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对数及其运算(2)
资料简介
4．1 对数及其运算(2)
导入新课
思路1.上节课我们学习了以下内容：
1．对数的定义．
2．指数式与对数式的互化．
ab＝NlogaN＝b.
3．重要公式：
(1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N.
下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕
思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则．
am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；＝.
从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．
推进新课
(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？
(2)如我们知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？
(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.
(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？
(6)上述结论能否推广呢？
(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？
讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．
(2)如am·an＝am＋n，设M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到
M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN，
MN＝am＋nm＋n＝logaMN，
logaMN＝logaM＋logaN.
因此m＋n可以用对数式表示．
(3)令M＝am，N＝an，则＝am÷an＝am－n，所以m－n＝loga.
又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝loga，
即loga＝logaM－logaN.
设M＝am，则Mn＝(am)n＝amn.由对数的定义，
所以logaM＝m，logaMn＝mn.
所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.
这样我们得到对数的三个运算性质：
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有
loga(MN)＝logaM＋logaN，①
loga＝logaM－logaN，②
logaMn＝nlogaM(n∈R)．③
(4)以上三个性质可以归纳为：
性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；
性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；
性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．
(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.
(6)性质①可以推广到n个数的情形：
即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1M2M3…Mn均大于0)．
(7)纵观这三个性质我们知道，
性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．
性质③从左往右仍然是降级运算．
利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．
思路1
例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.
活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．
利用对数的运算性质，把整体分解成部分．
对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积．
对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积．
解：(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.
(2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－logay－logaz.
(3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz.
点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算．
变式训练
1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为( )．
①logax·logay＝loga(x＋y) ②logax－logay＝loga(x－y)
③loga＝logax÷logay ④loga(xy)＝logax·logay
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：A
2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N＋，下列式子正确的个数为( )．
①(logax)n＝nlogax ②(logax)n＝logaxn ③logax＝－loga
④＝loga ⑤＝logax ⑥logax＝loga
⑦logaxn＝nlogax ⑧loga＝－loga
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
例2 计算：
(1)log3(92×35)；(2).
活动：学生审题，回顾对数的运算性质和运算顺序，严格按性质和法则解题，注意运算结果的准确性．
解：(1)log3(92×35)＝log392＋log335＝log334＋5log33＝4＋5＝9；
(2)lg ＝lg 102＝×2＝.
例3 计算：
(1)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18； (2)； (3).
解：(1)解法一：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
解法二：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0.
(2)＝＝＝.
(3)＝＝＝.
点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质．特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视．
例4 科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2，由题意，得
因此0.6(lg I2－lg I1)＝0.9，
即lg＝1.5.
所以＝101.5≈32.
因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．
思路2
例1 求下列各式的值．
(1)log525；(2)log0.41；(3)log2(47×25)；(4)lg.
解法一：(1)log525＝log552＝2；
(2)log0.41＝0；
(3)log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19；
(4)lg＝lg 102＝lg 10＝.
解法二：(1)设log525＝x，则5x＝25＝52，所以x＝2；
(2)设log0.41＝x，则0.4x＝1＝0.40，所以x＝0；
(3)log2(47×25)＝log2(214×25)＝log2219＝19，
或log2(47×25)＝log247＋log225＝7log222＋log225＝2×7＋5＝19；
(4)设lg＝x，则10x＝＝，所以x＝.
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式．
例2 计算：(1)2log510＋log50.25；(2)2log525＋3log264；(3)log2(log216)．
解：(1)因为2log510＝log5102＝log5100，所以2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log552＝2log55＝2；
(2)因为2log525＝2log552＝4log55＝4,3log264＝3log226＝18log22＝18，
所以2log525＋3log264＝22；
(3)因为log216＝log224＝4，所以log2(log216)＝log24＝log222＝2.
点评：要注意灵活运用对数的运算性质，特别是公式的逆用．
例3 计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．
(1)解法一：lg－lg＋lg＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
解法二：lg－lg＋lg＝lg－＋lg 7
＝lg＝lg(×)＝lg＝.
(2)解法一：lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
解法二：lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(1－lg 5)2
＝2lg 10＋lg 5[2(1－lg 5)＋lg 5]＋(1－lg 5)2＝2＋lg 5(2－lg 5)＋(1－lg 5)2
＝2＋2lg 5－(lg 5)2＋1－2lg 5＋(lg 5)2＝3.
(3)解法一：＝
＝＝＝.
解法二：＝
＝＝＝.
点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值．
例4 已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a，b，c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不妨设3a＝4b＝6c＝k(k＞0)，则a，b，c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．
证法一：设3a＝4b＝6c＝k，则k＞0.由对数的定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
则左边＝＋＝＋＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36，
右边＝＝＝2logk6＝logk36，所以＋＝.
证法二：对3a＝4b＝6c同时两边取常用对数得lg 3a＝lg 4b＝lg 6c，alg 3＝blg 4＝clg 6.
所以＝＝log63，＝＝log64.又＋＝log6(9×4)＝2，所以＋＝.
点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．
1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式：
(1)loga；(2)loga；(3)loga()；(4)loga；
(5)loga；(6)loga3.
解：(1)loga＝loga－logay2z＝logax－(2logay＋logaz)
＝logax－2logay－logaz；
(2)loga＝logax＋loga＝logax＋(logaz3－logay2)
＝logax－logay＋logaz＝logax－logay＋logaz；
(3)loga()＝logax＋logay＋＝logax＋logay－logaz；
(4)loga＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y)
＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)；
(5)loga＝loga＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay；
(6)loga[]3＝3[logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)．
2．已知f(x6)＝log2x，则f(8)等于( )．
A. B．8 C．18 D.
分析：因为f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得x＝＝，所以f(8)＝＝.
解析：因为f(x6)＝log2x＝log2x6，所以f(x)＝log2x.
所以f(8)＝log28＝log223＝.
答案：D
已知x，y，z＞0，且lg x＋lg y＋lg z＝0，求··的值．
活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.
解：令··＝t，则
lg t＝lg x＋lg y＋lg z
＝＋＋＋＋＋＝＋＋
＝＋＋＝－3，
所以t＝10－3＝即为所求．
1．对数的运算法则．
2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．
3．对数与指数形式比较：
式子
ab＝N
logaN＝b
名称
a——幂的底数
b——幂的指数
N——幂值
a——对数的底数
b——以a为底的N的对数
N——真数
运算性质
am·an＝am＋n；
am÷an＝am－n；
(am)n＝amn
(a＞0，a≠1，m、n∈R)
loga(MN)＝logaM＋logaN；
loga＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM(n∈R)
(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)
习题3—4 A组6,7,8.
在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
(设计者：卢岩冰)
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