资料简介
2021 年中考九年级数学第三轮冲刺训练：圆 综合练习试题
1、如图，在 ABC 中， AB AC ，O为 BC 的中点， AC 与半圆O相切于点 D .
（1）求证： AB 是半圆O所在圆的切线；
（2）若 2cos 3ABC ， 12AB ，求半圆O所在圆的半径.
2、如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，⊙O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC，AB
分别相交于点 D，F，且 DE=EF．
（1）求证：∠C=90°；
（2）当 BC=3，sinA= 时，求 AF 的长．
3、如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过点
E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若 AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积．
4、如图，在 ABC 中，AB AC . 以 AB 为直径的半圆交 AC于点D ，交 BC 于
点 E .延长 AE 至点 F，使 EF AE ,连接 FB FC， .
(1)求证:四边形 ABFC 是菱形；
(2) 若 AD 7 BE 2 ， ，求半圆和菱形 ABFC 的面积.
5、如图，在△
‴〷
中，
为
〷
上一点，以
为圆心，
〷
长为半径作圆，与
‴〷相切于点
〷
，过点
作
‴
交
‴
的延长线于点
,且∠
∠
‴
.
（1）求证：
‴
为
的切线；
（2）若
‴〷 6
，
′ㄹ
∠
‴〷
4
3
,求
的长.
6、如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接 PB、PC，PC
交 AB 于点 E，且 PA＝PB
(1) 求证：PB 是⊙O 的切线
(2) 若∠APC＝3∠BPC，求
CE
PE 的值
7、如图，已知 AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点 D 在 AB 的延长线上，∠BCD=
∠BAC．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
8、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接 AO 并
延长，交⊙O 于点 D，连接 BD．过点 C 作⊙O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若 AB＝12，求线段 EC 的长．
9、如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 的直线
EF 交 AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）当 CF＝2，BE＝3 时，求 AF 的长．
10、如图，在三角形 ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，
交 AC 于点 G，直线 DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交 CB 的延长线于点 E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求 tan∠E 的值．
11、如图所示，⊙O 的半径为 4，点 A 是⊙O 上一点，直线 l 过点 A；P 是⊙O 上
的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PB⊥l 于点 B，交⊙O 于点 E，直径 PD
延长线交直线 l 于点 F，点 A 是 的中点．
（1）求证：直线 l 是⊙O 的切线；
（2）若 PA=6，求 PB 的长．
12、如图，已知 D，E 分别为△ABC 的边 AB，BC 上两点，点 A，C，E 在⊙D 上，
点 B，D 在⊙E 上．F 为 上一点，连接 FE 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 AB
于点 M．
（1）若∠EBD 为α，请将∠CAD 用含α的代数式表示；
（2）若 EM=MB，请说明当∠CAD 为多少度时，直线 EF 为⊙D 的切线；
（3）在（2）的条件下，若 AD= ，求 的值．
13、如图，⊙O 的半径为 2，弧 AB 等于 120°，E 是劣弧 AB 的中点．
（1）如图①，试说明：点 O、E 关于 AB 对称（即 AB 垂直平分 OE．）；
（2）把劣弧 AB 沿直线 AB 折叠（如图②）⊙O 的动弦 CD 始终与折叠后的弧 AB
相切，求 CD 的长度的变化范围．
14、如图 1，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点 P 在边 AD 上运
动，以 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与对角线 AC 交于 A，E 两点．
（1）如图 2，当⊙P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；
（2）不难发现，当⊙P 与边 CD 相切时，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共
点，随着 AP 的变化，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若
公共点的个数为 4，直接写出相对应的 AP 的值的取值范围________．
15、问题提出
（1）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB 的平分线交 AB 于点
D．过点 D 分别作 DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等
的线段是 ．
问题探究
（2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB＝8．P 是 上一点，且 ＝2 ，连接 AP，
BP．∠APB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为 E，
F，求线段 CF 的长．
问题解决
（3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O 的直径 AB
＝70m，点 C 在⊙O 上，且 CA＝CB．P 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交⊙O 于点
D．连接 AD，BD．过点 P 分别作 PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为 E，F．按设计要
求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为
绿化区．设 AP 的长为 x（m），阴影部分的面积为 y（m2）．
①求 y 与 x 之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 AP 的长度为 30m 时，整体布局比
较合理．试求当 AP＝30m 时．室内活动区（四边形 PEDF）的面积．
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