资料简介
高二数学下学期期末联考试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试用时 120
分钟．祝各位同学考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．若 ),0(, ba ，则“ 122 ba ”是“ baab 1 ”的（ ）．
（A）必要非充分条件； （B）充分非必要条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件．
2．经过点（0，0），且与以（2，－1）为方向向量的直线垂直的直线方程为（ ）．
（A） 02 yx ； （B） 02 yx ；
（C） 02 yx ； （D） 02 yx ．
3．已知动点 P（ x ， y ）满足 yxyx 22)1( ，则点 P 的轨迹是（ ）．
（A）椭圆； （B）双曲线； （C）抛物线； （D）两相交直线．
4．（文科）给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条
直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行．
其中真命题的个数是（ ）．
（A）4； （B）3； （C）2； （D）1．
（理科）对于任意的直线l 与平面 ，在平面 内必有直线 m ，使 m 与l （ ）．
（A）平行； （B）相交； （C）垂直； （D）互为异面直线．
5．若关于 x 的不等式 axx 11 的解集为 ，则实数 a 的取值范围为（ ）．
（A） )2,( ； （B） ]2,( ； （C） ),2( ； （D） ),2[ ．
6．已知直线l ： 2 axy 与以 A（1，4）、B（3，1）为端点的线段相交，则实数 a
的取值范围是（ ）．
（A）
3
1a ； （B） 23
1 a ； （C） 2a ； （D）
3
1a 或 2a ．
7．已知圆 C： 4)2()( 22 yax )0( a 及直线l ： 03 yx ．当直线l
B
CA
P
被圆 C 截得的弦长为 32 时，则 a （ ）．
（A） 2 ； （B） 22 ； （C） 12 ； （D） 12 ．
8．已知点 A（3，2），F 为抛物线 xy 22 的焦点，点 P 在抛物线上移动，当 PFPA
取得最小值时，点 P 的坐标是（ ）．
（A）（0，0）； （B）（2，2）； （C）（－2，－2） （D）（2，0）．
9．（文科）已知 0a ， 0b ， 121
ba
，则 ba 的最小值是（ ）．
（A） 24 ； （B） 223 ； （C） 22 ； （D）5．
（理科）已知 4x ，则
42
542
x
xxy 有（ ）．
（A）最大值
4
5 ； （B）最小值
4
5 ； （C）最大值 1； （D）最小值 1．
10．点 P 是双曲线 1124
22
yx 上的一点， 1F 和 2F 分别是双曲线的左、右焦点，
021 PFPF ，则 21PFF 的面积是（ ）．
（A）24； （B）16； （C）8； （D）12．
11．如图 1，PA⊥平面 ABC，∠ACB＝ 90 ，且 PA ＝AC＝BC＝ a ，则异面直线
PB 与 AC 所成的角是（ ）．
（A）
2
1arctan ； （B） 2arctan ；
（C）
3
2arctan ； （D） 3arctan ． 图 1
12．（文科）已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的左，右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P
在椭圆上，且 21 3 PFPF ，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）．
（A）
3
2 ； （B）
2
1 ； （C）
3
1 ； （D）
4
1 ．
（理科）已知 E、F 是椭圆 124
22
yx 的左、右焦点， l 是椭圆的一条准线，点 P
P
M
N
A
B C
D
在l 上，则∠EPF 的最大值是（ ）．
（A） 15 ； （B） 30 ； （C） 45 ； （D） 60 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上．
13． m ， n 是空间两条不同直线， , 是两个不同平面，下面有四个命题：
①若 m ， //n ， // ，则 nm ；
②若 nm ， // ， m ，则 //n ；
③若 nm ， // ， //m ，则 n ；
④若 m ， nm // ， // ，则 n ．
其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）
14．对于圆 1)1( 22 yx 上任一点 ),( yxP ，不等式 0 myx 恒成立，则实
数 m 的取值范围 ．
15．设 yx, 满足约束条件：
,02
,02
,1
yx
yx
yx
则目标函数 yxz 2 的最大值是 ．
16．已知抛物线 0882 22 yxyxyx 的对称轴为 0 yx ，焦点为（1，1），
则此抛物线的准线方程是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
17．（12 分）设 0a ，解关于 x 的不等式： 11
)2(
x
xa ．
18．（12 分）过抛物线 pxy 22 的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点 A、B，
经过点 A 和抛物线顶点的直线交准线于点 M．
求证：（Ⅰ） 2pyy BA ；
（Ⅱ）直线 MB 平行于抛物线的对称轴．
19．（12 分）如图 2，已知四边形 ABCD 为矩
形，PA⊥平面 ABCD，M、N 分别为 AB、PC 的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥CD．
x
P
B
A
O
N
M
（Ⅱ）在棱 PD 上是否存在一点 E，使得 图 2
AE∥平面 PMC？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由．
20．（12 分）如图 3，过圆 222 Ryx 上的动
点 P 向圆 222 ryx （ 0 rR ）引两条切线
PA、PB，切点分别为 A、B，直线 AB 与 x 轴、 y
轴分别交于 M、N 两点，求△MON 面积的最小值．
21．（12 分）已知 Rba , ， 1x ，
求证： 22222 )()1( babx
xax ．
22．（14 分）文科做（Ⅰ）、（Ⅱ）；理科做（Ⅰ）、（Ⅲ）． 图 3
已知点 B（2，0）， )22,0(OA ，O 为坐标原点，动点 P 满足
34 OAOPOAOP ．
（Ⅰ）求点 P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）当 m 为何值时，直线l ： mxy 3 与轨迹C 相交于不同的两点 M、N，且
满足 BNBM ？
（Ⅲ）是否存在直线l ： )0( kmkxy 与轨迹C 相交于不同的两点 M、N，且满
足 BNBM ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案与提示:
一、选择题
1—5 BDBCB； 6—12 BCBBD BB．
提示：
1．由 0)1)(1(10,10122 bababa baab 1 ；
反之由 0)1)(1( ba 不能推得 10,10 ba ．
故“ 122 ba ”是“ baab 1 ”的充分非必要条件．选（B）．
2．由题设知已知直线的斜率为
2
1 ，∴所求直线的斜率为 2；
又所求直线过原点，故 02 yx 为所求．选（D）．
3．由题设知动点 P 到定点（1，0）的距离和它到定直线 0 yx 的距离的比是常
数 2 ，根据双曲线的第二定义可得点 P 的轨迹为双曲线．选（B）．
4．（文科）①、④正确，选（C）．
（理科）对于任意的直线l 与平面 ，若l 在平面 内，则存在直线 m⊥l ；
若l 不在平面 内，且l ⊥ ，则平面 内任意一条直线都垂直于l ；
若l 不在平面 内，且l 与 不垂直，则它的射影在平面 内为一条直线，在平面
内必有直线 m 垂直于它的射影，则 m ⊥l ．故选（C）．
5．由 2)1()1(11 xxxx 知 2a ．选（B）．
6．由 A（1，4）、B（3，1）在直线l 上或其异侧得 0)13)(2( aa ．
解得 23
1 a ．选（B）．
7．设截得的弦为AB，圆心为 )2,(aC ，作 ABCH 于H，则由平几知识得 1CH ．
由此得 1
2
32 aCH ，解得 12 a ．选（C）．
8．点 A 在抛物线含焦点区域，过 A 作 AP 垂直于抛物线的准线交抛物线于点 P，则
由抛物线的定义知点 P（2，2）为所求点．选（B）．
D
P
A C
B
9．（文科） 22323)21)((
a
b
b
a
bababa ，选（B）．
（理科）令 )2(2 txt ，则 )1(2
1
42
54)(
2
ttx
xxtf
．
)(tf 在 ),2[ 上是单调递增函数，故 y 的最小值是
4
5)2( f ．选（B）．
10．由 021 PFPF 得 644 22
2
2
1 cPFPF ， 4221 aPFPF ．
∴
2
1
21
PFFS 21 PFPF ＝12．选（D）．
11．如图，过 B 作 BD∥CA，且满足 BD＝CA，
则∠PBD 为 PB 与 AC 所成的角．
易得四边形 ADBC 为正方形，
由 PA⊥平面 ABC 得 BD PD．
在 Rt△PDB 中， aPD 2 ，
aDB ， 2tan
DB
PDPBD ．选（B）．
12．（文科）由题设和焦半径公式得 )(442 221 PexaPFPFPFa ．
axP 0 ．∴ eaexa P 22 ．即
2
1e ．选（B）．
（理科）不妨设右准线l 交 x 轴于点 A，由平几知识知过 E、F 的圆且与l 相切于点 P
时，∠EPF 最大．由圆幂定理得 62232 AFAEAP ．
易得∠FPA＝ 30 ，∠EPA＝ 60 ，从而∠EPF＝ 30 为所求最大值，故选（B）．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上．
13．①、④； 14． ,12[ ）； 15．
3
5 ； 16． 02 yx ．
提示：13．②、③为假命题；①、④为真命题．
14．设点 )sin1,(cos P ，由题设得 0sin1cos m ．
即 sin1cos um 恒成立．而 211)4sin(2 xu ，
∴ 21 m ．故 m 的取值范围为 ,12[ ）．
15．如图，作出不等式表示的可行域（阴影部分）
和直线l ： 02 yx ，将l 向右上方平行移动，使其经过可
行域内的点Ａ )3
1,3
2( 时， yxz 2 取得最大值．
故当
3
2x ，
3
1y 时，
3
5
max z ．
16．对称轴 0 yx 与抛物线的交点（0，0）为抛物线的顶点，且抛物线的准线垂
直于对称轴，焦点（1，1）关于顶点（0，0）的对称点（－1，－1）在准线上，故所求
准线方程为 02 yx ．
三、解答题
17．不等式整理得 01
)12()1(
x
axa ．
当 1a 时，不等式为 01
)1
12)(1(
x
a
axa
．……………（3 分）
①当 10 a 时， 11
12
a
a ，原不等式解集为
),1()1
12,(
a
a ；……………（6 分）
②当 1a 时，不等式解集为 ),1( ；……………（9 分）
③当 1a 时， 11
12
a
a ，原不等式解集为 )1
12,1(
a
a ．……………（12 分）
18．（Ⅰ）AB 方程为
2
pmyx ，代入抛物线 pxy 22 方程得
02 22 ppmyy ．……………（3 分）
由韦达定理得 2pyy BA ．……………（5 分）
（Ⅱ）OA 方程为 xx
yy
A
A ，与准线方程联立解得 M )2,2(
A
A
x
pyp ．………（8 分）
∴ B
B
AA
A
A
A
M y
y
p
p
y
p
y
yp
x
pyy
2
22
2
2
2
．……………（11 分）
故直线 MB 平行于抛物线的对称轴．……………（12 分）
19．（Ⅰ）取 AC 的中点 O，连结 NO，MO，
由 N 为 PC 的中点得 NO∥PA．……………（2 分）
又 PA⊥平面 ABCD，∴NO⊥平面 ABCD．……………（4 分）
O
E
D
CB
A
N
M
P
又∵OM⊥AB，由三垂线定理得 AB⊥MN．
又∵CD∥AB，∴MN⊥CD．……………（6 分）
（Ⅱ）存在点 E，使得 AE∥平面 PMC．
此时点 E 为 PD 的中点．……………（8 分）
证明如下：取 PD 的中点 E，连结 NE，
由 N 是 PC 的中点得 NE∥CD， CDNE 2
1 ．
又 MA ∥CD， CDMA 2
1 ，
∴MA∥NE，MA＝NE．
由此可知四边形 MNEA 是平行四边形，
∴AE∥MN．
由 MN 平面 PMC， AE 平面 PMC，
∴AE∥平面 PMC．……………（12 分）
20．设 ),( 00 yxP 为圆 222 Ryx 上任一点，则
cos0 Rx ， sin0 Ry ．
由题设知 O、A、P、B 在以 OP 为直径的圆上，该方程为
2
2
0
2
02020 )2()2()2( yxyyxx
．……………（4 分）
而 AB 是圆 222 ryx 和以 OP 为直径的圆的公共弦，将这两圆方程相减得
直线 AB 的方程为 2
00 ryyxx ．
∴ )0,(
0
2
x
rM ， ),0(
0
2
y
rN ．……………（8 分）
2
4
2
44
00
4
2sinsincos222
1
R
r
R
r
RR
r
yx
rONOMS MON
．
故△MON 面积的最小值为 2
4
R
r ．……………（12 分）
21．∵ 22222 )()1( babx
xax abb
x
xax 2
)1(
12)1( 2
2
22
，……（3 分）
∵ 1x ，∴
1
1
)1(
12
22
xx
x 0
)1)(1(
2
2
2
xx
x ，
即
1
1
)1(
12
22
xx
x ．……………（6 分）
∴ abb
x
xax 2
)1(
12)1( 2
2
22
abb
x
ax 2
1
1)1( 2
2
22
0222
1
1)12 2
2
22
abababb
x
ax ，……………（11 分）
故 22222 )()1( babx
xax ．……………（12 分）
22．（Ⅰ）设点 ),( yxP ，则 )22,( yxOAOP ， )22,( yxOAOP ．
由题设得 34)22()22( 2222 yxyx ．………（3 分）
即点 P 到两定点（0， 22 ）、（0，－ 22 ）的距离之和为定值 34 ，故轨迹C 是
以（0， 22 ）为焦点，长轴长为 34 的椭圆，其方程为 1124
22
yx ．……（6 分）
（Ⅱ）设点 M ),( 11 yx 、N ),( 22 yx ，线段 MN 的中点为 ),( 000 yxM ，
由 BNBM 得 0BM 垂直平分 MN ．
联立
.123
,3
22 yx
mxy 消去 y 得 012326 22 mmxx ．
由 0)12(24)32( 22 mm 得 6262 m ．………（10 分）
∴
322
21
0
mxxx ，
2)
32
(30
mmmy ．即 )2,
32
(0
mmM ．
由 0BM ⊥ MN 得 13
2
32
2
0
m
m
kk MNBM ．
故 32m 为所求．………（14 分）
（Ⅲ）若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点 M ),( 11 yx 、N ),( 22 yx ，且满足
BNBM ，令线段 MN 的中点为 ),( 000 yxM ，则 0BM 垂直平分 MN ．
联立
.123
,123
2
2
2
2
2
1
2
1
yx
yx
两式相减得 ))(())((3 21212121 yyyyxxxx ．
∴ ky
x
yy
xx
xx
yykMN
0
0
21
21
21
21 3)(3 ．
又由 0BM ⊥ MN 得
kx
yk BM
1
20
0
0
．∴ 10 x ，
ky 3
0 ．
即 )3,1(0 kM ．………（10 分）
又点 0M 在椭圆C 的内部，故 123 2
0
2
0 yx ．即 12)3()1(3 22
k
．
解得 1k .又点 )3,1(0 kM 在直线l 上，∴ mkk
3 ．
∴ 3233
kkkkm （当且仅当 3k 时取等号）．
故存在直线l 满足题设条件，此时 m 的取值范围为
）， 32[]32,( ．………（14 分）
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记