资料简介
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词
与存在量词-2-
知识梳理 考点自诊
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的 叫作逻辑联结词.
(2)若p表示命题,则ဌQ p是命题的否定,命题的否定只否定命题的
,而否命题则既否定结论又否定条件.
“且”“或”“非”
结论
真 真
假 真
假 真
假 假
(3)命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断 -3-
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2.全称量词和存在量词
3.全称命题和特称命题
∀
∃
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0) -4-
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4.含有一个量词的命题的否定
∃x0∈M,¬p(x0)
∀x∈M,¬p(x) -5-
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题. ( )
(2)命题“4>6或3>2”是真命题. ( )
(3)若p ∧ q为真,则p∨q必为真;反之,若p ∨ q为真,则p∧ q必为真.
( )
(4)“梯形的对角线相等”是特称命题. ( )
(5)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”. (
)
×
√
×
×
× -6-
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2.已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题
p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p为( )
A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉B
B.∀f(x)∉A,|f(x)|∉B
C.∃f(x0)∈A,|f(x0)|∉B
D.∃f(x0)∉A,|f(x0)|∉B
C
解析:命题是全称命题,则命题的否定为∃f(x0)∈A,|f(x0)|∉B,故选C.-7-
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3.已知命题p:函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x
对称,命题q:函数y=x3的图象与函数y= 的图象关于直线y=x对称,
则下列命题中为真命题的是( ) ဌQ
A.p∧q B.(¬p)∨(¬q)
C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)
A-8-
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4.已知命题p:若x∈N,则x∈Z,命题q:∃x0∈R, =0,则下列命
题为真命题的是( )
A.(¬p)∨(¬q) B.(¬p)∧(¬q) C.(¬p)∧q D.p∧q
A
[2,3] -9-
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含简单逻辑联结词的命题的真假
例1(2019河北石家庄一中模拟)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若
a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中为
真命题的是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(¬p)∧(¬q) D.p∧(¬q)
A
解析:取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命
题.
又a,b,c是非零向量,由a∥b知a=xb(x∈R),由b∥c知b=yc(y∈R),
∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题.¬p为真命题,¬q为假命题.
∴(¬p)∧(¬q),p∧(¬q)都是假命题.故选A.-10-
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思考如何判断含简单逻辑联结词的命题的真假?
解题心得若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断
构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“p或q见真即真
”“p∧q见假即假”“p与ဌQp真假相反”作出判断即可.-11-
考点1 考点2 考点3 考点4
D
对点训练1已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的
充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(¬p)∧(¬q)
C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)
解析:由题意知p为真命题,q为假命题,所以¬ p为假命题, ¬q为真
命题.从而p且q为假命题,( ¬p)且(¬q)为假命题,( ¬p)且q为假命题,p
且(¬q)为真命题,故选D.-12-
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全(特)称命题的真假判定
例2已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真
命题的是( )
A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)
B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)
C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)
C
解析:∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴∀x∈R,f(-x)=f(x)为
假命题,
∴∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.-13-
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思考如何判断一个全称命题是真命题?又如何判断一个特称命题
是真命题?
解题心得1.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M
中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限
定集合内至少能找到一个x0,使p(x0)成立.
2.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,
可先判断其否定的真假.-14-
考点1 考点2 考点3 考点4
A.p∧q B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q)
C -15-
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含有一个量词的命题的否定
例3(1)命题“∀n∈N,f(n)∉N且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N,f(n)∈N且f(n)≤n B.∀n∈N,f(n)∉N且f(n)>n
C.∃n0∈N,f(n0)∈N或f(n0)>n0 D.∃n0∈N,f(n0)∈N且f
(n0)>n0
(2)命题“实数的平方都是正数”的否定是
.
C
至少有一个实数的平方不是正数
解析: (1)∵全称命题的否定是特称命题,
∴命题“∀n∈N,f(n)∉N且f(n)≤n”的否定形式是:
存在n0∈N,f(n0)∈N或f(n0)>n0,故选C.
(2)全称命题的否定是特称命题.“实数的平方都是正数”是全称命
题,只是省略了“所有”两字.故其否定是“至少有一个实数的平方不
是正数”.-16-
考点1 考点2 考点3 考点4
思考如何对全(特)称命题进行否定?
解题心得1.对全(特)称命题进行否定的方法是改量词,否结论.没
有量词的要结合命题的含义加上量词.
2.常见词语的否定形式:-17-
考点1 考点2 考点3 考点4
对点训练3(1)命题“∃x0∈N,使得ln x0(x0+1)3m+1,可得
3m+1>4,解得m>1,故选B.
(2)因为命题“存在x0∈R,使 +2x0+m≤0”是假命题,所以命题“任
意x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,故Δ=22-4m1,故a=1.-22-
考点1 考点2 考点3 考点4
1.逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”.因此,
可以借助集合的“并”“交”“补”的意义来求解含“或”“且”“非”的命题
的问题.
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q见真即真,p∧q见假即
假,p与¬p真假相反.
3.全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题),其真假性与原
命题相反.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称
命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.
4.判断一个全称命题为真命题,必须对任意一个元素验证p(x)成立;
若有一个x0,使p(x0)不成立,则这个全称命题为假命题;判断一个特
称命题是真命题,只要有一个x0,使p(x0)成立即可,否则为假命题.-23-
考点1 考点2 考点3 考点4
1.命题的否定与否命题的区别:否命题是对原命题“若p,则q”的条件
和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结
论;命题的否定即“非p”,只是否定命题p的结论.
2.命题的否定包括:(1)对“若p,则q”形式的命题的否定;(2)对含有逻
辑联结词的命题的否定;(3)对全称命题和特称命题的否定,要特别
注意常见词语的否定.
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