资料简介
通州区 2019—2020 学年第二学期高一年级期末考试
数学试卷
2020 年 7 月
第一部分（选择题共 40 分）
—、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的
四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数 2＋i 的共轭复数是
2．在下列各组向量中，互相垂直的是
3．在△ABC 中， ，则 cosA＝
4．甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人
从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是
5．将一个容量为 1000 的样本分成若干组，已知某组的频率为 0．4，则该
组的频数是
A．4
B． 40
C． 250
D．400
6．若样本数据 标准差为 8，则数据 的标
准差为
A．8
B． 16
C． 32
D． 64
.2 B. 2 C. 2 D. 2A i i i i+ − + − − −
1 2 1 2
1 2 1 2
A. ( 1,2), (2,1) B. (0,1), (1, 2)
1 3 C. (3,5), (6,10) D. (2, 3), ( , )2 4
e e e e
e e e e
= − = = = −
= = = − = −
260 ,B b ac°= =
1 2 3.0 B. C. D. 2 2 2A
1 1 1 2. B. C. D. 6 3 2 3A
1 2 10, , ,x x x 1 2 102 1,2 1, ,2 1x x x− − −7．用 6 根火柴最多可以组成
A．2 个等边三角形
B．3 等边三角形
C．4 个等边三角形
D．5 个等边三角形
8．已知直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 α，则“直线 m⊥α”是“m⊥a，且 m⊥
b”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9，关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；
③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一
个平面．
其中正确命题的个数是
А．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在正方体 中，点 E，F 分别是棱 上的
动点．给出下面四个命题
①若直线 AF 与直线 CE 共面，则直线 AF 与直线 CE 相交；
②若直线 AF 与直线 CE 相交，则交点一定在直线 DD1 上；
③若直线 AF 与直线 CE 相交，则直线 DD1 与平面 ACE 所成角
的正切值最大为 ；
④直线 AF 与直线 CE 所成角的最大值是 ．
其中，所有正确命题的序号是
A．①④
B．②④
1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1,C D A D
2
2
3
πC．①②④
D．②③④
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．若空间中两直线 a 与 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是________
12．棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是________
13．已知 23 名男生的平均身高是 170．6 cm， 27 名女生的平均身高是
160．6cm，则这 50 名学生的平均身高为________
14．样本容量为 10 的一组样本数据依次为：3，9，0，4， 1， 6， 6，
8，2， 7，该组数据的第 50 百分位数是________ ，第 75 百分位数是________
15．为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，
把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差
为 4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为________
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤
或证明过程．
16． （本小题 14 分）
已知 ．
(Ⅰ)若 a 与 b 同向，求 b；
（Ⅱ）若 a 与 b 的夹角为 ，求 a＋b．
17．（本小题 14 分）
在锐角△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a＝13，c
＝15．
（I） 能否成立？请说明理由；
(2,0),| | 1= =a b
120°
1sin 2C =(Ⅱ)若 ，求 b．
18． （本小题 15 分）
某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取 20 人，
将他们的得分按照[0，20]， (20，40]， (40，60]， (60，80]， (80， 100]分
组，绘成频率分布直方图(如图)．
（Ⅰ）求 x 的值；
（Ⅱ）分别求出抽取的 20 人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数
（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．
19． （本小题 14 分）
某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活
动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从
高一、高二两个年级的学生中分别抽取 7 名和 5 名学生进行测试，下表是高二
年级的 5 名学生的测试数据（单位：个/分钟）
（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？
（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过
175 且踢毽个数超过 75 的概率；
（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？
20．（本小题 14 分）
2A
π=如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面
ADE⊥平面 ABCD， ．
(Ⅰ)求证：CD∥平面 ABFE；
(Ⅱ)求证：平面 ABFE⊥平面 CDEF；
（Ⅲ）在线段 CD 上是否存在点 N，使得 FN⊥平面 ABFE？说明理由。
21． （本小题 14 分）
在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 上的动点，将△
AED，△DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 A1．
(Ⅰ)若点 E，F 分别是 AB， BC 的中点(如图)，
①求证： ；
②求三棱锥 的体积；
（Ⅱ）设 ，当 x，y 满足什么关系时，A，C 两点才能重合于
点 A1？
1, 2EF AE DE= = =
1A D EF⊥
1A EDF−
,BE x BF y= =
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