,得 , ∴当 时, , ∴实数 的取值范围为 . 21.【答案】(1) ,对称中心坐标为 ;(2) . 【解析】(1)由 , ,得 , 解得 , ∴ ,∴ ,即函数的最小正周期为 . 由 ,得 , ∴函数 的对称中心坐标为 . (2)由题意得 ,即 , ∴ 或 , 则 或 , 1[ 4, ]3x∈ − π π 2π 5π[ , ]4 3 3 12 θ + ∈ − 1[ 4, ]3x∈ − max 5π π π( ) 2 2 sin 2 2 sin( ) 1 312 4 6f x = = + = + m (1 3, )+ +∞ πT = π π( ,2)( )2 8 k k+ ∈Z 1− (0) 3f = π 5 3( )6 2f −= 3 1 3 3 5 3 4 4 4 2 b a b = −+ + = 3 2 b a =  = − 2 2 2( ) sin 2sin cos 3cos 2cos sin 2 1 cos2 sin 2 2f x x x x x x x x x= − + = − + = − + π2 cos(2 ) 24x= + + 2π π2T = = π π π2 π ( )4 2x k k+ = + ∈Z π π ( )2 8 kx k= + ∈Z ( )f x π π( ,2)( )2 8 k k+ ∈Z 6( ) ( ) 22f fα β= = + π πcos(2 ) cos(2 )4 4 α β+ = + π π2 (2 ) 2 π4 4 kα β+ = + + π π2 (2 ) 2 ( )4 4 k kα β π+ = − + + ∈Z πkα β− = π π( )4 k kα β+ = − + ∈Z由 ,知 , ∴ . 22.【答案】(1) , ;(2) , ; (3) 或 , . 【解析】(1) 时, , ∵ ,∴当 时, , ∴当 时, . (2) , ∵ 为奇函数, ∴ , ∴ ,∴ , . (3)函数 的对称轴为 , ∵ 在区间 上是单调函数, ∴ 或 ,即 或 , π( )k kα β− ≠ ∈Z π π( )4 k kα β+ = − + ∈Z πtan( ) tan( ) 14 α β+ = − = − max 2 3[ ( )] 3f x = min 4[ ( )] 3f x = − πkθ = k ∈Z π ππ π2 3k kθ− + < ≤ − + π ππ π4 2k kθ+ ≤ < + k ∈Z π 6 θ = − 2 22 3 3 4( ) 1 ( )2 3 3f x x x x= − − = − − [ 1, 3]x∈ − 3 3x = min 4[ ( )] 3f x = − 1x = − max 2 3[ ( )] 3f x = 1( ) 2tang x x x θ= − + ( )g x 1 10 ( ) ( ) 2tan 2tan 4tang x g x x xx x θ θ θ= − + = − + + + − + = tan 0θ = πkθ = k ∈Z ( )f x tanx θ= − ( )f x [ 1, 3]− tan 1θ− ≤ − tan 3θ− ≥ tan 3θ ≤ − tan 1θ ≥或 , .π ππ π2 3k kθ− + < ≤ − + π ππ π4 2k kθ+ ≤ < + k ∈Z 查看更多

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