天天资源网 / 高中数学 / 三轮冲刺 / 2019年高考考前冲刺卷文科数学(二)
资料简介
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号
位
封 座
密
号
场
不 考
订
装 号
证
考
准
只
卷
名
姓
此
级
班
绝密 ★ 启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学（二）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务
必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时， 选出每小题的答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 已知集合 A { x log 2 ( x 1) 0} ，则 CR A （ ）
A. ( ,1] B. [2, )
C. ( ,1) (2, ) D. ( ,1] [2, )
【答案】 D
【解析】由集合 A { x log 2 (x 1) 0} { x 1 x 2} ，则 CR A { x x 1 或 x 2} .
2. 若复数 z 满足 (2 3i )z
13 ，则复平面内表
示 z 的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 D
【解析】 ∵ (2 3i )z 13 ，∴ z
13 13(2 3i )
3i ，
3i (2 3i )(2
2
2 3i)
则复平面内表
示 z 的点 (2, 3) 位于第四象限 .
3. 函数 f ( x) 1 e x x 1 的图象大致为（ ）
2 2
A. B.
C. D.
【答案 】 C
【解析 】函数 f ( x) 1 ex x 1是偶函数，排除选项 B；
2 2
当 x 0 时，函数 f ( x) 1ex x 1 ，可得 f ( x) 1 ex 1 ，
2 2 2
当 0 x ln 2 时， f ( x) 0 ，函数是减函数，
当 x
ln 2 时，函数是增函数，排除选
项 A， D，故选 C.
4. 在 ABC 中， B 90 ， AB (1,2) ， AC (3, ) ， （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案 】 A
【解析 】 ABC 中， B 90 ， AB (1,2) ， AC (3, ) ，∴ BC
又 B 90 ，∴ AB BC ，∴ AB BC 0 ，即 2 2( 2) 0 ，解得
5. 在 ABC 中， a ，
b ， c 分别是角 A ，
B ， C 的对边，(a b c)(a
正弦值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1
2 2 2
【答案 】 D
【解析 】由 ( a b c)(a c b) 2ab ，可得 a2 b2 c2 0 ，
根据余弦定理得 cosC
a2 b2 c 2
2ab
0 ，
∵ B (0, ) ，∴ sin C 1 .
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6. 双曲线 mx2 ny 2 1 （ mn0 ）的一条渐近线方程为 y 1 x ，则它的离心率为（ ）
2
A. 5 B.
5
C. 5 或
5
D. 5 或
5
2 2 2
【答案 】 C
【解析 】 ∵双曲线 mx2 ny2 1 （ mn 0
）的一条渐近线方程
为 y 1 x ，
2
∴ b 2 或 b 1 ，∴双曲线的离心率为 e c 1 ( b )2 5 或 5 .
a a 2 a a 2
7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值
为 1，则判断框中可以填入的条件是（ ）
A. n 999 B. n 999 C. n 999 D. n 999
【答案 】 C
【解析 】该程序框图的功能是计
算 S 2
1 2 n
1) 的值 .lg lg lg 2 lg(n
2 3 n 1
要使输出的 S 的值为 1 ，则 2
lg(
n 1) 1，即 n 999 . 故①中应填 n 999.
8. 已知单位圆有一条直
径 AB ，动点 P 在圆内，则使得 AP AB 2 的概率为（ ）
1 1 2
D.
2
A. B. C.
2 4 4 4
【答案 】 A
【解析 】由 AP AB 2 可知， AP 在 AB 向量上的投影为 1，
所以 P 点所在位置为半个圆，面积占整个圆
的 1 ，所以概率为 1 .
2 2
9. 长方体 ABCD A1 B1C1D1 ， AB 4 ， AD 2 ， AA
5 ，则异面直
线 A1 B1 与 AC1 所成角的
1
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余弦值为（ ）
2 3
C.
4 1
A. B.
5
D.
5 5 2
【答案】 C
【解析】 ∵ C1D1 / / A1B1 ，∴异面直线 A1B1 与 AC1 所成的角即为 C1D1 与 AC1 所成的角 AC1D1 .
在 Rt AC D 中， C1D1 4， AC1 42 22 ( 5)2 5 ，∴ cos AC1D1 C1D1 4 .
1 1
AC1 5
10. 将函数 f ( x) sin 2x cos 2x 图象上所有点向左平移 3 个单位长度，得到函数
g ( x) 的图
象，
8
则 g ( x) 图象的一个对称中心是
（ ）
A. ( ,0) B. ( ,0) C. ( ,0) D. ( ,0)
3 4 6 2
【答案】 D
【解析】将函数 f ( x) sin 2x cos 2x 2( 2 sin 2 x 2 cos2x) 2 sin(2 x ) 图象上
2 2 4
所有点向左平移 3 个单位长度，得到函数 g (x) 2sin(2 x ) 2sin 2x 的图象，
8
令 2x k ，求得 x
k
Z ，令 k 1 ，可得 g( x) 图象的一个对称中心为 (， k
2
11. 已知 f ( x) 是定义在 R 上偶函数，对任
意 x
R 都有 f
( x 3) f ( x) 且 f ( 1)
则 f (2020) 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】 C
【解析】由 f (x 3) f ( x) ，知函数 f (x) 为周期函数，且周期 T 3，
则 f (2020) f (3 673 1) f (1) f ( 1) 4 .
12. 过抛物线 C ： x2
2 py
（ p 0
）的焦点 F 的直线交该抛物线
于 A 、 B 两点，
若 4 AF BF ， O 为坐标原点，则
AF
（ ）
OF
A. 5 B. 3 C. 4 D. 5
4
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【答案】 A
【解析】由题意得 x2 2 py ，则 F (0, p ) ，所以 OF p ，
2 2
设直线 AB 的方程为 y kx
p
，设 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，且 x1 x2 ，
2
因为 4 AF BF ，所以 4AF BF ，则 x2 4x1 ，①
y
p
kx
2 pkx p 2 0 ，所以 x1 x2 2 pk ， x1x2 p2 ，②由 2 ，整理得 x2
x2 2py
联立①②可得 k 3 ，即直线 AB 的方程为 y 3 x p ，
4 4 2
y
3 p
x
2 ，整理得 2x2 3 px 2 p2 0 ，又 4
x2 2 py
解得 x 2p 或 x
p
，故 A( p , p ) ， B( 2 p, 2p) ，
2 2 8
所以根据抛物线的定义可知 AF p p 5 p ，所以
AF
5.
8 2 8 OF 4
第 Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13)~(21) 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第 (22)~(23) 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知某大学由大一 500 人，大二 750 人，大三 850 人 . 为该大学学生的身体健康状况，该大学负
责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查， 若在大二学生中随机抽取了 50 人，试问这次抽样
调查抽取的人数是 人 .
【答案】 140
【解析】根据题意可得抽样比
为
50 1
750
，
15
则这次抽样调查抽取的人数是 1 (500 750 850)
15
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x y 8
14. 若变量 x ， y 满足约束条件 x y 4 ，则 z x 2 y 的最大值为.
x 0, y 0
【答案 】 16
x y 8
【解析 】由约束条件 x y 4 作出可行域如图所示：
x 0, y 0
z x 2 y 可化为 y 1 x
z . 当直线过点 C (0,8) 时， z 取最大值，即 zmax 2 8 16 .
2 2
15. 已知 sin 2 3cos ，则 cos2 .
2
4
【答案 】
5
【解析 】由已知得 sin
2 cos2 1 ，解得 cos 1 ， cos22cos2
2
16. 已知一个正八面体的所有棱长均
为 2 ，则该正八面体的外接球的表面积为
【答案 】 4
【解析 】 ∵正八面体的所有棱长均为 2 ，∴外接球的直径为正八面体的体对角线长
所以球的半 R 1，故外接球的表面积为 S 4 R2 4 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17. （ 12 分）已知正项等比数列 { an } 满足
S3 S1 12 ， 2a2 3S1 14 .
（ 1）求数列 { an} 的通项公式；
（ 2）记 bn
1
，求数列 {bn} 的前 n 项和
Tn .
log 2 a2a 1 log 2 a2 n 1
文科数学 第 5 页（共 12 页） 文科数学 第 6 页（共 12 页）
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【答案 】（ 1） an 2n ；（ 2） T n .
n
2n 1
【解析 】（ 1）设数列 { an } 的公比为 q ，由已知
q 0，由题意得 a1q+a1q2 12 ，
3a1 2a1q 14
所以 7q
2 5q 18 0 ，解得 q 2 ， a1 2
. 因此数列 { an } 的通项公式为
an 2n .
（ 2）由（ 1）知，
bn 1
(2n
1
1)
1 ( 1 1 ) ，
log 2 a2 a 1 log 2 a2 n 1 1)(2n 2 2n 1 2n 1
∴ Tn
1 1 1 1 1 1 1 1
)
n
.
2
(1
3 5 2n 1 2n 1
) (1
2n3 2 2n 1 1
18.（ 12 分）经调查， 3 个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常
的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值
变化情况如下表：
n
?
xi yi nxy 8 8
i 1 ?
2
其中： b ， a? y bx ， xi 17232 ， xi yi 47384 .n
2
nx
2 i 1 i 1
xi
i 1
（ 1）请画出上表数据的散点图；
（ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求
出
y y bx a a? b 的
关于 x 的线性回归方程 ? ? ?. （ ， ?
值精确到 0.01 ）
（ 3）若规定，一个人的收缩压为标准值的 0.9 1.06 倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的
1.06 1.12 倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的 1.12 1.20 倍，则为中度高血压人群；收
缩压为标准值的 1.20 倍及以上，则为高度高血压人群 . 一位收缩压为 180mmHg 的 70 岁的老人，属
于哪类人群？
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【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析；（ 3）见解析 .
【解析】（ 1）画出散点图如图：
（2） x
28 32 38 42 48 52 58 62
8
45 ，
y 114 118 122 127 129 135 140 147 129 ，
8
8
∴ ? i
xi yi nxy
47384 8 45 129 118 ， ? ?1
0.91b 8
2 2 17232 8 45 129
a y bx 129 0.91 45 88.05.
nx
i 1
xi
∴回归直线方程为 y? 0.91x 88.05 .
（ 3）根据回归直线方程的预
测，
年龄为 70 岁的老人标准收缩压约为 0.91 70 88.05 151.75（ mmHg ），
∵ 180 1.19 ，∴收缩压为 180mmHg 的 70 岁老人为中度高血压人群 .
151.75
19. （12 分）已知椭圆 E ： x2 y2 1(a b
0) ，其短轴为
4 ，离心率为 e1 ，双曲线 x2
a2 b2 m
（ m 0 ， n 0 ）的渐近线为 y x ，离心率为 e2 ，且 e1 e2 1.
（ 1）求椭圆 E 的方程；
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（ 2）设椭圆 E 的右焦点为F ，过点 G(4,0) 作斜率不为 0 的直线交椭圆 E 于 M ， N 两点，设直线
FM 和 FN 的斜率为 k1 ， k2 ，试判断 k1 k2 是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，
请说明理由 .
【答案】（ 1） x2 y2 1 ；（ 2）见解析 .
8 4
【解析】（ 1）由题意可
知： 2b 4 ， b 2 ， n 1，双曲线的离心率 e2 1 n 2 ，
m m
则椭圆的离心率为 e1 2
，椭圆的离心率
e1 c 1 b2 2 ，则 a 2 2 .
2 a a2 2
∴椭圆的标准方
程：
x2 y2
1 .
8 4
（ 2）设直线 MN 的方程为 y k(x 4)( k 0)
y k (x 4)
，
x2 2 y2
，
8
消去 y 整理得： (1 2k 2 ) x2 16k2 x 32k 2 8 0 ，设 M (x1, y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，
则 x1 x2 16k 2 ， x1 x2 32k 2 8 ，
2k 2 1 2k 2 1
k1 k2
y1 y2 k (x1 4) k( x2 4)
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
k
( x1 4)( x2 2) ( x2 4)( x1 2) k
2x1 x2 6( x1 x2 ) 16
( x1 2)( x2 2) ( x1 2)( x2 2)
将 x1 x2
16k 2
， x1 x2
32k 2 8
，
2k 2 2k 2 11
代入上式
得 2 x1x2 6( x1 x2 ) 16 0，即 k1 k2 0 .
20. （ 12 分）在四棱锥
P ABCD 中，底面四边形 ABCD 中， AD / / BC ， AD BC ， AD DC ;
PAD 中 PA PD ， APD 60 ，平面 PAD 平面 PCD .
（ 1）证明： AB 平面 PCD ；
（ 2）若 AB 4 ， Q 为线段 PB 的中点，求三棱锥 Q PCD 的体积 .
【答案 】
（ 1）见解析；（ 2） VQ PCD
8 3
.
3
【解析 】
（ 1）由 AD / / BC ， AD BC ， AD
BC 可知，四边形
为 ABCD 为正方形，
由 PAD 中 PA PD ， APD 60 ，所以为 PAD 为等边三角形 . 取 PD 得中点 O ，
连接 AO ，因为 PAD 为等边三角形，所以 AO PD ，
又因为 AO 平面 PAD ，平面 PAD 平面 PCD ，所以 AO 平面 PCD ，
因为 CD 平面 PCD ，所以 AO CD ，因为底面 ABCD 为正方形，所以
因为 AO AD A ，所以 CD 平面 PAD，因为 AB / /CD ，所以 AB
（ 2）由
（ 1）得 AO 平面 PCD ，所以 A 到平面 PCD 的距离 d AO
因为底面 ABCD 为正方形，所以 AB / /CD ，
又因为 AB 平面 PCD ，所以 AB / / 平面 PCD ，
所以 A， B 两点到平面 PCD 的距离相等，均为 d ，
又 Q 为线段 PB 的中点，所以 Q 到平面 PCD 的距离 h
d
3 ，
2
由（ 1）知， CD 平面 PAD，因为 PD 平面 PAD ，所以 CD PD ，
所以 VQ
PC
D 1 S PCD h 1 1 4 4 3 8 3 .
3 3 2 3
21.
（ 12 分）已知函数 f (x) x ex a x2 1 ， a 1 ， e 2.718 为自然对数的底数 .
2
（ 1）当 a 0 时，判断 f (x) 零点个数并求出零点
（ 2）若函数 f (x) 存在两个不同的极值
点 x1 ， x2 ，求实数 a 的取值范围 .
【答案 】
（ 1） f ( x) 只有一个零点，零点为
0 ；（ 2）
0 a 1 .
【解析 】
（ 1）由题知： f ( x) 1 ex ax ，令 g (x) 1 ex ax ， g ( x)
当 a 0 ， g (x)
0 ，所以 f ( x) 在
( , ) 上单调递减，
因为 f (0) 0 ，所以 f ( x) 在 ( ,0) 上单调递增，在 (0, ) 单调递减，
所以 f (x) f (0) 0
，故 f ( x) 只有一个零点，零点
为 0 .
（ 2）由
（ 1）知： a 0 不合题意，
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当 0 a 1 时，因为 x ( ,ln a) ， g ( x) 0 ； (ln a, ) ， g ( x) 0；
又因为 f (0) 0 ，所以 f (ln a) 0 ；
1)
1
1 1 1 a 1又因为 f ( e a 0 ，因为函数 (a) ln a ， (a) 0 ， a (0,1) ，
a a a a2 a2
所以 ( a) (1) 1 0 ，及 1 ln a ，所以存在 x1 ( 1 ,ln a) ，满足 f ( x1 ) 0 ，
a a
所以 x ( , x1) ， f (x) 0； x ( x1 ,0) ， f ( x) 0 ， x (0, ) ， f (x) 0 ；
此时
f
(x) 存在两个极值
点 x1 ， 0 ，符合题意 .
当 a
1 时，因为
x ( ,0) ， g ( x) 0 ； x (0, ) ， g (x) 0 ；
所以 g( x) g (0) 0 ；所以 f (x) 0， f ( x) 在 ( , ) 上单调递减，
所以
f (x) 无极值点，不合题意 . 综上可得： 0 a 1 .
请考生在 22 、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22.（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极
点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1 ，
C2 的极坐标方程分别为 2sin ， cos( ) 2 .
4
（ 1）求 C1 和 C 2 交点的极坐标；
x
3
t2
（ 2）直线 l 的参数方程为： 2
（ t 为参数），直线 l 与 x 轴的交点为 P ，且与 C1 交于
A ，
y 1 t
2
B 两点，求 PA PB 的值 .
【答案 】（ 1） (2, ) ， ( 2, ) ；（ 2） PA PB 4 .
2 4
【解析 】（ 1）由 C1 ， C2 极坐标方程分别
为 2sin ， cos()2 .
4
化为平面直角坐标系方程分为 x2 ( y 1)2 1， x y 2 0 .
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得交点坐标为 (0, 2) ，
(1,1)
. 即 C1 和 C2 交点的极坐标分别
为 (2, ) ， ( 2, ) .
2 4
x 2 3 t
（ 2）把直线 l 的参数方
程：
2
（ t 为参数），
1
y t
2
代入 x2 ( y 1)2 2 ，得 ( 2 3 t )2 ( 1 t 1)2 1，
2 2
即 t
2 (2 3 1)t 4 0 ， t1t2 4 ，所以 PA PB 4 .
【选修 4-5：不等式选讲】
23. （10 分）已知函数 f ( x) x 1 3 x ，
x 1
.
（ 1）求不等式 f (x) 5 的解集；
（ 2）若 f ( x) 的最小值
为 n ，正数 a ， b 满足 2nab a 2b ，求 2a 4b 的最小值 .
【答案】（ 1） { x 1 x 7} ；（ 2） 2 .
2
【解析】（ 1）根据题意，函
数 f ( x) x 1 3 x ， x 1.
若 f ( x) 5 ，则有
x 1 3 x 5 x 1 x 3 5
1 x
7
1 x 3
或
x 3
，解
得 ，
2
故原不等式的解集为 { x 1 x 7} .
2
（ 2）函数 f ( x) x 1 3 x
4, 1 x 3
f (x) 的最小值为 4 ，即 n
2x 2, x
，分析可
得
3
则正数 a ， b 满足 8ab a 2b ，即 1 1 1，
4a 8b
2a 4b (2 a 4b) ( 1 1 ) 1 a b 1 2 a b 2 . 即 2a 4b 的最小值为 2 .
4a 8b 4b a 4b a
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