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资料简介
试卷类型：A
湖北省实验中学 2010 年高考考前最后冲刺试题
数学试卷（理工农医类）
审核人：王君 校对：陈亮
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。
3．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是满足题目要求的.
1．若 a R，则 1a 是复数 iaaz )1(12 是纯虚数的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.设函数 )02(2)( 2 xxxf ，其反函数为 )(1 xf ，则 )3(1f （ ）
A．－1 B．1 C．0 或 1 D．1 或－1
3.已知在等比数列{ }na 中, 1 3 4 6
510, 4a a a a ,则等比数列{ }na 的公比 q 的值为
（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. 2 D. 8
4．已知函数 ),0(),0(,)(
2
bxax
xaxf ，则下列判断正确的是（ ）
A.当 ab 时， )(xf 的最小值为 a2 ；
B.当 ab 0 时， )(xf 的最小值为 a2 ；
C.当 ab 0 时， )(xf 的最小值为
b
ba 2 ；
D.对任意的 0b ， )(xf 的最小值均为 a2 ．
5.若半径是 R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是（ ）
A. 4 3
27
B. 2 3
27
C. 3
3
D. 3
6
6．如图是函数 sin( )y A x ( 0, 0,| | )2A 在一个周期内的图象，M 、N
分别是最大、最小值点，且 OM ON ，则 A 的值为（ ）
A．
6
B． 2
6
C． 7
6
D． 7
12
7．设曲线 2 cos
sin
xy x
在点 ,22
处的切线与直线 1 0x ay 垂直，则 a ( )
A．2 B． 2 C． 1 D．1
8．用 5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶
数之间的五位数的个数为（ ）
A．120 B．72 C．48 D．36
9.某物流公司有 6 辆甲型卡车和 4 辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送 280t 货物
的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为 30t，运输成本费用为 0.9 千元；每辆乙型卡车
每天的运输量为 40t，运输成本为 1 千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的
数量是( )
A．6 B．5 C．4 D.3
10.已知点 P 为双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x )0,0( ba 的右支上一点, 1F 、 2F 为双曲线的左、
右焦点，使 0)( 22
PFOFOP (O 为坐标原点),且 21 3 PFPF ,则双曲线离心率为
（ ）
A.
2
16 B. 16 C.
2
13 D. 13
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位
置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.
11． 设集合 22 1, , ,A y y x x R B y y x x R ，则集合 A B
．
12．在二项式 nx)31( 的展开式中，若所有项的系数之和等于 64，那么在这个展开式
中， 2x 项的系数是 .（用数字作答）
13. 随机变量 服从正态分布 )16,50(N ，若 3.0)40( P ，则 )6040( P
.
14 ． 已 知 ,1|| e 且 满 足 |2||| eaea ， 则 向 量 a 在 e 方 向 上 的 投 影 等
O
M
N
12
5
6
x
y
于 .
15. 设 x 表示不超过 x 的最大整数，如 1.5 1, 1.5 2 . 若函数 x
x
a
axf
1
)(
（ 1,0 aa ），则 1 1
2 2g x f x f x
的值域为__________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分 12 分）
已知△ ABC 的周长为 )12(4 ，且sin sin 2 sinB C A ．
（Ⅰ）求边长 a 的值；
（Ⅱ）若 3sinABCS A ，求角A 的大小 （结果用反三角函数值表示）．
17．（本小题满分 12 分）
某社区举办2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有
10 张大小相同的精美卡片，卡片上 分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）
图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝 ”卡？主持人笑说：我只知道若
从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是
15
2 ，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用 表示获奖的人数，
求 的分布列及 E ．
18．（本小题满分 12 分）
在正三棱柱 111 CBAABC 中， 21 BCBB ，且 M 是
BC 的中 点，点 N 在 1CC 上.
（Ⅰ）试确定点 N 的位置，使 MNAB 1 ；
（Ⅱ）当 MNAB 1 时，求二面角 NABM 1 的大小.
19. （本小题满分 12 分）
已知点 B 为圆 A ： 2 2( 1) 8x y 上任意一点，点
B (-1,0)，线段 BB 的垂直平分线和线段 AB相交于点 M .
（Ⅰ）求点 M 的轨迹 E 的方程；
（Ⅱ）已知点 0 0( , )M x y 为曲线 E 上任意一点，
求证：点 0 0
0 0
3 2 4( , )2 2
x yP x x
关于直线 0 02 2x x y y 的对称点为定点，并求出该定点的坐
标.
20．（本小题满分 13 分）
已知定义在 ),0( 上的三个函数 ,)(),()(,1)( 2 xaxxhxafxxgnxxf
且 )(xg 在 1x 处取得极值.
（Ⅰ）求 a 的值及函数 )(xh 的单调区间；
（Ⅱ）求证：当 21 ex 时，恒有
)(2
)(2
xf
xfx
成立；
（Ⅲ）把 )(xh 对应的曲线 1C 按向量 m )6,0( 平移后得到曲线 2C ，求 2C 与 )(xg 对
应曲线 3C 的交点个数，并说明理由.
21.（本小题满分 14 分）
已 知 函 数 )(,0),1(2
1)( 1 nn afaxxxxf ， 对 于 任 意 的 Nn ， 都 有
nn aa 1 .
（Ⅰ）求 1a 的取值范围；
（Ⅱ）若
2
3
1 a ，证明 )2,(
2
11 1 nNna nn ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明 12
13
2
2
1
na
a
a
a
a
a
n
n .
湖北省实验中学 2010 年高考考前最后冲刺试题
数学试卷（理工农医类）参考答案审核人：王君
校对：陈亮
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A B A B C D D C D
11、 ,0],(- 12、 135, 13、0.4, 14、
2
1 , 15、{0,-1}
16. 解 (1)根据正弦定理，sin sin 2 sinAB C 可化为 2b c a ． ………3 分
联立方程组 4( 2 1)
2
a b c
b c a
，解得 4a ． 所以，边长 4a
(2) 3sinABCS A ，
∴ 1 sin 3sin 62 bc A A bc ， ．
又由(1)可知， 4 2b c ，
∴
2 2 2 2 2( ) 2 1cos 2 2 3
b c a b c bc aA bc bc
．
因此，所求角 A 的大小是 1arccos 3
．
17. 解：（1）设“世博会会徽”卡有 n 张，由
2
2
10
nC
C
=
15
2 ，得 n=4….3 分
故“海宝”卡有 6 张，抽奖者获奖的概率为
3
1
2
10
2
6
C
C …………………………5 分
（2） 可能取的值为 0，1，2，3，4，则.…. .….….….……………...….….…6 分
81
16)3
2()0( 4 P 81
32)3
2(3
1)1( 31
4 CP
81
24)3
2()3
1()2( 222
4 CP
81
8
3
2)3
1()3( 31
4 CP
81
1)3
1()4( 4 P ………………………………………..……………9 分
0 1 2 3 4
P 81
16
81
32
81
24
81
8
81
1
.... ...............................10 分
E 0×
81
16 +1×
81
32 +2×
81
24 +3×
81
8 +4×
81
1 =
3
4
81
108 …………………12 分
法二（1）设“海宝”卡有 n 张，由
15
2
2
10
2
10
C
C n 得 078192 nn
n=6 或 n=13（舍去） ……….………..................…………...3 分
故“海宝”卡有 6 张，抽奖者获奖的概率为
3
1
2
10
2
6
C
C …………………………5 分
（2） )3
1,4(~ B . …. .….…. . .……………...….….…6 分
)4,3,2,1,0()3
2()3
1()( 4
4 kCkP kkk
0 1 2 3 4
P 81
16
81
32
81
24
81
8
81
1
...................................10 分
E 3
4
3
14 np ……………………………………….12 分
18.
19. 解：
（1）连结 MB， MB MB , 2 2MA MB AB
故 2 2MA MB ，而 2AB
点 M 的轨迹是以 A、B 为焦点且长轴长为 2 2 的椭圆
点 M 的轨迹 E 的方程为
2
2 12
x y --------------------4 分
（2）证明：设点 0 0
0 0
3 2 4( , )2 2
x yP x x
关于直线 0 02 2x x y y 的对称点为 ( , )Q a b
所以
0
0 0
0 0
0
4
2 2
3 2
2
y bx y
x xax
，即
0 0 0 0(2 ) 2 (2 )( 1)bx x y x a ， 0 2x
0 02 ( 1) 0bx y a
因为上式对任意 0 0,x y 成立，故 1 0
0
a
b
所以对称点为定点 ( 1,0)Q .
20.
21.
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