资料简介
2019-2020 年八年级数学下学期期末考试试题（含解析）京改版
一、选择题：（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．方程 x2﹣4x﹣6=0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．如图，为测量池塘边上两点 A，B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点 O，取 OA，OB
的中点 D，E，测出 DE=12 米，那么 A，B 间的距离是（ ）
A．24 米 B．20 米 C．30 米 D．18 米
4．已知一次函数 y=2x+1，则该函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
5．如图，点 P 是第二象限内的一点，且在反比例函数 y=的图象上，PA⊥x 轴于点 A，△PAO
的面积为 3，则 k 的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
6．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，m）和点 B（n，﹣3）关于 x 轴对称，则 m+n 的值是
（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
7．甲、乙、丙、丁四位选手各 10 次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环 2） 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如图是天安门周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立
坐标系，表示电报大楼的点的坐标为（﹣4，0），表示王府井的点的坐标为（3，2），则表
示博物馆的点的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（1，﹣2） D．（1，﹣1）
9．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18
℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y
（℃）随时间 x（小时）变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线的一部分，则当 x=16 时，大
棚内的温度约为（ ）
A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃
10．如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＜BC，点 E 为对角线 AC 上的一个动点，连接 BE，DE，过 E
作 EF⊥BC 于 F．设 AE=x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致
如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的（ ）
A．线段 BE B．线段 EF C．线段 CE D．线段 DE
二、填空题（共 6 个小题，每题 3 分，共 18 分）
11．函数的自变量 x 的取值范围是 ．
12．如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠
5= ．
13．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx﹣xx=0 有一个根为 x=1，写出一组满足条件的实数 a，b
的值：a= ，b= ．
14．老师在课堂上出了一个问题：若点 A（﹣2，y1），B（1，y2）和 C（4，y3）都在反比例
函数 y=的图象上，比较 y1，y2，y3 的大小．小明是这样思考的：根据反比例函数的性质，当
k＜0 时，y 随 x 的增大而增大，并且﹣2＜1＜4，所以 y1＜y2＜y3．
你认为小明的思考 （填“正确”或“不正确”），理由是 ．
15．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳
入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如表：
医疗费用范围 报 销 比 例
标准
不超过 800 元 不予报销
超过 800 元且不超过 3000 元的部分 50%
超过 3000 元且不超过 5000 元的部分 60%
超过 5000 元的部分 70%
设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为 x 元，且 800＜x≤3000，按上述标准报销
后，该居民实际支出的金额为 y 元．则 y 关于 x 的函数关系式为 ．
16．如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC=120°．点 E 是 AB 边上的动点，点 F 是对角线 AC
上的动点，则 EF+BF 的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：x2+2x﹣5=0．
18．已知 m 是方程 x2+x﹣1=0 的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m﹣1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根．
20．如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC 平分∠BAD．点 E 在 AB 边上，且 CE∥AD．
（1）求证：四边形 AECD 是菱形；
（2）如果点 E 是 AB 的中点，AC=8，EC=5，求四边形 ABCD 的面积．
21．某公司在 xx 年的盈利额为 200 万元，预计 xx 年的盈利额将达到 242 万元，求该公司这
两年盈利额的年平均增长率．
22．如图，一次函数 y=kx+2 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数的图象的一个交点为 A
（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，若点 P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于 18，
求 P 点的坐标．
23．已知关于 x 的方程 x2﹣4mx+4m2﹣9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 x1，x2，其中 x1＜x2．若 2x1=x2+1，求 m 的值．
24．某学校在暑假期间安排了“心怀感恩孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中多帮父
母干家务．开学以后，校学生会的老师们在学校随机抽取了部分学生，就暑假期间“平均每
天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分（每
段时长均含最小值，不含最大值）：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是 人；
（2）补全扇形统计图，补全频数分布直方图；
（3）如果该校共有学生 3000 人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于 30 分
钟”的学生大约有多少人？并给出一条合理化建议．
25．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知如图 1 所示 Rt△ABC，∠ABC=90°．求作：矩形 ABCD．
小明的作法如下：
①作线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 O；
②连接 BO 并延长，在延长线上截取 OD=BO；
③连接 DA，DC．则四边形 ABCD 即为所求（图 2 所示）．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明的作图依据是 ．
参考小明的作法，完成如下问题：
已知：如图 3，△ABC．求作：平行四边形 ABCD．
说明：用两种方法完成；保留作图痕迹；不用写作法．
26．甲、乙两车从 A 地出发前往 B 地．汽车离开 A 地的距离 y（km）与时间 t（h）的关系
如图所示．
（1）乙车的平均速度是 ；
（2）求图中 a 的值；
（3）当两车相距 20km 时，甲车行驶了 小时．
27．有这样一个问题：探究函数 y=+x 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 y=+x 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=+x 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣
﹣
1
﹣ ﹣ 3 m …
求 m 的值；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出
的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的
图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： ．
28．如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线．点 E 为射线 CB 上一个动点（点 E 不与点 C，B 重合），
连接 AE，点 F 在直线 AC 上，且 EF=AE．
（1）点 E 在线段 CB 上，如图 1 所示；
①若∠BAE=10°，求∠CEF 的度数；
②用等式表示线段 CD，CE，CF 之间的数量关系，并证明．
（2）如图 2，点 E 在线段 CB 的延长线上；请你依题意补全图 2，并直接写出线段 CD，CE，
CF 之间的数量关系．
29．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（a，b），点 P 的“变换点”P′的坐标．定
义如下：当 a≥b 时，P’点坐标为（b，﹣a）；当 a＜b 时，P′点坐标为（a，﹣b）．
（1）求 A（5，3），B（1，6），C（﹣2，4）的变换点坐标；
（2）如果直线 l 与 x 轴交于点 D（6，0），与 y 轴交于点 E（0，3）．直线 l 上所有点的变
换点组成一个新的图形，记作图形 W，请画出图形 W，并简要说明画图的思路；
（3）若直线 y=kx﹣1（k≠0）与图形 W 有两个交点，请直接写出 k 的取值范围．
xx 学年北京市延庆县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断．
【解答】解：A 不是中心对称图形，故错误；
B 不是中心对称图形，故错误；
C 是中心对称图形，故正确；
D 不是中心对称图形，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图
重合．
2．方程 x2﹣4x﹣6=0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【考点】根的判别式．
【分析】直接根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
【解答】解：∵方程 x2﹣4x﹣6=0 中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣6）=16+24=40＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选 B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根
与△=b2﹣4ac 有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
3．如图，为测量池塘边上两点 A，B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点 O，取 OA，OB
的中点 D，E，测出 DE=12 米，那么 A，B 间的距离是（ ）
A．24 米 B．20 米 C．30 米 D．18 米
【考点】三角形中位线定理．
【分析】利用三角形中位线定理可得到 AB=2DE，可求得答案．
【解答】解：
∵D、E 分别为 OA、OB 的中点，
∴DE 为△OAB 的中位线，
∴AB=2DE=24 米，
故选 A．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一
半是解题的关键．
4．已知一次函数 y=2x+1，则该函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【考点】一次函数的性质．
【分析】由于 k、b 都大于 0，则根据一次函数的性质可判断直线 y=2x+1 的图象经过第一、
二、三象限．
【解答】解：∵k=2＞0，
∴一次函数 y=2x+1 的图象经过第一、三象限，
∵b=1＞0，
∴一次函数 y=2x+1 的图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴一次函数 y=2x+1 的图象经过第一、二、三象限．
故选 A．
【点评】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而
减小．由于 y=kx+b 与 y 轴交于（0，b），当 b＞0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b＜0 时，
直线与 y 轴交于负半轴．
5．如图，点 P 是第二象限内的一点，且在反比例函数 y=的图象上，PA⊥x 轴于点 A，△PAO
的面积为 3，则 k 的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【考点】反比例函数系数 k 的几何意义．
【分析】根据反比例函数比例系数 k 的几何意义得到|k|=3，然后解绝对值方程即可得到满
足条件的 k 的值．
【解答】解：∵PA⊥x 轴于点 A，
∴S△AOP=|k|，
即|k|=3，
而 k＜0，
∴k=﹣6．
故选 D．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y=图象中任取一点，
过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，m）和点 B（n，﹣3）关于 x 轴对称，则 m+n 的值是
（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得 m、n 的值，
根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由点 A（2，m）和点 B（n，﹣3）关于 x 轴对称，得
n=2，m=3．
则 m+n=2+3=5．
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，
纵坐标互为相反数得出 m、n 的值是解题关键．
7．甲、乙、丙、丁四位选手各 10 次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环 2） 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为 S 甲
2＞S 丁
2＞S 丙
2＞S 乙
2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是
乙．
故选 B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．如图是天安门周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立
坐标系，表示电报大楼的点的坐标为（﹣4，0），表示王府井的点的坐标为（3，2），则表
示博物馆的点的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（1，﹣2） D．（1，﹣1）
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．
【解答】解：表示电报大楼的点的坐标为（﹣4，0），表示王府井的点的坐标为（3，2），
可得：原点是天安门，
所以可得博物馆的点的坐标是（1，﹣1）
故选 D．
【点评】此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和 x，y 轴的位置及方
向．
9．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为
18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度
y（℃）随时间 x（小时）变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线的一部分，则当 x=16 时，
大棚内的温度约为（ ）
A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃
【考点】反比例函数的应用．
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将 x=16 代入函数解析式求出 y 的值即可．
【解答】解：∵点 B（12，18）在双曲线 y=上，
∴18=，
解得：k=216．
当 x=16 时，y==13.5，
所以当 x=16 时，大棚内的温度约为 13.5℃．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
10．如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＜BC，点 E 为对角线 AC 上的一个动点，连接 BE，DE，过 E
作 EF⊥BC 于 F．设 AE=x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致
如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的（ ）
A．线段 BE B．线段 EF C．线段 CE D．线段 DE
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的 y 随 x 的变化的趋势，从
而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：A、由图 1 可知，若线段 BE 是 y，则 y 随 x 的增大先减小再增大，而由由大变
小的距离小于由小变大的距离，在点 A 的距离是 BA，在点 C 时的距离是 BC，BA＜BC，故选
项 A 错误；
B、由图 1 可知，若线段 EF 是 y，则 y 随 x 的增大越来越小，故选项 B 错误；
C、由图 1 可知，若线段 CE 是 y，则 y 随 x 的增大越来越小，故选项 C 错误；
D、由图 1 可知，若线段 DE 是 y，则 y 随 x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于
由小变大的距离，在点 A 的距离是 DA，在点 C 时的距离是 DC，DA＞DC，故选项 D 正确；
故选 D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答问题．
二、填空题（共 6 个小题，每题 3 分，共 18 分）
11．函数的自变量 x 的取值范围是 x≤6 ．
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的意义，被开方式不能是负数．据此求解．
【解答】解：根据题意得 6﹣x≥0，
解得 x≤6．
【点评】函数自变量的范围一般从几个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，
∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形 ABCDE
的内角和是多少，再用 180°×5 减去五边形 ABCDE 的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
等于多少即可．
【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠
DEA）
=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）
=900°﹣（5﹣2）×180°
=900°﹣540°
=360°．
故答案为：360°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）
n 边形的内角和=（n﹣2）180 （n≥3）且 n 为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处
取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 360°．
13．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx﹣xx=0 有一个根为 x=1，写出一组满足条件的实数 a，b
的值：a= 1 ，b= xx ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=1 代入方程得到 a+b﹣xx=0，于是 a 取 1 时，
计算对应的 b 的值．
【解答】解：把 x=1 代入 ax2+bx﹣xx=0 得 a+b﹣xx=0，
当 a=1 时，b=xx．
故答案为：1，xx．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．
14．老师在课堂上出了一个问题：若点 A（﹣2，y1），B（1，y2）和 C（4，y3）都在反比例
函数 y=的图象上，比较 y1，y2，y3 的大小．小明是这样思考的：根据反比例函数的性质，当
k＜0 时，y 随 x 的增大而增大，并且﹣2＜1＜4，所以 y1＜y2＜y3．
你认为小明的思考 不正确 （填“正确”或“不正确”），理由是 y2＜y3＜y1 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐
标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数 y=中 k=﹣8＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大．
∵点 A（﹣2，y1），B（1，y2）和 C（4，y3）都在反比例函数 y=的图象上，
∴A 在第二象限，点 B、C 在第四象限，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故小明的思考不正确，
故答案为：不正确，y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳
入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如表：
医疗费用范围
报 销 比 例
标准
不超过 800 元 不予报销
超过 800 元且不超过 3000 元的部分 50%
超过 3000 元且不超过 5000 元的部分 60%
超过 5000 元的部分 70%
设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为 x 元，且 800＜x≤3000，按上述标准报销
后，该居民实际支出的金额为 y 元．则 y 关于 x 的函数关系式为 0.5x﹣400 ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式．
【分析】根据题意得出当 800＜x≤3000 时的解析式即可；
【解答】解：当 800＜x≤3000 时，y=0.5（x﹣800）=0.5x﹣400；
故答案为：y=0.5x﹣400．
【点评】此题主要考查了一次函数的解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出函数关系式．
16．如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC=120°．点 E 是 AB 边上的动点，点 F 是对角线 AC
上的动点，则 EF+BF 的最小值为 2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质；轴对称的性质．
【分析】过点 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于点 F，连接 BF，则 DE 的长即为 EF+BF 的最小值，
根据菱形 ABCD 中∠ABC=120°求得∠BAD 的度数，进而判断出△ADE 是含 30°角的直角三角
形，根据勾股定理即可得出 DE 的长．
【解答】解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于点 F，连接 BF，则 BF=DF，
∴EF+BF=EF+DF=DE（最短），
∵∠ABC=120°，
∴∠DAE=60°，
∴∠ADE=30°，
∵菱形 ABCD 的边长为 4，
∴AE=AD=2，
∴Rt△ADE 中，DE==2．
故答案为：2
【点评】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质以及轴对称的性质．最短距离
问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．如果两个图形关
于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、解答题
17．解方程：x2+2x﹣5=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在左右两边同时加上一次项系数
2 的一半的平方，配成完全平方的形式，然后开方即可．
【解答】解：x2+2x﹣5=0
x2+2x=5，
x2+2x+1=6，
（x+1）2=6，
x+1=±，
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法有直接开平方方法，公式
法，配方法，因式分解法等等，学生在平时的训练中，学会根据方程的特征，选择恰当的方
法，提高解题效率．
18．已知 m 是方程 x2+x﹣1=0 的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由 m 为已知方程的解，将 x=m 代入方程求出 m2+m 的值，原式整理后代入计算即可
求出值．
【解答】解：把 x=m 代入方程得：m2+m﹣1=0，即 m2+m=1，
则原式=m2+2m+1+m2﹣1=2（m2+m）=2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m﹣1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根．
【考点】根的判别式．
【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出 m 的值，即可确定原一元二次方程，
进而可求出方程的根．
【解答】解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得 m=5．
当 m=5 时，原方程化为 x2﹣4x+4=0．解得 x1=x2=2．
所以原方程的根为 x1=x2=2．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20．如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC 平分∠BAD．点 E 在 AB 边上，且 CE∥AD．
（1）求证：四边形 AECD 是菱形；
（2）如果点 E 是 AB 的中点，AC=8，EC=5，求四边形 ABCD 的面积．
【考点】菱形的判定与性质．
【分析】（1）由“邻边相等的平行四边形为菱形”进行证明；
（2）根据菱形的性质和等腰三角形的性质推知△ABC 是直角三角形，所以结合直角三角形
的面积求法和图形得到：四边形 ABCD 的面积=S△AEC+S△EBC+S△ACD．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形 AECD 是平行四边形，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴四边形 AECD 是菱形；
（2）解：∵四边形 AECD 是菱形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ACE，
∵点 E 是 AB 的中点，
∴AE=BE，
∴∠B=∠ECB，
∴∠ACE+∠ECB=90°，即∠ACB=90°；
∵点 E 是 AB 的中点，EC=5，
∴AB=2EC=10，
∴BC=6．
∴S△ABC=BCAC=24．
∵点 E 是 AB 的中点，四边形 AECD 是菱形，
∴S△AEC=S△EBC=S△ACD=12．
∴四边形 ABCD 的面积=S△AEC+S△EBC+S△ACD=36．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质．解答（2）题时，利用了菱形的性质、直角三角形
的判定等知识点，借用了“分割法”求得四边形 ABCD 的面积．
21．某公司在 xx 年的盈利额为 200 万元，预计 xx 年的盈利额将达到 242 万元，求该公司这
两年盈利额的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设该公司这两年盈利额的年平均增长率是 x，根据题意可得，xx 年的盈利额×（1+
增长率）2=xx 年的盈利额，据此列方程求解．
【解答】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率为 x．
根据题意，得 200×（1+x）2=242，
（1+x）2=1.21
解这个方程，得 x1=0.1，x2=﹣2.1（舍）
答：该公司这两年盈利额的年平均增长率为 10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程求解．
22．如图，一次函数 y=kx+2 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数的图象的一个交点为 A
（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，若点 P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于 18，
求 P 点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积．
【分析】（1）先将点 A（2，3）代入反比例函数和一次函数 y=kx+2，求得 m、k 的值，
（2）可求得点 B 的坐标，设 P（x，y），由 S△PBC=18，即可求得 x，y 的值．
【解答】解：（1）把 A（2，3）代入，∴m=6．
∴．代入 y=kx+2，
∴2k+2=3．∴．
∴．令，解得 x=﹣4，即 B（﹣4，0）．
∵AC⊥x 轴，∴C（2，0）．
∴BC=6．，
∵S△PBC==18，
∴y1=6 或 y2=﹣6．
分别代入中，
得 x1=1 或 x2=﹣1．
∴P1（1，6）或 P2（﹣1，﹣6）．（5 分）
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题
的关键．
23．已知关于 x 的方程 x2﹣4mx+4m2﹣9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 x1，x2，其中 x1＜x2．若 2x1=x2+1，求 m 的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）首先得到△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）=36＞0 证得方程有两个不相等的实数根；
（2）根据已知条件得到得出关于 m 的方程求得答案即可．
【解答】解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）=36＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x==2m±3，
∴x1=2m﹣3，x2=2m+3，
∵2x1=x2+1，∴2（2m﹣3）=2m+3+1，
∴m=5．
【点评】本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第
（2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．
24．某学校在暑假期间安排了“心怀感恩孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中多帮父
母干家务．开学以后，校学生会的老师们在学校随机抽取了部分学生，就暑假期间“平均每
天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分（每
段时长均含最小值，不含最大值）：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是 200 人；
（2）补全扇形统计图，补全频数分布直方图；
（3）如果该校共有学生 3000 人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于 30 分
钟”的学生大约有多少人？并给出一条合理化建议．
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据 10～20 分钟的有 40 人，所占的百分比是 20%，据此即可求得调查的总
人数；
（2）根据百分比的意义以及求得 30～40 分钟的人数所占的百分比，40～50 分钟的人数所
占的百分比以及 20～30 分钟所占的百分比和人数，从而补全统计图；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数是：40÷20%=200（人），
故答案是：400；
（2）30～40 分钟的人数所占的百分比是：×100%=25%，
40～50 分钟的人数所占的百分比是×100%=5%，
则 20～30 分钟所占的百分比是：1﹣25%﹣30%﹣20%﹣5%=20%，则人数是 200×20%=40（人）．
；
（3）“平均每天帮助父母干家务的时长不少于 30 分钟”的学生大约有 3000×（25%+5%）
=900（人）．
学校要积极鼓励学生多做家务，学校要适当给予表扬．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知如图 1 所示 Rt△ABC，∠ABC=90°．求作：矩形 ABCD．
小明的作法如下：
①作线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 O；
②连接 BO 并延长，在延长线上截取 OD=BO；
③连接 DA，DC．则四边形 ABCD 即为所求（图 2 所示）．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明的作图依据是 对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形 ．
参考小明的作法，完成如下问题：
已知：如图 3，△ABC．求作：平行四边形 ABCD．
说明：用两种方法完成；保留作图痕迹；不用写作法．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【分析】直接利用小明的作法结合矩形的判定方法得出答案，再利用平行四边形的判定方法
得出答案．
【解答】解：小明的作图依据是：对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形；
答案一：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
答案二：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
对角线相等的平行四边形是矩形．
如图所示：
【点评】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形和矩形的判定方法，正确掌握矩形的判定
方法是解题关键．
26．甲、乙两车从 A 地出发前往 B 地．汽车离开 A 地的距离 y（km）与时间 t（h）的关系
如图所示．
（1）乙车的平均速度是 100km/h ；
（2）求图中 a 的值；
（3）当两车相距 20km 时，甲车行驶了 或 4 小时．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由速度=路程÷时间就可以求得乙的速度；
（2）由函数图象的数据求出两车相遇的时间就可以求出路程 a 的值；
（3）由追击问题的数量关系建立方程就可以求出两车相距 20km 时 t 的值．
【解答】解：（1）由题意，得：乙车的平均速度为：350÷（4.5﹣1）=100km/h；
故答案为：100km/h；
（2）∵甲车的速度为：350÷5=70km/h，
设乙出发 x 小时追上甲车，由题意，得：70（x+1）=100x，
解得：x=，
∴a=×100=km．
（3）当两车相距 20km 时，①70t﹣100（t﹣1）=20，解得：t=．
②100（t﹣1）﹣70t=20，解得：t=4．
∴当两车相距 20km 时，甲车行驶了或 4 时．
故答案为：或 4．
【点评】本题考查了行程问题的追击问题的数量关系的运用，属于一次函数的图象的运用．注
意解答时分析清楚函数图象的数据的含义是关键．
27．有这样一个问题：探究函数 y=+x 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 y=+x 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=+x 的自变量 x 的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣
﹣
1
﹣ ﹣ 3 m …
求 m 的值；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出
的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的
图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【分析】（1）由图表可知 x≠0；
（2）根据图表可知当 x=4 时的函数值为 m，把 x=4 代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠1，
故答案为 x≠1；
（2）令 x=4，
∴y=+4=；
∴m=；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
该函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
28．如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线．点 E 为射线 CB 上一个动点（点 E 不与点 C，B 重合），
连接 AE，点 F 在直线 AC 上，且 EF=AE．
（1）点 E 在线段 CB 上，如图 1 所示；
①若∠BAE=10°，求∠CEF 的度数；
②用等式表示线段 CD，CE，CF 之间的数量关系，并证明．
（2）如图 2，点 E 在线段 CB 的延长线上；请你依题意补全图 2，并直接写出线段 CD，CE，
CF 之间的数量关系．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①利用正方形的性质结合三角形外角的性质得出∠1=∠F+∠CEF，进而得出答
案；
②利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出△AEM≌△FEC（AAS），进而得出线段
CD，CE，CF 之间的数量关系；
（2）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出：△ABE≌△EMF（AAS），进而得出
线段 CD，CE，CF 之间的数量关系．
【解答】（1）①解：如图 1 所示，
∵AC 是正方形 ABCD 的对角线，
∴∠BAC=∠1=45°．
∵∠BAE=10°，
∴∠2=35°．
∵EF=AE，
∴∠F=∠2=35°，
∵∠1 是△CEF 的外角，
∴∠1=∠F+∠CEF．
∴45°=35°+∠CEF．
∴∠CEF=10°．
②线段 CD，CE，CF 之间的数量关系是： CE+CF=CD．
证明：∵∠BAE+∠2=45°，∠CEF+∠F=45°，
∴∠BAE=∠CEF．
方法一：如图 2，过点 E 作 ME⊥BC 交 AC 于点 M．
∵ME⊥BC，
∴AB∥ME，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠1=∠BAC=45°，
则∠EMC=45°，
故∠AME=∠ECF=135°，
∵AE=EF，
∴∠2=∠F，
在△AEM 和△FEC 中
，
∴△AEM≌△FEC（AAS），
∴AM=FC．
∴FM=AC=CD．
∵FM=MC+CF，
∴MC+CF=CD．
∴CE+CF=CD．
方法二：如图 3，在 AB 上取点 M，使 AM=EC．
由方法一同理可得：△AEM≌△FEC，
∴FC=EM=BE．
∴EB=CF．
∵EB+CE=CB，
∴CF+CE=CD．
∴CE+CF=CD．
方法三：图 4，延长 BC，过点 F 作 MF⊥BC，交 BC 的延长线于点 M．
由方法一同理可得：△ABE≌△EMF，
∴BE=MF．
∵MF=CM，
∴BE=MF=CM=CF．
∵EB+CE=CB，
∴CF+CE=CD．
∴CE+CF=CD．
（2）解：如图 5 所示：线段 CD，CE，CF 之间的数量关系是： CD+CF=CE．
理由：过点 F 作 FM⊥BC 于点 M，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠FEC+∠ECF=∠EFA，
∠EAB+∠BAC=∠EAF，
∴∠FEC+45°=45°+∠EAB，
∴∠FEC=∠EAB，
在△ABE 和△EMF 中，
，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=FM，
∵MF=CM，
∴BE=MF=CM=CF．
∵EB+BC=CE，
∴CF+DC=CE．
∴CD+CF=CE．
【点评】此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质和正方形的性质等知识，
正确作出辅助线得出全等三角形是解题关键．
29．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（a，b），点 P 的“变换点”P′的坐标．定
义如下：当 a≥b 时，P’点坐标为（b，﹣a）；当 a＜b 时，P′点坐标为（a，﹣b）．
（1）求 A（5，3），B（1，6），C（﹣2，4）的变换点坐标；
（2）如果直线 l 与 x 轴交于点 D（6，0），与 y 轴交于点 E（0，3）．直线 l 上所有点的变
换点组成一个新的图形，记作图形 W，请画出图形 W，并简要说明画图的思路；
（3）若直线 y=kx﹣1（k≠0）与图形 W 有两个交点，请直接写出 k 的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据 A、B、C 三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标；
（2）根据点 D、E 坐标利用待定系数法找出直线 DE 的解析式，找出横纵坐标相等的点的坐
标，根据变换点的定义，将直线 DE 中点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于 x 轴对
称的射线，再将直线 DE 中点（2，2）右侧（包括该点）的射线绕原点顺时针旋转 90°，由
此即可得出图形 W；
（3）根据 W 的做法找出图形 W 中两段射线的解析式，分别令 y=kx﹣1（k≠0）与这两段射
线的交点的横坐标满足射线中 x 的取值范围，综合在一起即可得出结论．
【解答】解：（1）∵5＞3，1＜6，﹣2＜4，
∴A′（3，﹣5），B′（1，﹣6），C′（﹣2，﹣4）．
（2）设直线 DE 的解析式为 y=ax+b，
将点 D（6，0）、E（0，3）代入 y=ax+b 中，
得：，解得：，
∴直线 DE 的解析式为 y=﹣x+3．
当 x=y 时，有 x=﹣x+3，解得：x=y=2．
画出图形 W，如图所示．
画图的思路，将直线 DE 点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于 x 轴对称的射线，再
将直线 DE 点（2，2）右侧（包括该点）的射线绕原点顺时针旋转 90°，由此即可得出图形
W．
（3）当 x＜2 时，y=x﹣3；
当 x≥2 时，旋转后的图形解析式为﹣x=﹣y+3，即 y=2x﹣6（x≤2）．
令 kx﹣1=x﹣3，则有 x=﹣＜2（k≠），
解得：k＜﹣或 k＞；
令 kx﹣1=2x﹣6，则有 x=≤2（k≠2），
解得：k≤﹣或 k＞2．
综上可知：若直线 y=kx﹣1（k≠0）与图形 W 有两个交点，k 的取值范围为 k＜﹣或 k＞2．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）
根据点的横、纵坐标间的关系找出其变换点；（2）根据变换点的定义画出图形 W；（3）找
出图形 W 中两段射线的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决（3）时，可以直接作出
图形，利用数形结合法直接得出结论．
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