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1 定远县育才学校 2020-2021 学年高二上学期第二次月 考理科数学 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 :p Rx  , 2 1 0mx   , :q Rx  , 2 1 0x mx   ,若 p q 为假命题, 则实数 m 的取值范围为( ) A. 2m  B. 2m   C. 2m   或 2m  D. 2 2m   2.若动点 ),(),( 2211 yxByxA 、 分别在直线 1l : 011  yx 和 2l : 01 yx 上移动, 则 AB 中点 M 所在直线方程为 A. 06  yx B. 06  yx C. 06  yx D. 06  yx 3.已知 、  是两个不同的平面, m 、 n 是两条不同的直线,下列命题中不.正确的是 ( ) A. 若 m ∥ n , m  ,则 n  B. 若 m ∥ , n   ,则 m ∥ n C. 若 m  , m  ,则 ∥  D. 若 / / , / / ,m n m   ,则 n  4.平面内动点 P 到两点 ,A B 距离之比为常数 ( 0, 1)    ,则动点 P 的轨迹叫做阿波罗 尼斯圆,若已知  2,0A  ,  2,0B , 1 2   ,则此阿波尼斯圆的方程为( ) A. 2 2 12 4 0x y x    B. 2 2 12 4 0x y x    C. 2 2 20 4 03x y x    D. 2 2 20+ 4 03x y x   5.在四棱锥 P ABCD 中, PA  平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, AB PA .若 BC 边上有且只有一个点Q ,使得 PQ QD ,求此时二面角 A PD Q  的余弦值( ) A. 3 3 B. 30 6 C. 6 6 D. 2 6 6.已知命题 :p x R  , 2 1 0x x   ,则( ) A. :p x R   , 2 1 0x x   B. :p x R   , 2 1 0x x   C. :p x R   , 2 1 0x x   D. :p x R   , 2 1 0x x   7. 已 知 点 ( , )P x y 是 直 线 4 0( 0)kx y k    上 一 动 点 , ,PA PB 是 圆 2 2: 2 0C x y y   的两条切线, ,A B 是切点.若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的 值为( ) A. 2 B. 21 2 C. 2 2 D.2 2 8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 9.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E 是棱 1CC 的中点, F 是侧面 1 1BCC B 内 (包括边)的动点,且 1A F  平面 1D AE ,沿 1A F 运动,将 1B 点所在的几何体削去,则剩 余几何体的体积为( ) A. 3 4 B. 23 24 C. 7 8 D. 11 12 10.设椭圆C 的两个焦点是 1F 、 2F ,过 1F 的直线与椭圆C 交于 P 、Q ,若 2 1 2PF F F , 且 1 15 6PF FQ ,则椭圆的离心率为( ) A. 5 3 B. 7 13 C. 2 6 13 D. 9 11 11.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为  1,0F ,离心率等于 1 2 ,则C 的方程是 A. 2 2 13 4 x y  B. 2 2 14 3 x y  C. 2 2 14 2 x y  D. 2 2 14 3 x y  12.如图,在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E 为 BC 的中点,点 P 在线段 1D E 上,则点 P 到直线 1CC 的距离的最小值为( ). 3 A. 4 5 B. 1 2 C. 5 3 D. 2 55 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“若 或 ,则 ”的否命题为__________. 14.以 F1、F2 为焦点作椭圆,椭圆上一点 P1 到 F1、F2 的距离之和为 10,椭圆上另一点 P2 满 足 P2F1=P2F2,则 P2F1=________. 15.已知平面 / / 平面  , P  且 P  ,试过点 P 的直线 m 与 ,  分别交于 A , C ,过点 P 的直线 n 与 ,  分别交于 B D, 且 6PA  , 9AC  , 8PD  ,则 BD 的长为___________. 16.已知直线 1 : 0l ax y a   ,  2 : 2 3 0l a x ay a    互相平行,则 a __________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. ( 10 分 ) 已 知 命 题 0:p x R  , 使 得 2 0 02 1 0ax x   成 立 ; 命 题 q : 方 程  2 3 0x a x a    有两个不相等正实根; (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18.(12 分)已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 ,D 是 AB 的中点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q,当|PQ|=3 时,求直线 l 的方 程。 19.(12 分)如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 ,且 , 是棱 的中点,点 在侧棱 上运动. (1)当 是棱 的中点时,求证: 平面 ; (2)当直线 与平面 所成的角的正切值为 时,求二面角 的余弦值. 20.(12 分)已知圆C 过  2,6P ,  2,2Q  两点,且圆心C 在直线3 0x y  上. (1)求圆C 的方程; (2)若直线l 过点  0,5P 且被圆C 截得的线段长为 4 3 ,求l 的方程. 4 21.(12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中, ABCD 是正方形, PD  平面 ABCD . 2PD AB  , E , F , G 分别是 PC , PD , BC 的中点. (1)求证:平面 PAB  平面 EFG . (2)在线段 PB 上确定一点Q ,使 PC  平面 ADQ ,并给出证明. 22.(12 分)已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)y a a ba b     过点 3 , 32       ,离心率为 1 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆的上顶点作直线 交抛物线 2 2x y 于 ,A B 两点, O 为原点. ①求证: OA OB ; ②设 OA、 OB 分别与椭圆相交于 C 、 D 两点,过原点O 作直线CD 的垂线OH ,垂足为 H ,证明: OH 为定值. 5 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B D A C D B B D D D 13.若 或 ,则 14.5 15. 24 5 或 24 16. 3 17.(1) 1a   ;(2) 1 0a   或 1a  . 解析: (1) :p x R   , 2 2 1 0ax x   不恒成立. 由 0{ 0 a    得 1a   . (2)设方程  2 3 0x a x a    两个不相等正实根为 1 2x x、 命题q 为真 1 2 1 2 0 { 0 0 1 0 x x a x x          由命题“ p 或q ”为真,且“ p 且q ”为假,得命题 p q、 一真一假 ①当 p 真q 假时,则 1{ 0 0 1 a a    或 得 1 0a   或 1a  ②当 p 假q 真时,则 1{ 0 1 a a     无解; ∴实数a 的取值范围是 1 0a   或 1a  . 18.(1)x2+y2=3.(2)  3 1y x   . 解析: (1)设 D(x,y),A(a,a),B(b,-b), ∵ D 是 AB 的中点, ∴x= ,y= , ∵ |AB|=2 ,∴(a-b)2+(a+b)2=12, ∴(2y)2+(2x)2=12,∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=3. (2) ①当直线 l 与 x 轴垂直时,P(1, ),Q(1,- ), 此时|PQ|=2 ,不符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 由于|PQ|=3,所以圆心 C 到直线 l 的距离为 , 由 = ,解得 k= .故直线 l 的方程为 y= (x-1). 19. 解:(1)取线段 的中点 ,连结 . 6 ∵ ,∴ ,且 . 又 为 的中点,∴ ,且 . ∴ ,且 .∴四边形 是平行四边形.∴ . 又 平面 平面 ,∴ 平面 . (2)∵ 两两垂直,∴以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系 ,如图, ∵三棱柱 中, 平面 ,∴ 即为直线 与 平面 所成的角. 设 ,则由 ,得 . ∴ .∴ , 设平面 的一个法向量为 , 则 令 ,得 ,即 .又平面 的一个法向 量为 ,∴ , 又二面角 的平面角为钝角,∴二面角 的余弦值为 . 20.(1) 2 2 4 12 24 0x y x y     ;(2) 0x  或3 4 20 0x y   解析: ( 1 ) 设 圆 的 方 程 为 2 2 0x y Dx Ey F     , 圆 心 ,2 2 D E     , 根 据 题 意 有 7 2 6 0 { 2 2 8 3 02 2 D E F D E F D E            ,计算得出 4 { 12 24 D E F     , 故所求圆的方程为 2 2 4 12 24 0x y x y     . (2)如图所示, 4 3AB  ,设 D 是线段 AB 的中点, 则CD AB , ∴ 2 3AD  , 4AC  . 在 Rt ACD 中,可得 2CD  . 当直线l 的斜率不存在时,满足题意, 此时方程为 0x  . 当直线l 的斜率存在时,设所求直线l 的斜率为 k ,则直线l 的方程为: 5y kx  , 即 5 0kx y   ,由点C 到直线 AB 的距离公式: 2 2 6 5 2 1 k k      ,得 3 4k  ,此时直线l 的方程为3 4 20 0x y   . ∴所求直线 l 的方程为 0x  或3 4 20 0x y   21.解析:(1)∵ PCD 中, E , F 分别是 PC , PD 的中点,∴ EF CD ,又∵四边 形 ABCD 为正方形,得 AB CD ,∴ EF AB ,∵ EF  平面 PAB , AB  面 PAB , ∴ EF  面 PAB .同理 EG  面 PAB ,∵ EF , EG 是面 EFG 内相交直线,∴平面 PAB  平面 EFG . Q 为 PB 中点时, PC  面 ADQ . (2) Q 为线段 PB 中点时, PC  平面 ADQ ,证明:取 PB 中点Q ,连接 DE , EQ , AQ ,∵ EQ BC AD  ,且 AD QE ,∴四边形 ADEQ 为梯形,由 PD  面 ABCD , AD  面 ABCD ,得 AD PD ,∵ AB CD , PD CD D  ,∴ AD  面 PDC , 又 PC  面 PDC ,∴ AD PC .∵ PDC 为等腰直角三角形, E 为斜边中点, ∴ DE PC ,∵ AD , DE 是面 ADQ 内的相交直线,∴ PC  面 ADQ . 22. 解 析 : (1) 2 2 2 2 21c be a a    , 所 以 , 又 , 解 得 , , 所以椭圆的方程为 (2)①证明:设 、 ,依题意,直线 一定有斜率 , 的方程为 , 8 联 立 方 程 消 去 得 , , 又 , , ②证明:设 、 ,直线 的方程为 , , , , 联 立 方 程 消 去 得 , , , 而 由 得 , 即 . 所以 为定值. 查看更多

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