资料简介
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1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导
公式．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan__α．
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
Cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
高频考点一 同角三角函数关系式的应用
例1、(1)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于( )
A．－ B.
C．－ D.
(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为( )
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A．－ B.
C．－ D.
答案 (1)D (2)B
【感悟提升】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【变式探究】已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα等于( )
A．－1 B．－
C. D．1
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答案 A
解析 由
消去sinα得：2cos2α＋2cosα＋1＝0，
即(cosα＋1)2＝0，
∴cosα＝－.
又α∈(0，π)，
∴α＝，
∴tanα＝tan＝－1.
高频考点二 诱导公式的应用
例2、(1)已知sin＝，则cos的值为________．
(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
答案 (1)－ (2)C
【感悟提升】(1)诱导公式用法的一般思路
①化大角为小角．
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
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②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
【变式探究】 (1)已知sin＝，
则cos＝________.
(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝________.
答案 (1) (2)1
高频考点三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是( )
A. B.
C. D.
(2)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α
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)＝________________________________________________________________________.
答案 (1)C (2)－
解析 (1)2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为
－2tanα＋3sinβ＋5＝0，①
tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为
tanα－6sinβ－1＝0.②
由①②消去sinβ，解得tanα＝3.
又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1，
解得sinα＝.
(2)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，
又α是第三象限角，∴sinα＝－，
∴cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝＝，
∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.
【感悟提升】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
【变式探究】(1)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知sin(π－α)－cos(π＋a)＝，则sinα－cosα等于( )
A．0 B.
C. D.
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答案 (1)D (2)D
将①两边平方得1＋2sinαcosα＝，
故2sinαcosα＝－，
所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝.
又＜α＜π，
所以sinα＞0，cosα＜0，sinα－cosα>0，
则sinα－cosα＝.
高频考点四、分类讨论思想在三角函数中的应用
例4、(1)已知sinα＝，则tan(α＋π)＋＝________.
(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，则C＝________.
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又A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
当cosA＝－时，cosB＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
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综上，C＝π.
答案 (1)或－ (2)π
【特别提醒】(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．
【方法技巧】同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．
1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．
【2016高考新课标Ⅲ文数】在中，，边上的高等于，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【2016高考新课标Ⅲ文数】若 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
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【解析】．
【2016高考四川文科】= .
【答案】
【解析】由三角函数诱导公式.
【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)= .
【答案】
【2015高考福建，文6】若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，且为第四象限角，则，则
，故选D．
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【2015高考安徽，文16】已知函数
（Ⅰ）求最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为，最小值为0
【解析】
（Ⅰ）因为
所以函数的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，
当 时，
由正弦函数在上的图象知，
当，即时，取最大值；
当，即时，取最小值.
综上，在上的最大值为，最小值为.
【2015高考四川，文19】已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)两个实根.
(Ⅰ)求C的大小
(Ⅱ)若AB＝1，AC＝，求p的值
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所以C＝60°
(Ⅱ)由正弦定理，得
sinB＝
解得B＝45°或B＝135°(舍去)
于是A＝180°－B－C＝75°
则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝
所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－
(2014·福建卷) 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
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＝sin＋1.
(1)f＝sin＋1
＝sin＋1
＝2.
(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
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(2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
【答案】C 【解析】
因为sin 2α＝＝>0，所以选C.
(2014·山东卷) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
所以sin C＝sin
＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×
＝.
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因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×＝.
(2013·全国卷) 已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】A
【解析】cos α＝－＝－.
(2013·四川卷) 设sin 2α＝－sin α，α∈，π，则tan 2α的值是________．
【答案】
1．若cosα＝，α∈，则tanα等于( )
A．－ B.
C．－2 D．2
答案 C
解析 ∵α∈
∴sinα＝－＝－＝－，
∴tanα＝＝－2.
2．已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sinα·cosα等于( )
A. B．－
C.或－ D．－
答案 B
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3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
答案 B
解析 由角α的终边落在第三象限得sinα＜0，cosα＜0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
4．已知2tanα·sinα＝3，－
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2017届高考数学第一轮复习三角函数押题专练（有答案）