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空间两条直线的位置关系检测题（含解析苏教版必修2）
资料简介
1.2.2 空间两条直线的位置关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法正确的有__________．(填序号)
①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；
②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；
③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；
④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．
【解析】 ①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.
【答案】 ③
2．如图1－2－23，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________.
图1－2－23
【解析】 连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连结EF.由题意知，＝＝，
∴EF＝×6＝9，∴BD＝2EF＝18.
【答案】 18
3．如图1－2－24，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有________．
6
① ② ③ ④
图1－2－24
【解析】 ①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．
【答案】 ②④
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________.
【解析】 易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
【答案】 矩形
5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．
【解析】 l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．
【答案】 无数
6．如图1－2－25，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．
图1－2－25
【解析】 因四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
【答案】 ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
7．如图1－2－26，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．
6
图1－2－26
①CC1与B1E是异面直线；
②C1C与AE共面；
③AE，B1C1是异面直线；
④AE与B1C1所成的角为60°.
【解析】 CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④错．
【答案】 ③
8．如图1－2－27，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．
图1－2－27
【解析】 连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．
【答案】 4
二、解答题
9．如图1－2－28，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
图1－2－28
【证明】 如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．
6
10．如图1－2－29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
图1－2－29
【解】 因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.
[能力提升]
1．一个正方体纸盒展开后如图1－2－30，在原正方体纸盒中有下列结论：
图1－2－30
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
【解析】 把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
【答案】 ①③
2．如图1－2－31，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是__________．
图1－2－31
【解析】 如图，连结BC1，A1B.
6
∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．
又∵∠A1BC1为60°，
∴直线EF与D1C所成的角为60°.
【答案】 60°
3．如图1－2－32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________．
图1－2－32
【解析】 如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
【答案】
4．如图1－2－33所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC
6
′交于同一点O，且＝＝＝.
图1－2－33
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值.
【解】 (1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且＝＝，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，
∴＝2＝.
6
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