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最新人教版高中数学必修第一册单元测试题含
答案全套
第一章 集合与常用逻辑用语
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“ ，都有 ”的否定是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
3．已知集合 ， ，
若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
6．设 ， ，若 ，求实数 组
成的集合的子集个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
7．已知 ， ，若集合 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合 ，且若下列三个关系：① ；② ；③
，有且只有一个正确，则 （ ）
A．12 B．21 C．102 D．201
9．已知集合 ， ．若 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．集合 中的元素都是正整数，且若 ，则 ，则所有满足条件的集
{ }1,0,1,2,3U = − { }0,1,2A = { }1,0,1B = − ( )U A B =
{ }0,1 { }1−
{ }1,2,3− { }1,0,1,3−
0x∀ > 2 0x x− ≤
0x∃ > 2 0x x− ≤ 0x∃ > 2 0x x− >
0x∀ > 2 0x x− > 0x∀ ≤ 2 0x x− >
{ }2| 3 4 0A x x x= − − < [ ]{ }( ) ( 2) 0B x x m x m= − − + >
A B = R m
1 m− < 2m <
1 2m− < < 1 2m− ≤ ≤
0x > 2 0x x+ >
2{ | 1 0}A x x mx= + + = A = ∅R m
4m < 4m >
0 4m< < 0 4m≤ <
2{ | 8 15 0}A x x x= − + = { | 1 0}B x ax= − = A B B=
{ }2, ,1 ,0,ba a a ba
= −
2019 2019a b+
{ , , } {0,1,2}a b c = 2a ≠ 2b =
0c ≠ 100 10a b c+ + =
{ }2 5A x x= − ≤ ≤ { }1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ − B A⊆
m
3m ≥ 2 3m≤ ≤ 2m ≥ 3m ≤合 共有（ ）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9 个
11．已知集合 ，集合 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
12 ． 已 知 集 合 ， ，
，若 ， ，则有（ ）
A． B．
C． D． ， ，
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13 ． 设 ， ，
，则 __________， __________．
14．已知集合 ， ，且 ，
则实数 的取值范围是_________．
15．若命题“ 使 ”是假命题，则实数 的取值范围为
___________．
16．设 为全集，对集合 、 ，定义运算“*”， ．对于
集 合 ， ， ， ， 则
___________．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17 ．（ 10 分 ） 不 等 式 的 解 集 记 为 p ， 关 于 x 的 不 等 式
的解集记为 q，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取
值范围．
π ,4 4
πkM x x k
= = + ∈
Z π ,8 4
πkN x x k
= = − ∈
Z
M N = ∅
{ }2 ,A x x a a= = ∈Z { }2 1,B x x b b= = + ∈Z
{ }4 1,C x x c c= = + ∈Z
{ }5 2 2 5,U x x x x= − ≤ < − < ≤ ∈Z或 { }2 2 15 0A x x x= − − =
{ }3,3,4B = − U A = U B =
( )( ){ }2 5 0A x x x= + − > { }1B x m x m= ≤ < + ( )B A⊆ R
m
x∃ ∈R ( )2 1 1 0x a x+ − + < a
U X Y ( )UX Y X Y∗ =
{ }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }1,2,3X = { }3,4,5Y = { }2,4,7Z =
( )X Y Z∗ ∗ =
2 3 2 0x x + >−
( )2 1 0x a x a+ − − >18．（12 分）设全集为 ，集合 ， ．
（1）求： ， ， ；
（2）若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围．
19．（12 分）已知全集 ，集合 ， ，
．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
R 1 3{ | }A x x= − ≤ < { }2B x x= ≤
A B A B ( )A BR
{ | 2 0}C x x a= − > B C C= a
U = R { }3 2A x x= − < < { }1 6B x x= ≤ ≤
{ }1 2 1C x a x a= − ≤ ≤ +
( )UA B
( )C A B⊆ a20．（12 分）已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
21．（12 分）已知不等式 的解集为 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若集合 是集合 的子集，求实数 的取值范围．
{ }2 2A x a x a= − ≤ ≤ + { }2 5 4 0B x x x= − + ≥
3a = A B A BR（ ）
A B = ∅ a
( )2 1 0x a x a− + + ≤ A
2a = A
A { }4 1x x− ≤ ≤ a22 ． （ 12 分 ） 已 知 集 合 ， 集 合
．
（1）当 时，求 ；
（2）设 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值
范围．
{ }2 24 3 0A x x ax a= − + <
( )( ){ }3 2 0B x x x= − − ≥
1a = A B A B ，
0a > x A∈ x B∈ a答 案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】 ，所以 ，故选 B．
2．【答案】B
【解析】全称命题的否定为特称命题，
据 此 可 得 ： 命 题 “ ， 都 有 ” 的 否 定 是 ， 使 得
．
本题选择 B 选项．
3．【答案】C
【解析】集合 ，
集合 ，
若 ，则 ，解得 ，故选 C．
4．【答案】A
【解析】 ，所以“ ”是“ ”的充分不
必要条件，故选 A．
5．【答案】D
【解析】由题意可得，m 为被开方数，则 ，
关于实数 x 的方程 没有实数根，
则 ，解得 ，
综上可得：实数 的取值范围是 ，本题选择 D 选项．
6．【答案】D
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
因此 ，对应实数 的值为 ， ， ，
其组成的集合的子集个数有 ，故选 D．
7．【答案】B
【 解 析 】 由 于 分 式 有 意 义 ， 则 ， ，
， ， ，得 ，
因此 ，故选 B．
8．【答案】D
【解析】由 ，得 的取值情况如下：
当 时， ， 或 ， ，此时不满足条件；
{ }1,3U A = − ( ) { }1U A B = −
0x∀ > 2 0x x− ≤ 0x∃ >
2 0x x− >
{ }2| 3 4 0 { | 1 4}A x x x x x= − − < = − < <
( )[ ]{ } { }( 2) 0 2B x x m x m x x m x m= − − + > = < > +或
A B = R
1
2 4
m
m
> −
+ ⇒ > < −或 0x > 2 0x x+ >
0m ≥
2 1 0x mx+ + =
( )2
4 1 1 0Δ m= − × × < 4m <
m 0 4m≤ <
{ } { }2| 8 15 0 3,5A x x x= − + = =
A B B= B A⊂
{ } { }3 5B = ∅， ， 0 1
3
1
5
32 8=
b
a 0a ≠ { }2, ,1 ,0,ba a a ba
= −
0 0b ba
∴ = ⇒ = { } { }201 0a a a∴ =，， ， ，
2 1
1
a
a
=∴ ≠
1a = −
( )20192019 2019 20191 0 1a b+ = − + = −
{ , , } {0,1,2}a b c = , ,a b c
0a = 1b = 2c = 2b = 1c =当 时， ， 或 ， 此时不满足条件；
当 时， ， 此时不满足条件；
当 时， ， 此时满足条件；
综上得： ， ， 代入 ．
9．【答案】D
【解析】 ，
当 为空集时： 成立；
当 不为空集时： ，
综上所述： ，故答案选 D．
10．【答案】B
【解析】满足条件的集合 有：{1，5}，{2，4}，{3}，{1，5，2，4}，{1，5，3}，
{2，4，3}，{1，5，2，4，3}，共 7 个集合．故选 B．
11．【答案】B
【 解 析 】 由 题 意 可 知 ，
，
，
所以 ，故选 B．
12．【答案】B
【解析】由已知可得集合 A 属于偶数集，集合 B 为奇数集，
∵ ， ，∴m 为偶数，n 为奇数，∴ 为奇数．
故 ，故选 B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13．【答案】 ；
【解析】因为 ，
所以 ， ．
14．【答案】
【解析】由题意可得 ，
据此结合题意可得 ，即 ，
即实数 的取值范围是 ．
15．【答案】
【解析】由题意得若命题“ ”是假命题，
则命题“ ，”是真命题，
1a = 0b = 2c = 2b = 0c =
2a = 1b = 0c =
2a = 0b = 1c =
2a = 0b = 1c = 100 10 200 1 201a b c+ + = + =
{ }1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ −
B 2 1 1 2m m m− < + ⇒ <
B
2
2 1 5 2 3
1 2
m
m m
m
≥
− ≤ ⇒ ≤ ≤
+ ≥ −
3m ≤
( )2 4 π 2 π, ,8 4
π
8 4
πk nM x x k x x n
+ = = − ∈ = = − ∈
Z Z
( )2 1 π2 π ,8 4 8 4
π πkkN x x x k
− = = − = − ∈
Z或
{ }5, 4,3,4− − { }5, 4,5− −
{ } { }5, 4, 3,5 3,4,52 2 5,U x x x x= − ≤ < − < = − −≤ ∈ −Z或
{ }5, 4,3,4U A − −= { }5, 4,5U B = − −
2 4m− ≤ ≤
( )( ){ } { }2 5 0 | 2 5A x x x x x= + − ≤ = − ≤ ≤R
2
1 5
m
m
≥ −
+ ≤
2
4
m
m
≥ −
≤
m 2 4m− ≤ ≤
1 3a− ≤ ≤
2R, ( 1) 1 0x x a x∃ ∈ + − + <
2R, ( 1) 1 0x x a x∀ ∈ + − + ≥则需 ，故本题正确答案为 ．
16．【答案】 ．
【 解 析 】 由 于 ， ， ，
， 则 ， 由 题 中 定 义 可 得
，
则 ，
因此 ，故答案为 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17．【答案】 ．
【解析】由不等式 ，得 或 ，
不等式 等价为 ，
①当 ，即 时，不等式的解是 或 ，
∵p 是 q 的充分不必要条件，∴ ，即 ；
②若 ，即 时，不等式的解是 或 ，
∵p 是 q 的充分不必要条件，∴ ，即 ，
综上 ．
18．【答案】（1）见解析；（2） ．
【 解 析 】 （ 1 ） ∵ 全 集 ， 集 合 ，
，
∴ ， ，
．
（2）∵ ，由 ，
∴ ，∴ ，解得 ，故实数 的取值范围 ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ ， ，
∴ ．
（2） ，
①当 即 时， ；
② 当 ， 即 时 ， 要 使 ， 有 ， ∴
，
又 ，∴ ，∴ 的取值范围是 ．
( )20 1 4 0 1 3Δ a a≤ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤ 1 3a− ≤ ≤
{ }1,3,5,6,8
{ }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }1,2,3X = { }3,4,5Y =
{ }2,4,7Z = { }3X Y =
( ) { }1,2,4,5,6,7,8UX Y X Y∗ = =
( ) { }2,4,7U X Y Z =
( ) ( ) { }1,3,5,6,8U UX Y Z X Y Z∗ ∗ = = { }1,3,5,6,8
12 −≤− 2x > 1x <
( )2 1 0x a x a+ − − > ( )( )1 0x x a− + >
1≤− a 1−≥a 1>x ax −<
1≥− a 1−=a
1>− a 1− 1
ac bd> a c b d− > − a c b d+ > + a b
d c
>
2 0( 0)ax bx c a+ + < ≠ R
0a < 0Δ < 0a < 0Δ ≤
0a > 0Δ ≥ 0a > 0Δ >
a b c> >
ab ac> a c b c>
ab bc< ( ) 0a b c b− − >
( 5)(3 2 ) 6x x+ − ≥{ }2 3B x x= ≤ ≤A． B．
C． D．
5．若 ，则 的最大值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．下列选项中，使不等式 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C ．
D．
7．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．要制作一个容积为 ，高为 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价
是每平方米 元，侧面造价是每平方米 元，则该容器的最低总造价是（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
9．若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于 的不等式 ，对任意 恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
11．某金店用一杆不准确的天秤(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买 黄金，
售货员先将 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将
的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金
（ ）(杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂)
A．大于 B．小于
C．大 于等于 D．小于等于
12．设 ， ，且不等式 恒成立，则实数 的最小值
等于（ ）
A．0 B．4 C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13．不等式 的解集为 ．
14．已知 ，且 ，则 与 的大小关系是 ．
15．若正数 ， 满足 ，则 的最小值等于 ．
91 2x x x
≤ − ≥
或 9| 1 2x x − ≤ ≤
9 12x x x
≤ − ≥
或 9| 12x x − ≤ ≤
( )0,2x∈ ( )2x x−
3
2
1
2
21x xx
< < x
{ }1x x < − { }1 0x x− < < { }0 1x x< <
{ }1x x >
0, 0a b> > 4a b+ ≤ 4ab ≤
34 m 1m
20 10
80 120 160 240
0x > 2 3 1
x ax x
≤+ + a
1
5a ≥ 1
5a > 1
5a < 1
5a ≤
x 2 4x x m− ≥ (0,1]x∈
3m ≤ − 3m ≥ − 3 0m− ≤ < 4m ≥ −
10 g
5g 5g
10 g 10 g
10 g 10 g
0a > 0b > 1 1 0k
a b a b
+ + ≥+ k
4− 2−
2 7 6x x− + >
0a b> > 0c d> > a
d
b
c
x y x y xy+ = 4x y+16．若 ， ， ，则下列不等式：① ；② ；③
；④ ，对满足条件的 ， 恒成立的是 ．（填序号）
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17．（10 分）解不等式 ．
18 ．（ 12 分 ） 已 知 常 数 ， 和 变 量 ， 满 足 ，
， 的最小值为 ，求 ， 的值．
0a > 0b > 2a b+ = 1ab ≤ 2a b+ ≤
2 2 2a b+ ≥ 1 1 2a b
+ ≥ a b
22 2 8x x≤ − <
0a > 0b > 0x > 0y > 10a b+ =
1a b
x y
+ = x y+ 18 a b19．（12 分）设 ．
（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 （ ）．
20．（12 分）设 ， 均为正实数，求证： ．
2 (1 ) 2y ax a x a= + − + −
2y ≥ − x a
x 1y a< − a∈R
a b 2 2
1 1 2 2aba b
+ + ≥21．（12 分）运货卡车以 的速度匀速行驶 ，按交通法规限制
（单位： ）．假设汽油的价格是每升 元，而汽车每小时耗油
升，司机的工资是每小时 元．
（1）这次行车总费用 关于 的表达式；
（2）当 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
/x km h 130 km
50 100x≤ ≤ /km h 2
2
2 360
x +
14
y x
x22．（12 分）某建筑队在一块长 ，宽 的矩形地块
上施工，规划建设占地如图中矩形 的学生公寓，要求顶点 在地块的对角
线 上， ， 分别在边 ， 上，假设 的长度为 ，
（1）要使矩形学生公寓 的面积不小于 ， 的长度应该在什么范
围？
（2）长度 和宽度 分别为多少米时，矩形学生公寓 的面积最大？
最大值是多少 ？
30 mAM = 20 mAN = AMPN
ABCD C
MN B D AM AN AB mx
ABCD 2144 m AB
AB AD ABCD
2m答 案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
【解析】∵ ， ，∴ ．
2．【答案】A
【解析】结合与不等式对应的二次函数 图象可知，
不等式恒成立需满足 ， ．
3．【答案】D
【解析】选项 A，必须满足 ，故不恒成立；
选项 B， 时，结论不成立；
选项 C， 时，结论显然不成立；
选项 D，∵ ，∴ ，又∵ ，∴D 正确．
4．【答案】D
【解析】方法一：取 检验，满足排除 A；
取 检验，不满足排除 B，C．
方 法 二 ： 原 不 等 式 化 为 ， 即 ， ∴
．
5．【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
6．【答案】A
【解析】原不等式等价于 ①，或 ②，
①无解，解②得 ．
7．【答案】A
【解析】当 时， ，
则当 时，有 ，解得 ；
当 时，满足 ，但此时 ，
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件．
8．【答案】C
【解析】由题意知，体积 ，高 ，所以底面积 ，
设底面矩形的一条边长是 ，则另一条边长是 ，
又设总造价是 元，则 ，
a b> c d> a c b d+ > +
2y ax bx c= + +
0a < 0Δ <
0a >
0c =
0b =
a b c> > 0a b− > 0c b− >
1x =
4x =
22 7 9 0x x+ − ≤ ( 1)(2 9) 0x x− + ≤
9 12 x− ≤ ≤
( )0,2x∈ 2 0x− > 22(2 ) ( ) 12
x xx x
+ −− ≤ =
2x x= − 1x =
2 3
0
1
x
x x
>
<
1x < −
0, 0a b> > 2a b ab+ ≥
4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤
1, 4a b= = 4ab ≤ 5 4a b+ = >
4a b+ ≤ 4ab ≤
34 mV = 1mh = 24 mS =
mx 4 mx
y 8 820 4 10 (2 ) 80 20 2 160y x xx x
= × + × + ≥ + ⋅ =当且仅当 ，即 时，等号成立．
9．【答案】A
【解析】由 ，得 ，
当且仅当 时，等号成立，则 ．
10．【答案】A
【解析】令 ，则在 上，当 时， 最小值为
，所以 ．
11．【答案】A
【解析】设右左两臂长分别为 ， ，两次放入的黄金克数分别为是 ， ，
依题意有 ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，即两次所得黄金数大于 克．
12．【答案】C
【 解 析 】 由 ， 得 ， 而
（ 时，等号成立），所以 ，
因此要使 恒成立，应有 ，即实数 的最小值等于 ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13．【答案】
【解析】不等式可化为 ，解得 ，
∴不等式的解集为 ．
14．【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
15．【答案】9
【解析】因为 ，所以 ，
，
当且仅当 时，等号成立．
82x x
= 2x =
0x > 2
1 1 1
13 1 513 2 3
x
x x x xx x
= ≤ =+ + + + ⋅ +
1x = 1
5a ≥
2 24 ( 2) 4y x x x= − = − − (0,1] 1x = y
3− 3m ≤ −
a b x y
5ax b= 5by a= 25xy =
2
x y xy
+ ≥ 10x y+ ≥
a b≠ x y≠ 10x y+ > 10
1 1 0k
a b a b
+ + ≥+
2( )a bk ab
+≥ − ( )2
2 4a b b a
ab a b
+ = + + ≥
a b= ( )2
4a b
ab
+− ≤ −
( )2a bk ab
+≥ − 4k ≥ − k 4−
{ }1 6x x< <
( )( )1 6 0x x− − < 1 6x< <
{ }1 6x x< <
a b
d c
>
0c d> > 1 1 0d c
> >
0a b> > 0a b
d c
> > a b
d c
>
x y xy+ = 1 1 1x y
+ =
1 1 44 ( 4 )( ) 1 4 5 2 4 9x yx y x y x y y x
+ = + + = + + + ≥ + =
4x y
y x
=16．【答案】①③④
【解析】 ，所以①正确；
因为 ，故②不正确；
，所以③正确；
，所以④正确．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17．【答案】 ．
【解析】原不等式等价于 ，
由①得 或 ；由②得 ，
∴ 或 ，
∴不等式的解集为 ．
18．【答案】 ， 或 ， ．
【解析】∵
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 ．
又 ，∴ ，解得 ， 或 ， ．
19．【答案】（1） ；（2）见解析．
【 解 析 】（1 ） 由 题 意 ， 不 等 式 对 于 一 切 实 数 恒 成 立 ， 等 价 于
对于一切实数 恒成立．
当 时，不等式可化为 ，不满足题意；
当 时，满足 ，即 ，解得 ．
（2）不等式 等价于 ．
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，此时 ，
所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，
2( ) 12
a bab
+≤ =
2( ) 2 2 2 2 4a b a b ab ab a b+ = + + = + ≤ + + =
2
2 2 ( ) 22
a ba b
++ ≥ =
1 1 2 2a b
a b ab ab
++ = = ≥
{ }2 1 3 1 3 4x x x− < ≤ − + ≤ ( 1)( 1) 0ax x+ − < 1 1a
− <
1 1x xa
− < − < −
或
a b
2 2 2 2
1 1 1 1 22a b a b ab
+ ≥ ⋅ =
2 2
1 1
a b
= a b=
2 22 2 2ab abab ab
+ ≥ ⋅ = 2 abab
=
2 2
1 1 2 2 2ab aba b ab
+ + ≥ + ≥
2 2
1 1
2
a b
abab
=
=
4 2a b= =
18 10 /x km h=
26 10
130 (h)t x
=
2130 1302 (2 ) 14360
xy x x
= × × + + × 50 100x≤ ≤
y x
130 18 2 130
360y xx
× ×= + 50 100x≤ ≤ 2340 13
18y xx
= +
50 100x≤ ≤
130 18 2 130 26 10360y xx
× ×= + ≥
130 18 2 130
360 xx
× ×= 18 10x =
18 10 /x km h= 26 10
12 18x≤ ≤ 15 mAB = 10 mAD =
ABCD 2150 m
NDC△ NAM△ DC ND
AM NA
=
20
30 20
x AD−= 220 3AD x= −
ABCD 2220 (0 30)3S x x x= − < <
ABCD 144
2220 1443S x x= − ≥ 2 30 216 0x x− + ≤解得 ，故 的长度范围应在 内．
（2） ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
此时 ．
故 ， 时 ， 学 生 公 寓 的 面 积 最 大 ， 最 大 值 是
．
第三章 函数的概念与性质
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，对任意 ，不满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在 上的奇函数 的图象与 轴交点的横坐标分别为 ， ，
， ， ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知幂函数 在 上单调递减，
若 ， ， ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C ．
D．
5．关于函数 ，有下列结论
①函数是偶函数；
②函数在 上递减；
③函数在 上递增；
④函数在 上的最大值为 1，
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③ D．①③④
6．已知偶函数 的图象如图所示（网格中小正方形边长为 1），
则 的图象可能是（ ）
12 18x≤ ≤ AB 12 18x≤ ≤
2
22 2 2 3020 (30 ) 1503 3 3 2
x xS x x x x
− + = − = − ≤ =
30x x= − 15x =
220 103AD x= − =
15 mAB = 10 mAD = ABCD
2150 m
x 2 ( ) (2 )f x f x=
( )f x x= ( ) 2f x x= −
( )f x x x= − ( ) 1f x x= −
R ( )f x x 1x 2x
3x 2019x 1 2 3 2019x x x x m+ + + + =
23 ( 2) 1x m x m− + − ≤
1 ,13
−
[ ]0,3 ( ),0−∞ ∅
[0,4]
{ }( ) 1, 1,2,3,4,5f x x x= − ∈ 2( ) 4f x x= − +
2( ) 16f x x= − 1( ) 2( 0)f x x xx
= + − >
2( ) ( 5) ( )mf x m m x m= − − ∈Z (0, )+∞
62
2
m
a
− =
1
2
2
m
b
− =
1
2
m
c
− =
b a c< < c b a< < c a b< <
b c a< <
( ) 1f x x= −
( , 1)−∞ −
(0,1)
( 3,3)−
( )f x
( ) [ ( )]g x f f x=A． B．
C． D．
7 ． 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 增 函 数 ， 若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函
数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若函数 的图象与函数 的图象有
三个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10 ． 已 知 满 足 ， 若 对 任 意 的 ，
恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11 ． 定 义 ， 已 知 ，
， 若 ， 且 ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．设定义在 上的函数 满足 ，且对任意的 ，都有
，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13．已知定义在 上的函数 满足： 是奇函数， 是偶函数，
则 等于 ．
( )f x (0, )+∞
2 2(2 5 2) ( 2)f a a f a a− + < + + a
1( , ) (2, )2
−∞ +∞
1(0, ) (2, )2
+∞
1(0, ) (2,6)2 (0,6)
2( ) ( )mf x x m−= ∈N (0, )+∞
2 2( 1) (3 2 )
m m
a a
− −+ < − a
( 1,3)− 2 3( , )3 2
3( 1, )2
− 2 3( , 1) ( , )3 2
−∞ −
2 1
( ) 1
x
f x x
−
= −
2( ) 2 1( )g x ax ax a a= + + − ∈R
a
1 3( ,0) (0, )4 4
−
3 1( ,0) (0, )4 4
−
1 1( ,0) (0, )2 2
−
1 1 1 3( , ) ( , )2 4 2 4
− −
,x y ∈ R
3
3
( 2) 2019( 2) 1
( 2) 2019( 2) 1
x x
y y
− + − = − + − = −
0t >
kt x yt
+ ≥ + k
4− 1− 1 4
a c ad bcb d
= −
1
2 2
1( ) ( 12 20)f x x x= − + −
1
2 2
2 ( ) ( 10 )f x x x= − + 1
2
( )( ) ( )
m f xg x n f x
= (4) 2( 6 3)g = −
(6) 2( 6 2)g = − ( )g x
3 4 6 8
R ( )f x (0) 2f = ,x y∈R
( 1) ( ) ( ) 2 ( ) 2 3f xy f x f y f y x+ = ⋅ − − + ( )y f x=
[ 2 )− + ∞ [ 1 )− + ∞ ( ,1]−∞ ( ,2]−∞
R ( )f x 2( )f x x+ 3( )f x x+
(2)f14．已知 的值域为 ，则实数 的取值范围
是 ．
15 ． 记 表 示 中 的 最 小 者 ， 设 函 数
，则 等于 ．
16．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时 ，对任意的
，恒有 ，则实数 的最大值为 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17．（10 分）设函数 ， ．
（1）若函数 在区间 的最大值为 ，求函数 的解析式；
（2）在（1）的结论下，若关于 的不等式 在区间 上恒成
立，求实数 的取值范围．
18．（12 分）在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销
量，进而影响生产成本、品牌形象等．某公司根据多年的市场经验，总结得到了其
生产的产品 在一个销售季度的销量 （单位：万件）与售价 （单位：元）之
间满足函数关系 ， 的单件成本 单位：元 与销量
之间满足函数关系 ．
（1）当产品 的售价在什么范围内时，能使得其销量不低于 万件？
（2）当产品 的售价为多少时，总利润最大？ 注：总利润 销量 售价 单件
成本
2 12 , 4( ) 1 13, 4
x x m x
f x
x xx
+ − ≤=
+ − >
[ 1, )− +∞ m
{ }min , ,x y z , ,x y z
{ }2( ) min 6 6, 1, 7f x x x x x= − + + − + { }| ( ) 1a f a ≥
( )f x R 0x ≤ 2( )f x x=
[ 1, 1]x a a∈ − + ( 2 ) 3 ( )f x a f x+ ≥ a
2( )f x x ax a= + + a∈R
( )f x [0,2] 2a + ( )f x
x 5 ( ) 54 f x− ≤ ≤ [ 2, ]m−
m
A y x
14 , 6 162
22 , 16 21
x xy
x x
− ≤ ≤=
− < ≤
A (C )
y 30C y
=
A 5
A ( = (× −
))19．（12 分）已知函数 定义在 上的奇函数，且 ，对任意
时，有 成立．
（1）解不等式 ；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
20．（12 分）已知函数 ．
（1）若对于任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求函数 在区间 上的最大值 ．
( )f x [ 1,1]− (1) 1f =
, [ 1,1], 0a b a b∈ − + ≠ ( ) ( ) 0f a f b
a b
+ >+
1( ) (1 2 )2f x f x+ < −
2( ) 2 1f x m am≤ − + [ 1,1]a∈ − m
( ) | | ( )f x x x a x a= − + ∈R
[1,2]x∈ 2( ) 2f x x≥ a
2a ≥ ( )f x [0,2] ( )g a21．（12 分）设函数 定义在 上，当 时， ，且对任意
，有 ，当 时 ．
（1）证明： ；
（2）求 的值并判断 的单调性．
22．（12 分）已知函数 ．且 ，
记由所有 组成的数集为 ．
（1）已知 ， ，求 ；
（2）对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）若 ， ，判断数集 中是否存在最大的项？若存在，求出最大项；
若不存在，请说明理由．
( )y f x= R 0x > ( ) 1f x >
,m n ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ = ⋅ m n≠ ( ) ( )f m f n≠
1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2
f x f x x xf
+ +≥
(0)f ( )f x
2( ) ( )2
x af x ax
+= ∈+ R 1 ( )( 2, )n n nx f x x n+ = ≠ − ∈ *N
nx E
1 1x = 3 3x = 2x
1[ ,1]6x∈ 1( )f x x
< a
1 1x = 1a > E答 案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】选项 D 中， ，
选项 A、B、C 中函数，均满足 ．
2．【答案】A
【解析】由题意知 ，由 ，解得 ．
3．【答案】C
【解析】A 中 ，B 中 ，D 中 ，
只有 C 中函数符合题意．
4．【答案】B
【解析】由题意知 ，解得 ，
则 ．
5．【答案】B
【解析】函数满足 ，是偶函数；
作出函数图象，可知在 ， 上递减， ， 上递增，
当 时， ．
6．【答案】D
【 解 析 】 ， 所 以 是 偶 函 数 ，
，
则 ，排除 A，
又设 ，取 ，所以存在 ，使得 ，排除 B、C．
7．【答案】C
【解析】由题意知 ，解得 或 ．
8．【答案】B
【解析】∵幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，
所以 ，因为 ，所以 或 ，
∴当 时， ，图象关于 轴对称，不满足题意；
当 时， ，图象关于原点对称，满足题意，
∴不等式 即 ，
2 ( ) 2 2 (2 ) 2 1f x x f x x= − ≠ = −
2 ( ) (2 )f x f x=
0m = 23 2 1 0x x− − ≤ 1 13 x− ≤ ≤
{ }( ) 0,1,2,3,4f x ∈ ( ) ( ,4]f x ∈ −∞ ( ) [0, )f x ∈ +∞
2 5 1
0
m m
m
− − =
= > =
( ) ( )f x f x− =
( , 1)−∞ − (0,1) ( 1,0)− (1, )+∞
( 3,3)x ∈ − max( ) (0) 1f x f= =
( ) [ ( )] [ ( )] ( )g x f f x f f x g x− = − = = ( )g x
0 (1) 1f< <
[ (1)] 0f f >
0( ) 0f x = 0 1x > 0 1x > 0[ ( )] 1f f x >
2
2
2 2
2 5 2 0
2 0
2 5 2 2
a a
a a
a a a a
− + >
+ + >
− + < + +
10 2a< < 2 6a< <
2( ) mf x x −= (0, )+∞
2 0m − < m∈N 0m = 1m =
0m = 0 2 2− = − y
1m = 1 2 1− = −
2 2( 1) (3 2 )
m m
a a
− −+ < −
1 1
2 2( 1) (3 2 )a a
− −+ < −因为函数 在 上递减，所以 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ．
9．【答案】A
【解析】 ， ，
当 时显然不成立，
当 时，如图，两函数图象在第三象限一定有两个交点，当二次函数图象过
时， ，此时仅有两个交点，故 ；
当 时 ， 如 图 ， 设 有 等 根 ， 则
，解得 ，此时图象交点横坐标为 或
（不可取），故需 ，
综上， ．
10．【答案】D
【解析】由题意令 ，知其为奇函数且在 上递增，
所以当 时，得 ，即 ，
对函数 ，若 ，则 在 上递增，
存在 ，使得 ，不符合题意，
当 时， ， 时取等号，所以 ．
11．【答案】B
【解析】
，
，
由 ， ，得 ，
解得 ， ，
函数 在 上递减且非负， 在 上递增且
为正，
故 在 上递减，则 ．
12．【答案】A
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ①，
1
2y x
−= (0, )+∞
1 0
3 2 0
1 3 2
a
a
a a
+ >
− >
+ > −
2 3
3 2a< < a 2 3( , )3 2
2 1, 11
( ) 1, 1 11 1, 1
x xx
f x x xx x x
+ >− = = − − − <
(1,2)A 3
4a = 30 4a< <
0a < 21 ( 1) 1x a x+ = + −
2(2 1) 4 ( 2) 0Δ a a a= − − − = 1
4a = − 3x = −
1x = 1 04 a− < <
1 3( ,0) (0, )4 4a ∈ −
3( ) 2019f x x x= + R
( 2) ( 2) 0f x f y− + − = 2 2 0x y− + − = 4x y+ =
ky t t
= + 0k ≤ ky t t
= + (0, )+∞
0t > 4ky t t
= + <
0k > 2ky t kt
= + ≥ t k= 2 4 4k k≥ ⇒ ≥
1 1
1 2 22 2
2 1
2
( )( ) ( ) ( ) ( 10 ) ( 12 20)( )
m f xg x mf x nf x m x x n x xn f x
= = − = − + − − + −
[2,10]x∈
(4) 2( 6 3)g = − (6) 2( 6 2)g = − 2 6 2 3 2( 6 3)
2 6 4 2( 6 2)
m n
m n
− = −
− = −
1m n= = 2 10( ) 10 ( 2)
2
xg x x x x
x x
−= − − − =
+ −
10y x= − [2,10] 2y x x= + − [2,10]
( )g x [2,10] max[ ( )] (2) 4g x g= =
0x y= = 2(1) (0) 2 (0) 3 3f f f= − + =
1y = ( 1) 3 ( ) 2 (1) 2 3 3 ( ) 2 3f x f x f x f x x+ = − − + = − −令 ，则 ，即
②，
解方程组①②得 ，则选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13．【答案】
【解析】 是奇函数，则 ，
是偶函数，则 ，
解方程组得 ．
或特别的，可令 ，则 ．
14．【答案】
【解析】当 时， ，当 时取等号，
故当 时， ，
即 在 时恒成立，所以 ．
15．【答案】
【 解 析 】 函 数 的 部 分 图 象 如 图 ， 直 线 与 曲 线 交 于 点
，
故 时，实数 的取值范围是 或 ．
16．【答案】
【解析】由题意知 ，函数 在 上递减，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 在 上恒成立，
所以 ，即 ，解得 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意知， 对称轴 ．
1x = ( 1) 3 ( ) 2 ( ) 2 3 ( ) 1f y f y f y f y+ = − − + = + ( 1) ( ) 1f x f x+ = +
( ) 2f x x= +
12−
2( )f x x+ ( 2) 4 (2) 4f f− + = − −
3( )f x x+ ( 2) 8 (2) 8f f− − = +
(2) 12f = −
3 2( )f x x x= − − (2) 12f = −
1
4x > 1 3 1x x
+ − ≥ − 1x =
1
4x ≤ 2 2 1x x m+ − ≥ −
2( 1)x m+ ≥ 1
4x ≤ 0m ≤
[0,1] [5,6]
( )f x 1y =
(0,1), (1,1), (5,1), (6,1)A B C D
( ) 1f a ≥ a 0 1a≤ ≤ 5 6a≤ ≤
3
3
−
2
2
, 0( )
, 0
x xf x
x x
≤= − >
( )f x R
( 3 ) 3 ( )f x f x= ( 2 ) 3 ( )f x a f x+ ≥ ( 2 ) ( 3 )f x a f x+ ≥
2 3x a x+ ≤ 2 ( 3 1)a x≤ − [ 1, 1]x a a∈ − +
2 ( 3 1)( 1)a a≤ − − (3 3) ( 3 1)a− ≤ − − 3
3a ≤ −
2( ) 1f x x x= − − 1 ,32m ∈
( )f x
2
ax = −
( ,0]−∞①当 即 时， ，解得 ；
②当 即 时， ，无解，
故函数的解析式是 ．
（2）由（1）知 ， ，
由题知 ，
又函数 在 上递增，令 ，解得 ．
所以 ．
18．【答案】（1） ；（2）当产品 的售价为 元时，总利润最大．
【解析】（1）由 ，得 或 ，
解得 或 ，即 ．
∴当产品 的售价 时，其销量 不低于 万件．
（ 2 ） 由 题 意 ， 总 利 润
．
①当 时， ，当且仅当 时等号成立；
②当 时， 单调递减， ，
∴当产品 的售价为 元时，总利润最大．
19．【答案】（1） ；（2） 或 或 ．
【 解 析 】 （ 1 ） 任 取 ，
，
由已知得 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
原不等式等价于 ，所以 ，原不等式解集为 ．
（2）由（1）知 ，即 ，
即 ，对 恒成立．
设 ，若 ，显然成立；
若 ，则 ，即 或 ，故 或 或 ．
12
a− ≤ 2a ≥ − max( ) (2) 4 3 2f x f a a= = + = + 1a = −
12
a− > 2a < − max( ) (0) 2f x f a= = +
2( ) 1f x x x= − −
2 21 5 5( ) 1 ( )2 4 4f x x x x= − − = − − ≥ − ( 2) 5f − =
1
2m ≥
( )f x 1 1( , )( )2 2m m< ( ) 5f m = 3m =
1 ,32m ∈
[6,17]
5y ≥ 14 52
6 16
x
x
− ≥
≤ ≤
22 5
16 21
x
x
− ≥
< ≤
6 16x≤ ≤ 16 17x< ≤ 6 17x≤ ≤
A [6,17]x∈ y 5
(28 ) 30, 6 1630( ) 30 2
(22 ) 30, 16 21
x x xL y x xyy x x x
− − ≤ ≤= ⋅ − = − =
− − < ≤
6 16x≤ ≤ 21 ( 14) 68 682L x= − − + ≤ 14x =
16 21x< ≤ L (22 ) 30 16 6 30 66L x x= − − < × − =
A 14
1[0, )6 2m ≤ − 2m ≥ 0m =
1 2 [ 1,1]x x< ∈ −
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
f x f xf x f x f x f x x xx x
+ −− = + − = ⋅ −+ −
1 2
1 2
( ) ( ) 0( )
f x f x
x x
+ − >+ − 1 2( ) ( ) 0f x f x− <
( )f x [ ]1,1−
1 1 22
11 12
1 1 2 1
x x
x
x
+ < −
− ≤ + ≤
− ≤ − ≤
10 6x≤ < 1[0, )6
( ) (1) 1f x f≤ = 2 2 1 1m am− + ≥
2 2 0m am− ≥ [ ]1,1a∈ −
2( ) 2g a ma m= − + 0m =
0m ≠ ( )
( 1) 0
1 0
g
g
− ≥
≥ 2m ≤ − 2m ≥ 2m ≤ − 2m ≥ 0m =
A 1420．【答案】（1） 或 ；（2）见解析．
【解析】（1）对于任意 ，恒有 ，即 ，
即 ，
即 ，即 在 上恒成立，
得 ，解得 或 ．
（2） ．
当 时， ，
这时 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ；
当 时， ， 在 上单调递增，
此时 ．
综上所述， ．
21．【答案】（1）证明见解析；（2） ， 在 上是增函数．
【解析】（1） ， ，
，
所以 ，当 时取等号，
即 ．
（2）令 ，得 ，解得 或 ，
若 ，当 时，有 ，与已知矛盾， ．
设 ，则 ，由已知得 ，
，
所以 在 上是增函数．
22．【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析．
【解析】（1）已知 ， ， ，
解得 ，∴ ．
1a ≤ − 5a ≥
[1,2]x∈ 2( ) 2f x x≥ | | 1 2x a x− + ≥
| | 2 1x a x− ≥ −
2 2| | (2 1)x a x− ≥ − 2 23 (4 2 ) 1 0x a x a− − + − ≤ [1,2]
2
2
3 (4 2 ) 1 0
12 (4 2 ) 2 1 0
a a
a a
− − + − ≤ − − × + − ≤
1a ≤ − 5a ≥
2
2
2
2 2
2
1 ( 1)( ) ,, 2 4( )
, 1 ( 1)( ) ,2 4
a ax x ax ax x x af x
x ax x x a a ax x a
+ +− − + ≤− + + ≤ = = − + > − − − − >
2 3a≤ < 1 1 22 2
a a a
− +< < ≤
( )y f x= 1[0, ]2
a + 1[ ,2]2
a +
21 ( 1)( ) ( )2 4
a ag a f
+ += =
3a ≥ 1 22
a + ≥ ( )y f x= [0,2]
( ) (2) 2 2g a f a= = −
(0) 1f = ( )f x R
21 1
1( ) (2 ) ( )2 2
x xf x f f= × = 22 2
2( ) (2 ) ( )2 2
x xf x f f= × =
1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 2
x x x xf f f
+ =
21 2 1 2
1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ( ) ( )) 02 2 2
x x x xf x f x f f f
++ − = − ≥ 1 2x x=
1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2
f x f x x xf
+ +≥
0m n= = (0) (0) (0)f f f= (0) 0f = (0) 1f =
(0) 0f = 0m ≠ ( 0) 0 (0)f m f+ = = (0) 1f =
1 2x x< 2 1 0x x− > 2 1( ) 1f x x− >
2 2 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x f x x f x f x= − + = − ⋅ >
( )f x R
2 4x = ( ,1)−∞
1 1x = 2 1
2( ) 3
ax f x
+= = 3
4 2
2 3( ) 323 23
a aax f a
+ ++= = =+ +
10a = 2 4x =2( 1) , 2 3( ) 4
2 2, 3
a ag a
a a
+ ≤ ( )f x ( 2, )− +∞ ( 2, )x∈ − +∞ ( ) (2, )f x ∈ +∞
1 1x = 2
4(1) 2 3
ax f
−= = + 1n ≥ 1 ( ) 2n nx f x+ = > 1( ) (2)nf x f+ <
1 2
4 4( ) 2 24 3n
a af x x+
− −< + < + =
E 2
3
a +
1 4a< < ( )f x ( 2, )− +∞ ( 2, )x∈ − +∞ ( ) ( ,2)f x ∈ −∞
1 1x = 2
4(1) 2 3
ax f
−= = + 2 1
4 11 03 3
a ax x
− −− = + = > 2 1x x>
2 1 2 1 3 2( ) ( ) ,x x f x f x x x> ⇒ > ⇒ > 1n nx x+ >
1 1 2( ) ( )n nx f x f x x+ = > > =
E
4a ≥ E 2
3
a +
1 4a< < E
{( , ) }A x y y a= = {( , ) 1, 0, 1}xB x y y b b b= = + > ≠
A B a
( ,1)−∞ ( ,1]−∞ (1, )+∞ R
x∈R 3 2x x>
1a > x∈R x xa a−>
( 3) xy −=④ 的最小值为 ；
⑤在同一坐标中， 与 的图象关于 轴对称．
A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤
3．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数 的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度上限 约为 ，而可观测宇宙中普通物
质的原子总数 约为 ．则下列各数中与 最接近的是（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
8 ． 设 是 定 义 在 上 以 为 周 期 的 偶 函 数 ， 已 知 当 时 ，
，则函数 在 上（ ）
A．是增函数，且 B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是减函数，且
9．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设
， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B． C ．
D．
10．设 ，函数 ，则使 的 的取值
范围是（ ）
2 xy = 1
2xy = 2 xy −= y
ln( 3)( )
1 2x
xf x
+=
−
( 3,0)− ( 3,0]−
( , 3) (0, )−∞ − +∞ ( , 3) ( 3,0)−∞ − −
(0 1)
xxay ax
= < <
( ) 3log , 0
2 , 0x
x x
f x
x
>= ≤
1
9f f
=
4 1
4 4− 1
4
−
2 1( ) 2
x
xf x a
+= − ( ) 3f x > x
( , 1)−∞ − ( 1,0)− (0,1) (1, )+∞
M 3613
N 8010 M
N
lg3 0.48≈
3310 5310 7310 9310
( )f x R 2 (0,1)x∈
1
2
( ) log (1 )f x x= − ( )f x (1,2)
( ) 0f x < ( ) 0f x >
( ) 0f x < ( ) 0f x >
( )f x ( , )−∞ +∞ ( ,0]−∞
4(log 7)a f=
1
2
(log 3)b f= 0.6(0.2 )c f −= a b c
c a b< < c b a< < b c a< <
a b c< <
0 1a< < 2( ) log ( 2 2)x x
af x a a= − − ( ) 0f x < xA． B．
C． D．
11．已知函数 ，若 ，则此函数的单调递增区间
是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增．
若实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13． 的值域是 ．
14．已知 ， ，则用 ， 表示 为 ．
15 ． 若 函 数 在 上 是 增 函 数 ， 则 的 取 值 范 围
为 ．
16．若函数 （ 且 ）有两个零点，则实数 的取值范
围是 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17．（10 分）计算： ．
18．（12 分）设 ， 是 上的偶函数（其中 ）．
（1）求 的值；
（2）证明： 在 上是增函数．
( ,0)−∞ (0, )+∞
( ,log 3)a
−∞ (log 3, )a
+∞
2( ) log ( 2 3)af x x x= + − (2) 0f >
( , 3)−∞ − ( , 3) (1, )−∞ − +∞ ( , 1)−∞ − (1, )+∞
( )f x R (0, )+∞
a 2 1
2
(log ) (log ) 2 (1)f a f a f+ ≤ a
3
2 1 1
2 2
2 2 31
2
x x
y
− − =
lg9 a= 10 5b = a b 36log 45
2( ) log ( )af x ax x= − [2,4] a
( ) xf x a x a= − − 0a > 1a ≠ a
2lg 2 lg3
1 11 lg0.36 lg82 3
+
+ +
0a > ( )
x
x
e af x a e
= + R 2.71828e ≈
a
( )f x (0, )+∞19．（12 分）已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值与最小值
之和为 ，记 ．
（1）求 的值；
（2）证明： ；
（3）求 的值．
20．（12 分）已知函数 （ 为常数）是奇函数．
（1）求 的值与函数 的定义域；
（2）若当 时， 恒成立．求实数 的取值范
xy a= 0a > 1a ≠ [1,2]
20 ( ) 2
x
x
af x a
= +
a
( ) (1 ) 1f x f x+ − =
1 2 3 2016( ) ( ) ( ) ( )2017 2017 2017 2017f f f f+ + + +
2
1( ) log 1
axf x x
+= − a
a ( )f x
(1, )x∈ +∞ 2( ) log ( 1)f x x m+ − > m围．
21．（12 分）已知 ， ， 为正数， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）求证： ．
x y z 3 4 6x y z= = 2x py=
p
1 1 1
2z x y
− =22．（12 分）定义在 上的单调函数 满足 ，且对任意 ，
都有 ．
（1）求证： 为奇函数；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范
围．
R ( )f x 2(3) log 3f = x
y∈R ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
( )f x
( 3 ) (3 9 2) 0x x xf k f⋅ + − − < x∈R k答 案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【 解 析 】 ∵ ， 如 果 只 有 一 个 子 集 ， 则 ， ∴
．
2．【答案】B
【解析】①可取 ，则 ，故①错；
②可取 ，则 ，故②错；
③ 即 在 上是单调减函数，故③错；
④由于 ，则 ，即 时，取最小值 ，故④对；
⑤由图象对称的特点可得，在同一坐标系中， 与 的图象关于 轴对
称，故⑤对．
故答案为④⑤．
3．【答案】A
【解析】因为 ，所以要使函数 有意义，需使 ，
即 ．
4．【答案】D
【解析】 且 ， 根据指数函数的图象和性质，
时，函数为减函数， 时，函数为增函数，故选 D．
5．【答案】B
【解析】根据分段函数可得 ，
则 ，所以 B 正确．
6．【答案】C
【解析】∵ 为奇函数，∴ ，即 ，
而 ，∴ ，∴ ，即为 ，
当 时， ，∴ ，解得 ；
当 时， ，∴ ，无解．
∴ 的取值范围为 ．
7．【答案】D
【 解 析 】 由 题 意 ，
，
1 1xy b= + > A B A B = ∅
1a ≤
0x = 3 2 1x x= =
0x = 1x xa a−= =
( 3) xy −= 3( )3
xy = R
0x ≥ 02 2 1x ≥ = 0x = 1
2xy = 2 xy −= y
ln( 3)( )
1 2x
xf x
+=
− ( )f x
3 0
1 2 0x
x + >
− >
3 0x− < <
, 0
, 0
xx
x
a xxay x a x
>= = − > a ∴
),0( +∞∈x )0,(−∞∈x
3
1 1log 29 9f = = −
21 1( 2) 29 4f f f − = − = =
( )f x ( ) ( )f x f x− = − 2 1 2 1
2 2
x x
x xa a
−
−
+ += −− −
2 1 1 2
2 1 2
x x
x xa a
−
−
+ +=− − ⋅ 1a = ( ) 3f x > 2 1 32 1
x
x
+ >−
0x > 2 1 0x − > 2 1 3 2 3x x+ > ⋅ − 0 1x< <
0x < 2 1 0x − < 2 1 3 2 3x x+ < ⋅ −
x (0,1)
361
361 80
80
3lg lg lg3 lg10 361lg3 80lg1010
M
N
= = − = −
361 0.48 80 1 93.28× − × =≈又 ， ， ， ，
故与 最接近的是 ．
8．【答案】D
【解析】由于 时， ，所以 在区间 上单调递
增且 ，
又因为 是偶函数，所以 在区间 上单调递减且 ，
又因为 是周期为 的周期函数，所以 在区间 上单调递减且
，
故选 D．
9．【答案】B
【解析】 ， ，
， ．
又 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，
故 在 上单调递减，∴ ，
即 ．
10．【答案】C
【解析】 ，
因 为 ， 所 以 ， 即
或 ，
所以 或 （舍去），因此 ，故选 C．
11．【答案】D
【解析】∵ ，∴ ．
由 ，得函数 的定义域为 ．
设 ，则此函数在 上为增函数，在 上为减函数，
根据复合函数的单调性可知函数 的单调递增区间是 ，故选 D．
12．【答案】C
【 解 析 】 由 于 为 偶 函 数 ， 所 以 且
，
因 为 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 所 以
，
即 的最小值为 ．故选 C．
第Ⅱ卷
33lg10 33= 53lg10 53= 73lg10 73= 93lg10 93=
M
N
9310
(0,1)x∈ 1
2
( ) log (1 )f x x= − ( )f x (0,1)
( ) 0f x >
( )f x ( )f x ( 1,0)− ( ) 0f x >
( )f x 2 ( )f x (1,2)
( ) 0f x >
1 2 4
2
log 3 log 3 log 9= − = − 1 4 4
2
(log 3) ( log 9) (log 9)b f f f= = − =
4 41 log 7 log 9 2< < < 3 3
0.6 5 55 5
4
10.2 ( ) 5 125 32 2 log 95
−− = = = > = >
( )f x ( , )−∞ +∞ ( ,0]−∞
( )f x (0, )+∞ 0.6
1 4
2
(0.2 ) (log 3) (log 7)f f f− < <
c b a< <
2 2( ) 0 log ( 2 2) 0 log ( 2 2) log 1x x x x
a a af x a a a a< ⇔ − − < ⇔ − − <
0 1a< < 2 2 2 1x xa a− − >
2 2( ) 2 1 4 ( 1) 4 1 2x x x xa a a a− + > ⇔ − > ⇔ − > 1 2xa − < −
3xa > 1xa < − log 3ax <
(2) log 5 0 log 1a af = > = 1a >
2 2 3 0x x+ − > ( )f x ( , 3) (1, )−∞ − +∞
2 2 3u x x= + − (1, )+∞ ( , 3)−∞ −
( )f x (1, )+∞
( )f x ( ) ( )f x f x− =
2 1 2 2
2
(log ) (log ) (log ) ( log )f a f a f a f a+ = + −
2 22 (log ) 2 (1) (log ) (1)f a f f a f⇒ ≤ ⇒ ≤
( )f x (0, )+∞
2 2
1log 1 1 log 1 22a a a≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
a 1
2二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13．【答案】
【解析】函数由 ， 复合而成，其中 是减函数，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以原函数在 上单调递增，在 上单调递减，从而函数
在 处取得最大值，最大值为 ，则值域为 ．
14．【答案】
【解析】由已知得 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
15．【答案】
【解析】函数 是由 和 复合而成的，根据复合函
数的单调性的判断方法．
（ 1 ） 当 时 ， 若 使 在 上 是 增 函 数 ， 则
在 上是增函数且大于零．故有 ，解得
，∴ ；
（2）当 时，若使 在 上是增函数，
则 在 上是减函数且大于零， ，
不等式组无解，
综上所述，存在实数 使得函数 在 上是增函数．
16．【答案】
【 解 析 】 设 函 数 （ ， 且 ） 和 函 数 ， 则 函 数
（ ，且 ）有两个零点，就是函数 （ ，
且 ）与函数 有两个交点．
由图象可知，当 时，两函数只有一个交点，不符合；
当 时，因为函数 的图像过点 ，而直线 所过的点
一定在点 的上方，
所以一定有两个交点，所以实数 的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
(0,16]
1
2
t
y =
2 2 3t x x= − − 1
2
t
y =
2 2 3t x x= − − ( ,1)−∞ (1, )+∞
( ,1)−∞ (1, )+∞
2 2 31
2
x x
y
− − =
1x =
41 162
− = (0,16]
2 2
a b
a b
+
− +
lg5b = 36
lg 45 lg5 lg9log 45 lg36 lg 4 lg9 2lg 2
b a
a
+ += = =+ +
10lg 2 lg 1 lg5 15 b= = − = −
2lg 2 2(1 ) 2 2
b a a b a b
a b a a b
+ + += =+ − + − + 36log 45 2 2
a b
a b
+= − +
1a >
( )f x 2( )x ax xϕ = − log ( )ay xϕ=
1a > 2( ) log ( )af x ax x= − [2,4]
2( )x ax xϕ = − [2,4]
1 22
(2) 4 2 0
a
aϕ
≤
= − >
1
2a > 1a >
0 1a< < 2( ) log ( )af x ax x= − [2,4]
2( )x ax xϕ = − [2,4]
1 42
(4) 16 4 0
a
aϕ
≥
= − >
1a > 2( ) log ( )af x ax x= − [2,4]
1a >
xy a= 0a > 1a ≠ y x a= +
( ) xf x a x a= − − 0a > 1a ≠ xy a= 0a >
1a ≠ y x a= +
0 1a< <
1a > ( 1)xy a a= > (0,1) y x a= +
(0,1)
a 1a >步骤)
17．【答案】 ．
【解析】原式
．
18．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，对一切 有 ，即 ，
所以 对一切 成立，由此可得 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（ 2 ） 证 明 ： 设 ，
，
由于 ， ， ，得 ， ， ，
∴ ，即 在 上是增函数．
19．【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】（1）函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值之和为 ，
∴ ，得 或 （舍去）．
（2）由（1）知 ，
∴
．
（3）由（2）知 ，
，
，
，
∴
．
20．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）因为函数 是奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
1
2 3
2lg 2 lg3 2lg 2 lg3 2lg 2 lg3
1 1 1 lg0.6 lg 2 1 (lg6 lg10) lg 21 lg0.6 lg 22 3
+ + += = =+ + + − ++ +
2lg 2 lg3 2lg 2 lg3 2lg 2 lg3 1lg6 lg 2 lg 2 lg3 lg 2 2lg 2 lg3
+ + += = = =+ + + +
1a =
x∈R ( ) ( )f x f x= − 1x
x
x x
e a aea e ae
+ = +
1 1( )( ) 0x
xa ea e
− − = x∈R 1 0a a
− = 2 1a =
0a > 1a =
1 20 x x< <
2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 21 2
1 1 1( ) ( ) ( )(1 )
x x
x x x x x x
x x x x x x
e ef x f x e e e e e ee e e e+ +
−− = − + − = − + = − −
1 0x > 2 0x > 2 1 0x x− > 1 2 0x x+ > 21 xx ee < 121 >+xxe
1 2( ) ( ) 0f x f x− < ( )f x (0, )+∞
4a = 1008
xy a= 0a > 1a ≠ [1,2] 20
2 20a a+ = 4a = 5a = −
4( ) 4 2
x
xf x = +
1
1
4
4 4 4 4( ) (1 ) 44 2 4 2 4 2 24
x x x x
x x x
x
f x f x
−
−+ − = + = ++ + + +
4 4 4 2 14 2 2 4 4 4 2 4 2
x x
x x x x
= + = + =+ ⋅ + + +
1 2016( ) ( ) 12017 2017f f+ =
2 2015( ) ( ) 12017 2017f f+ =
1008 1009( ) ( ) 12017 2017f f+ =
1 2 3 2016 1 2016( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]2017 2017 2017 2017 2017 2017f f f f f f+ + + + = +
2 2015 1008 1009[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 1 1 10082017 2017 2017 2017f f f f+ + + + + = + + + =
1a = { }1 1x x x< − >或 ( ,1]−∞
2
1( ) log 1
axf x x
+= − ( ) ( )f x f x− = −
2 2
1 1log log1 1
ax ax
x x
− += −− − − 2 2
1 1log log1 1
ax x
x ax
− −=+ + 1a =令 ，解得 或 ，
所以函数的定义域为 ．
（2） ，
当 时， ，所以 ．
因为 ， 恒成立，所以 ，
所以 的取值范围是 ．
21．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）设 （显然 ，且 ），
则 ， ， ，
由 ，得 ，
∵ ，∴ ．
（2）证明： ，
又∵ ，∴ ．
22．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：由 ，
令 ，得 ．令 ，得 ，
又 ，则有 ，
即 对任意 成立，所以 是奇函数．
（2） ，即 ，
又 是 上的单调函数，所以 在 上是增函数．
又由（1）知 是奇函数．
，
分离参数得 ，即 对任意 恒成立，
令 ，当 时 的最小值为 ，
则要使对任意 不等式 恒成立，只要使得 ，
故 的取值范围是 ．
第五章 三角函数
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1 01
x
x
+ >− 1x < − 1x >
{ }1 1x x x< − >或
2 2( ) log ( 1) log (1 )f x x x+ − = +
1x > 1 2x + > 2 2log (1 ) log 2 1x+ > =
(1, )x∈ +∞ 2( ) log ( 1)f x x m+ − > 1m ≤
m ( ,1]−∞
32log 4p =
3 4 6x y z k= = = 0k > 1k ≠
3logx k= 4logy k= 6logz k=
2x py= 3
3 4
3
log2log log log 4
kk p k p= = ⋅
3log 0k ≠ 32log 4p =
6 3
1 1 1 1 log 6 log 3 log 2log log k k kz x k k
− = − = − =
1 1 log 4 log 22 2 k ky
= = 1 1 1
2z x y
− =
2 2 1k < −
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
0x y= = (0) 0f = y x= − (0) ( ) ( )f f x f x= + −
(0) 0f = ( ) ( ) 0f x f x+ − =
( ) ( )f x f x− = − x∈R ( )f x
2(3) log 3 0f = > (3) (0)f f>
( )f x R ( )f x R
( )f x
( 3 ) (3 9 2) 0 ( 3 ) (9 3 2) 3 9 3 2x x x x x x x x xf k f f k f k⋅ + − − < ⇔ ⋅ < − + ⇔ ⋅ < − +
23 13
x
xk < + − 23 13
x
xk < + − x∈R
23 13
x
xu = + − 3
1 log 22x = u 2 2 1−
x∈R 23 13
x
xk < + − 2 2 1k < −
k 2 2 1k < −1．下列说法正确的是（ ）
A．小于 的角是锐角
B．钝角是第二象限角
C．第二象限的角大于第一象限的角
D．若角 与角 的终边相同，则 ，
2．下列各角中，终边相同的角是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
3． （ ）
A． B． C． D．
4．点 所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5． （ ）
A． B． C． D．
6．已知 为锐角，角 的终边过点 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D． 或
7．若 ， 是第二象限的角，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8 ． 已 知 ， 若 对 任 意 的 ， 不 等 式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，用两种方案将一块顶角为 ，腰长为 的等腰三角形钢板
裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为 ， ，周长分别为 ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 的定义域都是
90°
α β πkα β= + k ∈Z
2 π3
240° π
5
− 314° 7 π9
− 29 π9
3 3°
cos780° =
3
2
3
2
− 1
2
1
2
−
(sin3 cos3,sin3 cos3)P − +
sin160 cos10 cos20sin170° + ° =
3
2
− 3
2
1
2
− 1
2
β α (3,4) 2sin( ) 2
α β+ = cos β =
3 2
10
2
10
7 2
10
2
10
7 2
10
3cos 5
α = − α
2 3tan 2
4 tan 2
α
α
+
−
3
4
− 2 4 4−
[0,π)θ ∈ [ 1,0]x∈ −
2 2 2cos ( 1) sin 0x x x xθ θ+ + + + > θ
π 5π( , )12 12
π π( , )6 4
π 3π( , )4 4
π 5π( , )6 6
120° 2 OAB
1S 2S 1l 2l
1 2S S= 1 2l l> 1 2S S= 1 2l l<
1 2S S> 1 2l l= 1 2S S< 1 2l l=
( ) cos(sin )f x x= ( ) sin(cos )g x x=
( )f x ( )g x [ 1,1]−B． 为奇函数， 为偶函数
C． 的值域为 ， 的值域为
D． 与 都不是周期函数
11．已知函数 ，若 在区间 内没有零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设 （ ， ， ），若 对一
切 恒成立，给出以下结论：
① ；
② ；
③ 的单调递增区间是 ；
④函数 既不是奇函数也不是偶函数；
⑤存在经过点 的直线与函数 的图象不想交．其中正确结论的个数为
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横
线上）
13．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形的面积为 ．
14．若 ， ， ， ，则
的值等于 ．
15．将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图
象，则 的值是 ．
16．在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直
角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三
角形中较小的锐角为 ．现向大正方形区城内随机投掷-枚飞镖，要使飞镖落在小
正形内的概率为 ，则 ．
( )f x ( )g x
( )f x [cos1,1] ( )g x [ sin1,sin1]−
( )f x ( )g x
π( ) 5 sin( )( 0)3f x xω ω= − > ( )f x (π,2π]
ω
1(0, )6
1 1 2(0, ) [ , )6 3 3
1 1 2(0, ) [ , ]6 3 3
2(0, )3
( ) sin 2 cos2f x a x b x= + a b∈R 0ab ≠ π( ) ( )3f x f≤
x∈R
π( ) 012f =
5π 11π( ) ( )12 12f f=
( )f x π 5π[ π , π ]( )3 6k k k+ + ∈Z
( )y f x=
( , )a b ( )f x
1 2 3 4
6 π
3
α π(0, )2
β ∈ 3cos( )2 2
βα − = 1sin( )2 2
α β− = − cos( )α β+
( ) sin(2 π)f x x= + π
4 ( )g x
π( )4g
α
1
4
cosα =三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
17．（10 分）已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上一点
的坐标是 ．
（1）求 ， ；
（2）求 ．
18．（12 分）已知 ， ．
（1）求 及 的值；
（2）求 的值．
19．（12 分）已知函数 ．
（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在 的图象；（请先列表，
α x P
( 1,2)−
sinα tanα
π2sin(π ) sin( )2
sin(2π ) cos(π )
α α
α α
− − −
− + +
π0 2
α< < 4sin 5
α =
tanα sin 2α
πcos2 sin( )2
α α+ +
π3sin(2 )3y x= −
π 7π[ , ]6 6再描点，图中每个小矩形的宽度为 ）
（2）请描述上述函数图象可以由函数 怎样变换而来？
20．（12 分）已知函数 （ ， ）的图象
过点 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）求 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
21．（12分）已知函数 ，且 ，
．
π
12
siny x=
( ) 2 2 sin( )f x xω ϕ= + π0 2
ω< < π
2
ϕ <
(0, 6)A 8( ,0)3C
ω ϕ
8 2( ) 5f θ = 10 2( , )3 3
θ ∈ − ( 1)f θ −
( ) 0f x m− < 1[ 4, ]3x∈ − m
2 2( ) sin sin cos cos ( )f x x a x x b x x= + + ∈R (0) 3f =
π 5 3( )6 2f
−=（1）求该函数的最小正周期及对称中心坐标；
（2）若方程 的根为 ， 且 ，求
的值．
22．（12 分）已知函数 ，其中 ， ．
（1）当 ， 时，求函数 的最大值与最小值；
（2）函数 为奇函数，求 的值；
（3）求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
6( ) 22f x = + α β π( )k kα β− ≠ ∈Z tan( )α β+
2( ) 2 tan 1f x x x θ= + − π π2 kθ ≠ + k ∈Z
π
6
θ = − [ 1, 3]x∈ − ( )f x
( )( ) f xg x x
= θ
θ ( )y f x= [ 1, 3]−答 案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1．【答案】B
【解析】A：负角不是锐角，比如“ ”的角，故错误；
B：钝角范围是“ ”，是第二象限角，故正确；
C：第二象限角取“ ”，第一象限角取“ ”，故错误；
D：当角 与角 的终边相同，则 ， ．
故选 B．
2．【答案】C
【解析】对于 A 选项， ，∵ ，不合乎要求；
对于 B 选项， ， ，不合乎要求；
对于 C 选项， ，合乎要求；
对于 D 选项， ， ，不合乎要求．
故选 C．
3．【答案】C
【解析】∵ ，∴ ．故选 C．
4．【答案】D
30− °
90 180α° < < °
91° 361°
α β 2 πkα β= + k ∈Z
4π240 3
° = 4π 2π 2π
3 3 3
− =
π 365
− = − ° 314 ( 36 ) 350°− − ° = °
29 7ππ ( ) 4π9 9
− − =
3 3 57.3 171.9≈ × ° = ° 171.9 3 168.9°− ° = °
1cos780 cos(720 60 ) cos60 2
° = °+ ° = ° = 1cos780 2
° =【解析】∵ ，作出单位圆如图所示，
设 ， 分别为 ， ． ， ，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ．
故点 在第四象限．故选 D．
5．【答案】D
【解析】
，故本题选 D．
6．【答案】B
【解析】 为锐角，角 的终边过点 ，
∴ ， ， ，∴ 为钝角，
∴ ，
则
，故选 B．
7．【答案】C
5 π 3 π6
< <
MP OM a b sin 0a= > cos3 0b= < sin3 cos3 0− >
MP OM< a b< sin3 cos3 0a b+ = + <
(sin3 cos3,sin3 cos3)P − +
sin160 cos10 cos20 sin170 sin 20 cos10 cos20 sin10° °+ ° ° = ° °+ ° °
1sin(20 10 ) sin30 2
= °+ ° = ° =
β α (3,4)
4sin 5
α = 3cos 5
α = 2sin( ) sin2
α β α+ = < α β+
2 2cos( ) 1 sin ( ) 2
α β α β+ = − − + = −
cos cos[( ) ]β α β α= + −
2 3 2 4 2cos( )cos sin( )sin 2 5 2 5 10
α β α α β α= + + + = − ⋅ + ⋅ =【解析】因为 ，
故 ．
因为 是第二象限的角，故 ， ，
所以 ， ，即 为第一象限角或第三象限角，
故 ，所以 ．故选 C．
8．【答案】A
【解析】 ，
恒成立， 在 恒成立，
只需满足 ，故选 A．
9．【答案】A
【解析】∵ 为顶角为 ，腰长为 的等腰三角形，∴ ， ，
方案一中扇形的周长 ，
方案二中扇形的周长 ，
2 2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 32 2 2cos cos sin2 2 5cos sin 1 tan2 2 2
α α α
α αα α α α
− −
= − = = = −
+ +
2tan 42
α =
α π2 π 2 π π2k kα+ < < + k ∈Z
π ππ π4 2 2k k
α+ < < + k ∈Z
2
α
tan 22
α =
2 3tan 82 424 tan 2
α
α
+
= =
−
2( ) (cos sin 1) (2sin 1) sin 0f x x xθ θ θ θ= + + + + + >
cos sin 1 0θ θ+ + > ( )f x [ 1,0]−
( 1) 0 cos 0
π 5(0) 0 sin 0 ( , π)6 122sin 1 1( ) 0 sin 22(1 cos sin ) 2
f
f
f
θ
θ θ
θ θθ θ
− > > > ⇒ > ⇒ ∈
+ − > >+ +
AOB△ 120° 2 π30 6A B= = ° = 1OD =
1
π π2 2 2 46 3l = + + × = +
2
2π 2π1 1 1 23 3l = + + × = +方案一中扇形的面积 ，
方案二中扇形的面积 ，
所以 ， ．故选 A．
10．【答案】C
【解析】A． 与 的定义域都是 ，故 A 错误；
B． ，
则 是偶函数，故 B 错误；
C．∵ ， ，∴ 的值域为 ，
的值域 ，故 C 正确；
D． 则 是周期函数，
故 D 错误，
故选 C．
11．【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ．
因为 在区间 内没有零点，所以 ， ，
解得 ， ．
1
1 π π2 22 6 3S = × × × =
2
2
1 2π π12 3 3S = × × =
1 2S S= 1 2l l>
( )f x ( )g x R
( ) cos( sin( )) cos( sin )f x x x− = − − = − cos(sin ) ( )x f x= =
( )f x
1 sin 1x− ≤ ≤ 1 cos 1x− ≤ ≤ ( )f x [cos1,1]
( )g x [ sin1,sin1]−
( 2π) cos(sin( 2π)) cos(sin ) ( )f x x x f x+ = + = = ( )f x
π 2πx< ≤ 0ω > π π π2 π3 3 3x xω ω ω− < − ≤ −
( )f x (π,2π]
ππ π3
2 π ( 1)π3
k
k
ω
πω
− ≥
− < +
k ∈Z
1 2
3 2 3
kk ω+ ≤ < + k ∈Z因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ．
当 时， ；当 时， ．故选 B．
12．【答案】C
【解析】由 对 恒成立可知： ，
即： ，整理可得 ，∴ ，
∴ ，
① ，可知①正确；
② ； ，
∴ ，可知②正确；
③当 时， ，
当 时， 为 的单调递增区间；
当 时， 为 的单调递减区间，可知③错误；
1 2
3 2 3
2 02 3
kk
k
+ < +
+ >
4 2
3 3k− < <
k ∈Z 1k = − 0k =
1k = − 10 6
ω< < 0k = 1 2
3 3
ω≤ <
π( ) ( )3f x f≤ x∈R 2 2π( )3f a b= ± +
2 23 1
2 2a b a b− = ± + 2( 3 ) 0a b+ = 3a b= −
π( ) 3 sin 2 cos2 2 cos(2 )3f x b x b x b x= − + = +
π π( ) 2 cos 012 2f b= =
5π 7π( ) 2 cos 312 6f b b= = 11π 13π( ) 2 cos 32 6f b b= =
5π 11π( ) ( )12 2f f=
π 5π[ π , π ]( )3 6x k k k∈ + + ∈Z π2 [2 π π,2 π 2π]( )3x k k k+ ∈ + + ∈Z
0b > π 5π[ π , π ]( )3 6k k k+ + ∈Z ( )f x
0b < π 5π[ π , π ]( )3 6k k k+ + ∈Z ( )f x④由函数解析式可知： 且 ，则 为非奇非偶函数，可知④正确；
⑤要使得经过 的直线与函数 无交点，则直线需要与 轴平行且 ．
又 ，∴ ，不成立，可知⑤错误．
综上所述：①②④正确，本题正确选项 C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】根据扇形的弧长公式可得 ，
根据扇形的面积公式可得 ，故答案为 ．
14．【答案】
【解析】∵ ， ，∴ ， ，
由 和 ，得 ， ，
当 ， 时， ，与 ， 矛盾；
当 ， 时， ，此时 ．
15．【答案】
( ) ( )f x f x− ≠ ( ) ( )f x f x− ≠ − ( )f x
( , )a b ( )f x x 2 2b a b> +
3a b= − 2b b>
6π
π 6 2π3l rα= = × =
1 1 2π 6 6π2 2S lr= = ⋅ ⋅ = 6π
1
2
−
α π(0, )2
β ∈ π π
4 2 2
βα− < − < π π
2 2 4
α β− < − <
3cos( )2 2
βα − = 1sin( )2 2
α β− = − π
2 6
βα − = ± π
2 6
α β− = −
π
2 6
βα − = − π
2 6
α β− = − 0α β+ = α π(0, )2
β ∈
π
2 6
βα − = π
2 6
α β− = − π
3
α β= = 1cos( ) 2
α β+ = −
0【 解 析 】 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 ， 得 到 函 数
的图象，则 ，故答案为 ．
16．【答案】
【解析】设正方形边长为 ，则直角三角形的两条直角边分别为 和 ，
则每个直角三角形的面积为 ，
由题意知，阴影部分正方形的面积为 ，
所以四个直角三角形的面积和为 ，即 ，
由于 是较小的锐角，则 ，∴ ，
所以 ，
因此 ，故答案为 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
( ) sin(2 π)f x x= + π
4
π( ) sin[2( ) π] cos24g x x x= − + = π π( ) cos(2 ) 04 4g = × = 0
7 1
4
+
1 sinα cosα
1 1sin cos sin 22 4
α α α=
1
4
1 14 sin 2 14 4
α× = − 3sin 2 4
α =
α π0 4
α< < π0 2 2
α< <
2 7cos2 1 sin 2 4
α α= − =
711 cos2 8 2 7 7 14cos 2 2 16 4
αα
++ + += = = = 7 1
4
+
2 5sin 5
α = tan 2α − 5−
( 1,2)P − 5r = 2 5sin 5
α = tan 2α −（2）∵ ， 为第四象限，∴ ，
．
18．【答案】（1） ， ；（2） ．
【 解 析 】（ 1 ） 因 为 ， ， 所 以 ， 所 以 ，
．
（2）原式 ．
19．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）由题意，因为 ，所以 ，列表如下：
描点、连线，得出所要求作的图象如下：
2 5sin 5
α = α 5cos 5
α = −
2 5 5π 22sin(π ) sin( ) 2sin cos 5 52 5sin(2π ) cos(π ) sin cos 2 5 5
5 5
α α α α
α α α α
× +− − − −= = = −− + + − − − +
4tan 3
α = 24sin 2 25
α = 8
25
π0 2
α< < 4sin 5
α = 3cos 4
α = sin 4tan cos 3
αα α= =
4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25
α α α= ⋅ = ⋅ ⋅ =
2 23 3 82cos 1 cos 2 ( ) 15 5 25
α α= − + = ⋅ − + =
π 7π[ , ]6 6x∈ π2 [0,2π]3x − ∈（2）把 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，
再把所得图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，可得 的图象；
再把所得图象的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，可得 的图象．
20．【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，
由 ，知 ，∴ ，
由 ，得 ，
即 ，即 ，
由 ，得 ，所以 ．
（2）由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，∴ ，
∴
．
siny x= π
3
πsin( )3y x= −
1
2
πsin(2 )3y x= −
3 π3sin(2 )3y x= −
π
4
ω = π
3
ϕ = 2
5 (1 3, )+ +∞
(0) 6f = 2 2 sin 6ϕ = 3sin 2
ϕ =
π
2
ϕ < π
3
ϕ = π π( ) 2 2 sin( )(0 )3 2f x xω ω= + < <
8( ) 03f = 8 π2 2 sin( ) 03 3
ω + =
8 π π( )3 3 k kω + = ∈Z 3 π π ( )8 8
k kω = − ∈Z
π0 2
ω< < π
4
ω = π π( ) 2 2 sin( )4 3f x x= +
8 2( ) 5f θ = π π 8 22 2 sin( )4 3 5
θ + = π π 4sin( )4 3 5
θ + =
10 2( , )3 3
θ ∈ − π π π π( , )4 3 2 2
θ + ∈ − 2π π 4 3cos( ) 1 ( )4 3 5 5
θ + = − =
π π π π π π π π π( 1) 2 2 sin[( ) ] 2 2[sin( )cos cos( )sin ]4 3 4 4 3 4 4 3 4f θ θ θ θ− = + − = + − +
4 2 3 2 22 2( )5 2 5 2 5
= × − × =（3）由 ，得 ，
∴当 时， ，
∴实数 的取值范围为 ．
21．【答案】（1） ，对称中心坐标为 ；（2） ．
【解析】（1）由 ， ，得 ，
解得 ，
∴
，∴ ，即函数的最小正周期为 ．
由 ，得 ，
∴函数 的对称中心坐标为 ．
（2）由题意得 ，即 ，
∴ 或 ，
则 或 ，
1[ 4, ]3x∈ − π π 2π 5π[ , ]4 3 3 12
θ + ∈ −
1[ 4, ]3x∈ − max
5π π π( ) 2 2 sin 2 2 sin( ) 1 312 4 6f x = = + = +
m (1 3, )+ +∞
πT = π π( ,2)( )2 8
k k+ ∈Z 1−
(0) 3f = π 5 3( )6 2f
−=
3
1 3 3 5 3
4 4 4 2
b
a b
= −+ + =
3
2
b
a
=
= −
2 2 2( ) sin 2sin cos 3cos 2cos sin 2 1 cos2 sin 2 2f x x x x x x x x x= − + = − + = − +
π2 cos(2 ) 24x= + + 2π π2T = = π
π π2 π ( )4 2x k k+ = + ∈Z π π ( )2 8
kx k= + ∈Z
( )f x π π( ,2)( )2 8
k k+ ∈Z
6( ) ( ) 22f fα β= = + π πcos(2 ) cos(2 )4 4
α β+ = +
π π2 (2 ) 2 π4 4 kα β+ = + + π π2 (2 ) 2 ( )4 4 k kα β π+ = − + + ∈Z
πkα β− = π π( )4 k kα β+ = − + ∈Z由 ，知 ，
∴ ．
22．【答案】（1） ， ；（2） ， ；
（3） 或 ， ．
【解析】（1） 时， ，
∵ ，∴当 时， ，
∴当 时， ．
（2） ，
∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，∴ ， ．
（3）函数 的对称轴为 ，
∵ 在区间 上是单调函数，
∴ 或 ，即 或 ，
π( )k kα β− ≠ ∈Z π π( )4 k kα β+ = − + ∈Z
πtan( ) tan( ) 14
α β+ = − = −
max
2 3[ ( )] 3f x = min
4[ ( )] 3f x = − πkθ = k ∈Z
π ππ π2 3k kθ− + < ≤ − + π ππ π4 2k kθ+ ≤ < + k ∈Z
π
6
θ = − 2 22 3 3 4( ) 1 ( )2 3 3f x x x x= − − = − −
[ 1, 3]x∈ − 3
3x = min
4[ ( )] 3f x = −
1x = − max
2 3[ ( )] 3f x =
1( ) 2tang x x x
θ= − +
( )g x
1 10 ( ) ( ) 2tan 2tan 4tang x g x x xx x
θ θ θ= − + = − + + + − + =
tan 0θ = πkθ = k ∈Z
( )f x tanx θ= −
( )f x [ 1, 3]−
tan 1θ− ≤ − tan 3θ− ≥ tan 3θ ≤ − tan 1θ ≥或 ， ．π ππ π2 3k kθ− + < ≤ − + π ππ π4 2k kθ+ ≤ < + k ∈Z
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