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专题
三角函数及解三角形三角恒等变换与解三角形考向一 三角恒等变换 (保分题型考点)
【题组通关】
1.若tan α=- ,且α是第四象限角,则cos2
sin(3π-α)cos(2π+α)+ cos2(α+π)= ( )【解析】选D.通解:因为α是第四象限角,tan α=- ,
故 由sin2α+cos2α=1可得cos2α= ,cos α
= ,sin α=- .cos2 +sin(3π-α)cos(2π+
α)+ cos2(α+π)=sin2α+sin αcos α+ cos2α=优解:因为α是第四象限角,tan α=- ,
故cos2 +sin(3π-α)cos(2π+α)+ cos2(α+π)
=sin2α+sin αcos α+ cos2α2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin -3cos x的
最小值为________. 【解析】f(x)=sin -3cos x
=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=
因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,
故函数f(x)的最小值为-4.
答案:-4【易错提醒】解答本题的过程中,部分考生易忽视-1
≤cos x≤1的限制,而简单应用二次函数的性质,出现
运算错误.3.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°= ( )
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)=4.(2019·江苏高考)已知
的值是________. 【解析】由
得3tan2α-5tan α-2=0,解得tan α=2,或tan α=当tan α=2时,上式=
当tan α=- 时,上式=
综上,
答案: 【拓展提升】
三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表
面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题
时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为
特殊角的三角函数,有时,虽不能转化为特殊角,但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求
值的目的.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一
些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相
同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键
也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的
函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的
取值范围.考向二 解三角形 (保分题型考点)
【题组通关】
1.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,
则C=( )【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)
=0,
sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
即sin C(sin A+cos A)= sin Csin =0,所以A=
.由正弦定理 即sin C= ,得
C= .2.(2016·天津高考)在△ABC中,若AB= ,BC=3,∠C=
120°,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.设AC=x,
由余弦定理,得cos C=
得x2+3x-4=0.
解得x=1或-4(舍),
所以AC=1.3.(2019·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分
别为a,b,c,若cos C= ,bcos A+acos B=2,则△ABC的
外接圆面积为 ( )
A.4π B.8π C.9π D.36π【解析】选C.c=bcos A+acos B=2,
由cos C= 得sin C= ,
再由正弦定理可得2R= =6,
所以△ABC的外接圆面积为πR2=9π.4.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方
向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北
方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,
则该码头将受到热带风暴影响的时间为 ( )A.14 h B.15 h C.16 h D.17 h【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时
后热带风暴中心到达B点位置,在△OAB中,OA=600,AB=
20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得6002+400t2-2×20t
×600× ≤4502,即4t2-120 t+1 575≤0,解得
所以Δt=
=15(h).【拓展提升】
解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及
可先求出角C及b,再求出c.
(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求
出a,再求出角B,C.(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.
(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理
可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角
C,再由 可求出c,而通过 求角B时,
可能有一解或两解或无解的情况.
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