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2017年黄山市高一数学下期末检测题（附答案和解析）
资料简介
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黄山市2016—2017学年度第二学期期末质量检测
高一数学试题
一、选择题（本大题共12小题．在每小题所给的四个选项中有且只有一项是符合题意的．请将答案填写在后面的答题框内．）
1. 在“世界读书日”前夕，为了了解某大学5000名学生某天的阅读时间，从中抽取了200名学生的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名学生的阅读时间的全体是
A. 个体
B. 总体
C. 样本的容量
D. 从总体中抽取的一个样本
【答案】B
【解析】由统计相关概念的定义可知：5000名学生的阅读时间的全体是总体.
本题选择B选项.
2. 下列各式中S的值不可以用算法求解的是
A. S＝1＋2＋3＋4
B. S＝1＋2＋3＋4＋…
C.
D. S＝12＋22＋32＋…＋1002
【答案】B
【解析】算法重要的特征之一是有穷性，选项B中计算的是无穷级数，无法用算法实现.
本题选择B选项.
3. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为
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，但现在丢失了一个数据，该数据应为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
回归方程过样本中心点，则： ，
设缺失的数据为 ，则： ，
解得： .
本题选择C选项.
4. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
A. 众数
B. 平均数
C. 中位数
D. 标准差
【答案】D
【解析】试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差=[（82-86）2+2×（84-86）2+3×（86-86）2+4×（88-86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差=[（84-88）2+2×（86-88）2+3×（88-88）2+4×（90-88）2]=4，标准差S=2，D正确
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数
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5. 已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是
A. －7＜a＜24
B. －24＜a＜7
C. a＜－1或a＞24
D. a＜－24或a＞7
【答案】A
【解析】∵点（3，1）与B（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，
∴两点对应式子3x-2y+a的符号相反，
∴(9-2+a)(-12-12+a)＜0，
∴(a+7)(a-24)＜0，
∴-7＜a＜24.
本题选择A选项.
6. 已知，则x（1－3x）取最大值时x的值是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】二次函数开口向下，对称轴为 ，
函数在对称轴处取得最大值，即取得最大值时 .
本题选择B选项.
点睛：二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，不要忽略了函数的定义域．
7. 已知实数a1，a2，b1，b2，b3满足数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为
A.
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B.
C.
D. 1
【答案】B
【解析】∵数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2=1+9=10.
∵数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴b22=1×9，
再由题意可得b2=1×q2>0(q为等比数列的公比)，
∴b2=3，则，
本题选择B选项.
8. 已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为
A. 12
B. 3
C. 11
D. －1
【答案】C
【解析】画出可行域如图阴影部分，
由 得C(3,2)
由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11
本题选择C选项.
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9. 某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里则能找到．已知该物品能找到的概率为，则河宽为
A. 100m
B. 80m
C. 50m
D. 40m
【答案】A
【解析】
由已知易得：
l从甲地到乙=500
l途中涉水=x，
故物品遗落在河里的概率 ，
∴x=100(m).
故选B.
点睛： 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
10. 在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为
A.
B.
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】 ，解得c=2.
∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12，
解得 ，
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∴ ，
解得R=2.
本题选择C选项.
11. 一枚质地均匀的硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】一枚硬币连掷3次，基本事件有23=8个，而“有且仅有2次出现正面向上”包含（正，反，正），（反，正，正），（正，正，反）3个，
故其概率为 .
本题选择D选项.
12. 在数列{an}中，，，anan＋2＝1，则a2016＋a2017＝
A.
B.
C. 5
D.
【答案】D
【解析】由题意可得：a3=2,a5= ,…,可得：a4n−3= ,a4n−1=2.
同理可得：a4n−2= ,a4n=3.
∴a2016+a2017=3+ = .
本题选择D选项.
点睛：
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数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
二、填空题（本大题共4小题．请将答案直接填在题中相应的横线上．）
13. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别在甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．
【答案】
【解析】甲组同学的成绩分别为：88，92，92
乙组同学的成绩分别为：90，91，92
记“分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学的成绩”为(x,y),则共有 种情况
其中这两名同学成绩相同的情况共有1种
故这两名同学成绩相同的概率为 .
..................
【答案】7
【解析】试题分析：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为．由 451≤30n-21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10.
考点：等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法.
15. 在如图所示的程序框图中，若，，则输出的S＝________，
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【答案】
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数的值。
∵，
∴U>V，
∴S= .
16. 数列{an}满足，且，则a2017＝________．
【答案】
【解析】试题分析：由数列的递推公式，利用可求得，因此数列具有周期性，周期为5
考点：1．数列递推公式求值；2．数列周期性
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：
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天数
1
1
1
2
2
1
2
用水量／吨
22
38
40
41
44
50
95
（Ⅰ）在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
（Ⅱ）你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？
【答案】（Ⅰ）（吨）,中位数为（吨）;（Ⅱ）用中位数描述每天的用水量更合适．
【解析】试题分析：
(1)由题中所给的数据可得：（吨）,中位数为（吨）；
(2)结合平均数和中位数的性质可知，用中位数描述每天的用水量更合适.
试题解析：
（Ⅰ）（吨）．
中位数为（吨）．
（Ⅱ）平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．
点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
18. 已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn．
【答案】Sn＝－8n＋n（n－1）＝n2－9n或Sn＝8n－n（n－1）＝－n2＋9n．
【解析】略
19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如下图示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
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（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【答案】（Ⅰ）0.0075;（Ⅱ）,224;（Ⅲ）5（户）．
【解析】试题分析：
(1)利用频率分布直方图小长方形的面积之和为1可得x＝0.0075；
(2)结合所给的数据可得：月平均用电量的众数和中位数为,224;
(3)结合频率分布直方图和分层抽样的概念可得月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取5户.
试题解析：
（Ⅰ）由直方图的性质，可得
（0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025）×20＝1
得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．
（Ⅱ）月平均用电量的众数是．
因为（0.002＋0.0095＋0.011）×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002＋0.0095＋0.011）×20＋0.0125×（a－220）＝0.5，
解得：a＝224，
所以月平均用电量的中位数是224．
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100＝25（户），月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15（户），月平均用电量为[260，280）的用户有：
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0.005×20×100＝10（户），
抽取比例，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取（户）．
点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；
二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
20. 设△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b（sinB－sinC）＋（c－a）（sinA＋sinC）＝0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】试题分析：
(1)利用正弦定理角化边结合余弦定理可得；
(2)利用题意求得，，则三角形的面积为.
试题解析：
（Ⅰ）因为b（sinB－sinC）＋（c－a）（sinA＋sinC）＝0，
由正弦定理得b（b－c）＋（c－a）（a＋c）＝0，∴b2＋c2－a2＝bc，
∴由余弦定理得：
∴在△ABC中，．
（Ⅱ）方法一：因为，且，∴
∴，∴tanB＝1，在△ABC中，
又在△ABC中，由正弦定理得，∴．
∴△ABC的面积
．
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方法二：因为，由正弦定理得，而，，
由余弦定理得b2＋c2－bc＝a2，∴
∴b2＝2，即，
∴△ABC的面积．
21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*．
（Ⅰ）求an，bn；
（Ⅱ）求数列{an·bn}的前n项和Tn．
【答案】（Ⅰ）an＝4n－1，n∈N*,bn＝2n－1，n∈N*;（Ⅱ）Tn＝（4n－5）2n＋5，n∈N*．
【解析】试题分析：第一问利用数列的项与和的关系，，先求出当时的关系式，再去验证时是否成立，从而确定出最后的结果，将代入题中所给的式子，化简求得，所以数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求得其和．
试题解析：（1）由Sn=2n2+n，可得
当时，
当时，符合上式，所以
由an=4log2bn＋3可得=4log2bn＋3，解得．
（2）
∴①
②
①-②可得
∴．
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考点：求数列的通项公式，错位相减法求和．
【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列的通项公式时，需要应用数列的项与和的关系，在求解的过程中，需要对时对的式子是否成立，求数列的通项公式时需要对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强．
22. 已知关于x的二次函数f（x）＝ax2－4bx＋1．
（Ⅰ）设集合A＝{－1，1，2，3，4，5}和B＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】试题分析：
(1)列出所有可能的事件，结合题意可得满足题意的概率为 ；
(2)利用题意结合题中所给的可行域可得函数f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率是．
试题解析：
（Ⅰ）要使函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，需a＞0，且，即a＞0且2b≤a．所有（a，b）的取法总数为6×6＝36个，满足条件的（a，b）有：
（1，－2），（1，－1），（2，－2），（2，－1），（2，1），（3，－2），（3，－1），（3，1）（4，－2），（4，－1），（4，1），（4，2），（5，－2），（5，－1），（5，1），（5，2）共16个，
所以所求概率．
（Ⅱ）如图
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求得区域的面积为，
由求得P（，），所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为，
所以所求概率．
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