资料简介
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第 20 章 解直角三角形
一 锐角三角函数
课题：§20．1 锐角三角函数
教学目标：
知识与技能：⒈ 通过实例让学生理解并认识锐角三角函数的概念；
⒉正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示；
3．学会根据定义求锐角的正弦值．
4．知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也都固定这一事
实．
过程与方法：1.经历锐角的正弦的探求过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的思想．
2．三角函数的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。
情感态度价值观：1．通过锐角的正弦概念的建立，经历从特殊到一般的认识过程．
2．在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解
决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣．
教学重点：理解当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定的这一事实．
教学难点：正弦概念建立及表示；
教学方法：自主探究、合作学习
教学过程：
一、复习引入
问题：我们已经学习了直角三角形的哪些性质呢？
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°， a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边。
边：勾股定理，即： a2+b2=c2 .
角：两锐角互余，即： ∠A+∠B=90°.
边角：30°角所对直角边是斜边的一半.
推理形式： 在 Rt△ABC 中,∠C=90°，
∵ ∠A=30°,
∴ 1
2
BC
AB
复习直角三角形中边、角以及边角关系，突出本节主题，即研究直角三角形中的相关问
题，同时为后面的解题做了准备。
二、整体感知新知识
１．从特殊到一般抽象概括出正弦定义
在 Rt△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°,过 BC 上的点 B1 作
1 1 1B C AC C 于 ， 1 1
1
B C
AB
的值为多少?
1 1
1
1= 2
B C
AB
，这说明这个比值只与∠A=30°有关，与
Rt△ABC 的大小无关。
思 考
2
c
b
a
A
C
B
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当锐角 A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是
一个固定值吗？
几何画板演示：
1. 取定∠A 的大小，改变 Rt△ABC 的大小，观察∠A 的对边与邻边的比值；
2. 改变∠A 的大小，观察∠A 的对边与邻边的比值，再改变 Rt△ABC 的大小，
观察比值的变化。
小结：在 Rt△ABC 中，∠C=90°
（１） 当∠A 不变时，它所对的边 BC 与斜边 AB 的比值不变．
（２） 当锐角∠A 发生变化时，它所对的边 BC 与斜边 AB 的比值也发生变化．
结论：在 Rt△ABC 中，对于 锐角 A 的每一个确定的值， 其对边与邻边的比值
是惟一确定的.
下面我们用相似形的知识来说明．
已知：如图， Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 中∠A=α,
求证： 1 1 2 2
1 2
B C B C
AB AB
.
证明：∵ ∠ AB1C1= ∠ AB2C2=90°, ∠A= ∠A,
∴ Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,
可见，在 Rt△ABC 中，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确
定的.
请学生结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．
[板书]在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对
边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，
Asin BC aA AB c
的对边
斜边
1 1 1
2 2 2
,B C AB
B C AB
1 1 2 2
1 2
.B C B C
AB AB
3
A
B
C
A
B
C
D
要求学生根据定义写出 sinB 的表达式，目的是巩固学生进一步掌握直角三角形中锐角
正弦的含义。
例如： 当∠A =30°时，sinA= sin30°= 1
2
；当∠A=45°时，sinA= sin45°= 2
2
．
当∠A=60°时，sinA= sin60°= 3
2
2．巩固新知 例题分析
例 1、已知：在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，求 sinA 和 sinB 的值．
解：在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
2 2 2 23 4 5AB AC BC
∴ 4sin 5
BCA AB
， 3sin 5
ACB AB
．
学生练习教材 P92 中 1
例 1 的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，经过反复强化，
使全体学生都达到目标，更加突出重点．
例 2、已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，CD=12，AD=9，BD=5，求 sinA、sin∠
ACD、sinB 和 sin∠BCD 的值．
解略．
想一想：当 0°＜∠A＜90°时，sinA 的值会在什么范围内？为什么？
这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同 时这
个问题也使学生将数与形结合起来．
在学生从分讨论的基础上，得结论 0＜sinA＜1(∠A 为锐角)．
三、课堂小结
学生小结本节课都学会了什么？还有什么疑问？你还想知道什么？
1．引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含 30°角直角三角形的性质基础上，
通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边的比值也是
固定的．
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现
了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被
动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识．
2、扩展：当锐角为 30°时，它的对边与斜边比值我们知道．今天我们又发现，锐角任
意时，它的对边与斜边的比值也是固定的．如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问
题就迎刃而解了．看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同
学可以提前预习一下．通过这种扩展，不仅对正弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的
兴趣．
3、其它边的比值是否也有这样的性质？我们下节课进行研究．
A
C
B
4
c
b
a
A
C
B
四、布置作业
1．课本 P92 练习 2，3
2．目标
3．思考：结合右图，思考∠A 的其他两边的比值是不是也是
唯一确定的？发挥你的聪明才智，动手试一试．
在教学中要注意： ① 要充分展开引入与探索的过程，使学生
确信三角函数的合理性， ② 要有充裕的时间让学生自主探究及合作交流， ③ 对三角函数
必须要求学生在理解的基础上记忆。
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