资料简介
2019-2020 年高考考前冲刺 数学理
一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数,则的虚部为（ ）
A．B． C． D．
2．已知全集,若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的零点为， 则所在的区间是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
4．设，则二项式展开式中含项的系数是（ ）
A．80 B．640 C．-160 D．-40
5．若执行右边的程序框图，输出的值为 4，则判断框中应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
6．已知实数、满足不等式组
0
03
013
x
yx
yx
，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．9
7．给出下列两个命题：命题：,当时，；命题：函数是偶函数.则下列命题是真
命题的是（ ）
A．B．C． D．
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知在中， 3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A ，则角的大小为
（ ）
A. B. C. 或 D.
10.已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
11.知双曲线, 、是实轴顶点,是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构
成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题～
第 24 题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13．设
1 cos [0,1]2( ) 1 (1, ]
x x
f x
x ex
（其中为自然对数的底数），则的图
象与直线，所围成图形的面积为 ．
14.已知是等差数列，若，则的值是 ．
15.四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，则由这 10 点构成的直线中，有对异面直线.
16.已知函数
2 2 1,( 2 0)( )
3,( 0)
ax x xf x
ax x
有 3 个零点，则实数的取值范围是.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)
和满足： 1 1 1sin cos ,sin cos ,sin cos ,A A B B C C
（1）求证：是钝角三角形，并求最大角的度数.
（2）求的最小值.
18. (本小题满分 12 分)
为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力
竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试
的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表．
分数（分数段） 频数（人数） 频率
[60，70） 9
[70，80） 0.38
[80，90） 16 0.32
[90，100）
合 计 1
（1）求出上表中的的值；
（2）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已
知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．
① 求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
② 记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望．
19.(本小题满分 12 分)
已知矩形 ABCD 与直角梯形 ABEF，，点 G 为 DF 的中点，，P 在线段
CD 上运动.
(1)证明：BF∥平面 GAC；
(2)当 P 运动到 CD 的中点位置时，PG 与 PB 长度之和最小，求二面角
P-CE-B 的余弦值。
20．（本小题满分 13 分）
已知 M（，0），N（2，0），曲线 C 上的任意一点 P 满足:．
(Ⅰ)求曲线 C 的方程；
(Ⅱ)设曲线 C 与 x 轴的交点分别为 A、B，过 N 的任意直线(直线与 x 轴不重合)与曲线 C 交于 R、Q 两
点,直线 AR 与 BQ 交于点 S.问:点 S 是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程；若不是,请说明
理由.
21．(本小题满分 12 分)
设函数.
（Ⅰ）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求证：.
请考生在第 22、23 题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，曲线.直线经过点，且倾斜角为.以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 )(6)( Rmxmxxf .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.
潮南区 xx 高考理科数学考前冲刺题（答案）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C A C B B A A D B B
二、填空题：13. 14.3 15.423 16.
三、解答题
17、解析：（1）不妨设，由 可得：
若，则
，三式相加可得： ，
等式显然不成立……………………3 分
若，则 ，显然不成立
，此时 ，三式相加可得：
，解得：……………………7 分
（2）由（1）可得：且
……………………10 分
（在处取得）……………………12 分
18、解析：（1）由题意知，由上的数据，所以
，同理可得：……………………4 分
（2）① 由（1）可得，参加决赛的选手共人
设事件为“甲不在第一位、乙不在第六位”
……………………7 分
② 随机变量的可能取值为
……………………10 分
所以的分布列为：
……………………12 分
19.解析：
（1）连接 BD 交 AC 于 M，连 MG，M 为 BD 的中点.…………2 分
∴MG 为△BFD 的中位线，
∴GM∥BF，而 BF 平面 GAC，MG 平面 GAC，
∴BF∥平面 GAC.………………………………………………5 分
（2）延迟 AD 至 N，使 DN=DG,连 PN,PG，则△PDG≌△PDN，∴PG=PN
当 P、B、N 三点共线时，PG 与 PB 长度之和最小，即 PG 与 PB 长度之和最小
∵P 为 CD 中点，∴AD=DN.
在△ADF 中，AD2+AF2=4DG2=4AD2，∴AD=1……………………6 分
AD,AB,AF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
∴
∴
… …
………………7 分
设为平面 PCE 的一个法向量，
令 .
同理可得平面 BCE 的一个法向量，…………………………10 分
设二面角 P-CE-B 的的大小为θ，θ为钝角，
∴求二面角 P-CE-B 的余弦值………………………………12 分
20.解：(Ⅰ)设点，得 。
代入，化简得。所以曲线C的方程为……4分
( Ⅱ ) （ 1 ） 当 直 线 的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 方 程 为 ， 将 直 线 方 程 代 入 曲 线 中 ， 化 简 得
。 设 点 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得
。……6分
在曲线C的方程中令y=0得，不妨设，则，则直线。
同理直线。 ……8分
由直线方程，消去，
得
所以点S是在直线上。 ……12分
21 解：（Ⅰ）由题意，＝在区间上恒成立
即 在区间上恒成立
而在区间上的最大值为故
经检验，当时， 当时，，
所以满足题意的的取值范围是 …………4 分
（Ⅱ）函数的定义域为，＝
依题意，方程在区间上有两个不相等的实根
记
则有 ，解得 0＜a＜………… 7 分
为方程的解，∴.
∵0＜a＜，，＝－，∴－＜＜0，从而＜0
先证＞0，因为，即证＜0
∵在区间内，＜0，在区间（，0）内，＞0
∴为极小值，＜
∴＞0 成立…………10 分
再证＋ln2，即证＞（－＋ln2）（－1－）＝（－ln2）（＋1）
令＝ ， x∈（－，0）
＝2－（4＋2）ln（＋1）－－ln2）
＝－2（2＋1）ln（＋1）－（－ln2）
又 ln（＋1）＜0，2＋1＞0，－ln2＜0
∴＞0，即在（－，0）上是增函数
＞（－）＝
＝＝－ln2
综上可得，成立 ………… 12 分
22．解：(1) 即,
. …………2 分
…………5 分
(2)
, …………8 分
…………10 分
23．解：（1）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得，成立，所以.…………………………………4 分
故不等式的解集为.…………………………………5 分
（Ⅱ）因为 ＝
由题意得，则，…………8 分
解得,
故的取值范围是.……………………………………………10 分
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