资料简介
1.2 命题及其关系、充要条件-2-
知识梳理 考点自诊
1.命题
真假
真 假 -3-
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2.四种命题及其关系
(1)四种命题的表示及相互之间的关系
(2)四种命题的真假关系
①互为逆否的两个命题 ( 或 ).
②互逆或互否的两个命题真假性 .
等价 同真 同假
没有关系-4-
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3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要 -5-
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1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.
2.p是q的充分不必要条件,等价于¬ q是¬ p的充分不必要条件.其他
情况依次类推.
3.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的
充分不必要条件⇔A⫋B;p是q的必要不充分条件⇔A⫌B;p是q的充
要条件⇔A=B.-6-
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)命题“若α= ,则tan α=1”的否命题是“若α= ,则tan α≠1”. (
)
(2)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x0,则m、n中至少有一个不小
于0”,那么原命题与其逆命题依次是( )
A.真命题、假命题
B.假命题、真命题
C.真命题、真命题
D.假命题、假命题
A
解析:若m+n>0,则m>-n,
当n=0时,m>0,当n>0,m>-n,当n-n>0,
综上所述,m、n中至少有一个不小于0成立,即原命题为真命题,
逆命题为:若m、n中至少有一个不小于0,则m+n>0,为假命题,当
m=n=0时,满足条件,但m+n>0不成立.故选A.-8-
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
D-9-
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4. 已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆
否命题这三个命题中,真命题有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
解析:原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时
,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种
命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,
故选B.
5.(2019广东江门一模,13)命题“在空间中,若四点不共面,则这四
点中任何三点都不共线”的逆否命题是
. 在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面
解析:逆否命题是既否条件又否结论,故答案为:在空间中,若四点
中存在三点共线,则这四点共面.-10-
考点1 考点2 考点3
命题及其相互关系
例1(1)已知原命题为“若 (a+b)2,则x>a2+b2”,则关于其逆命题、
否命题、逆否命题的结论正确的是ဌQ( )
A.逆命题与否命题均为真命题
B.逆命题为假命题,否命题为真命题
C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题
D.否命题为假命题,逆否命题为真命题
A-11-
考点1 考点2 考点3-12-
考点1 考点2 考点3
思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真
假?
解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命
题,只需举出反例即可.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”
这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价
命题的真假.-13-
考点1 考点2 考点3
对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题
是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、
否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
C
B-14-
考点1 考点2 考点3
解析:(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y
是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若
x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.
(2)先判断原命题:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则
z2=a-bi,则|z1|=|z2|= ,所以原命题为真,故其逆否命题为真;
再判断其逆命题,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复
数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.-15-
考点1 考点2 考点3
充分条件、必要条件的判断(多考向)
考向1 定义法判断
例2(2019山东德州期末联考,6)设a,b∈R且ab≠0,则“ab>1”是“a>
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
D-16-
考点1 考点2 考点3
考向2 集合法判断
例3设p:关于x的方程4x-2x-a=0有解;q:关于x的不等式log2(x+a-
2)>0对于∀x>0恒成立,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B -17-
考点1 考点2 考点3
考向3 等价转化法判断
例4设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
C
解析:由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,
∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.-18-
考点1 考点2 考点3
解题心得充要条件的三种判断方法:
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:一是指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,
直到转化成容易判断充要条件为止;二是指根据一个命题与其逆否
命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.-19-
考点1 考点2 考点3
对点训练2(1)(2019北京怀柔模拟,7)已知a,b是两个非零向量,则
“a=b”是“|a|=|b|且a∥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2019河北省五个一名校联盟诊断一,3)“m>1”是“方程
表示焦点在y轴上的双曲线”的ဌQ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)(2019山东日照一模,7)设a,b∈(1,+∞),则“a>b”是“logab
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