资料简介
专题
数 列数列的综合应用 考向一 等差数列与等比数列的综合问题
【例1】(2019·塘沽一模)已知{an}的各项均为正数的
等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2
=7①.
(1)求{an}和{bn}的通项公式.
(2)设cn=anbn, ,求数列{cn}的前n项和.【题眼直击】
题眼 思维导引
① 先求出数列{an}的公比为q和数列{bn}的公差为d.
② 利用错位相减法求数列{cn}的前n项和. 【解析】(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差
为d,由题意q>0,由已知有 消去d,
整理得q4-2q2-8=0.
又因为q>0,解得q=2,所以d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,所以n∈N*;
数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,
则Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×
2n-1,
2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,
上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,Sn=(2n-3)·2n+3,
n∈N*.【拓展提升】
解决等差数列与等比数列的综合问题的关键
关键是理清两个数列的关系.
(1)如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比
数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究.(2)如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算
入手,把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征,再
进行求解.【变式训练】
已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得
Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意
,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.
当d=0时,an=2.
当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.
当an=4n-2时,Sn= =2n2.
令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,
解得n>40或n60n+800成立,n的最小值为
41.
综上,当an=2时,不存在满足题意的n;
当an=4n-2时,存在满足题意的n,n的最小值为41.考向二 数列与函数的综合
【例2】(2019·武汉一模)设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1
在点(1,2)处的切线①与x轴交点的横坐标.
(1)求数列{xn}的通项公式.
(2)记Tn= ,证明: 【题眼直击】
题眼 思维导引
① 想到导数的几何意义
② 适当放缩进行求解 【解析】(1)由题意,y′=(2n+2)x2n+1,
曲线在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.
所以切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).
当y=0时,xn= ,所以数列{xn}的通项公式为xn= .(2)由题设和(1)中的计算结果知,
Tn=
当n=1时,T1= .
当n≥2时,因为 综上可得,对任意的n∈N*,均有Tn≥ .【拓展提升】
解决数列与函数综合问题的注意点
(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不
是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的
点.(2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条
件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.
(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构
造函数,注意数列中相关限制条件的转化.【变式训练】
设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的
图象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列
{an}的前n项和Sn.(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴
上的截距为2- ,求数列 的前n项和Tn.【解析】(1)由已知,得b7= ,b8= =4b7,
有 .解得d=a8-a7=2.
所以Sn=na1+ d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)f′(x)=2xln 2,f′(a2)= ln 2,故函数f(x)=2x
在(a2,b2)处的切线方程为y- = ·ln 2·(x-a2),
它在x轴上的截距为a2- .
由题意,得a2- =2- ,解得a2=2.
所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.所以Tn= ,
2Tn=
因此,2Tn-Tn=
所以Tn= . 考向三 数列与不等式的综合问题
【例3】(2019·南昌一模)已知数列{an}满足a1= 且
an+1=an- (n∈N*)①.
(1)证明:1< ≤2(n∈N*)②.(2)设数列{ }的前n项和为Sn,
证明: (n∈N*)③.【题眼直击】
题眼 思维导引
① 想到求出an的取值范围 .
② 转化为函数的值域问题求解.
③ 先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.【解析】(1)由题意得an+1-an=- ≤0,
即an+1≤an,故an≤ .
由an=(1-an-1)an-1(n≥2)得
an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.
由0
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