资料简介
高二数学上学期期末模拟试卷
命题人：李正洋 审核人：张达连
时间：120 分钟 分值：160 分 使用时间：2008.01
一、填空题
1、样本 a1, a2, a3, …, a10 的平均数为 X ，样本 b1, b2, b3, …, b20 的平均数为Y ,则样本 a1，a2，a3，…，
a10, b1，b2，b3，…，b20 的平均数为(用 X ,Y 表示) ________.
2、抛物线 )0(2 aaxy 的焦点坐标是 _____.
3、已知条件 : 1 2p x ，条件 2:5 6q x x ，则 p 是 q 的 _______条件.
4、为了解 1200 名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 30 的样本考
虑采取系统抽样，则分段的间隔(抽样距)k 为 _____.
5、以下给出的是计算 1 1 1 1
2 4 6 20
的值的一个流程
图(如图所示)，其中判断框内应填入的条件是_______.
6、写出命题：“至少有一个实数 x , 使 3 2x =0”的否
定 .
7、经过点 )62,62( M 且与双曲线 134
22
yx 有共同渐
近线的双曲线方程为 ________.
8、口袋内装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球，其
中有 45 个红球，从中摸出 1 个球，摸出白球的概率为
0.23，则摸出黑球的概率为 ．
9、（文科班）已知函数 3 2( ) (2 1) 2f x ax a x ，若
1x 是 ( )y f x 的一个极值点，则 a ．
（理科班）已知向量 ,3,5 krjibkjima
若
//a b
则实数 m ______， r _______.
10、已知椭圆
2 2
19 1
x y
k k
的离心率 2
2e ，则 k 的值等于________________.
11、记定点 )3
10,3(M 与抛物线 xy 22 上的点 P 之间的距离为 d1，P 到抛物线准线 L 的距
离为 d2，则当 d1+d2 取最小值时，P 点坐标为________________.
12、若双曲线
2 2
14 5
x y 上一点 P 到右焦点的距离为 8，则 P 到左准线的距离为________.
13、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为 m 和 n，则 m n 的概率为 .
14、（文科班）已知函数 3 2f x x ax b 的图象在点 1,0P 处的切线与直线3 0x y 平行，
则 ______, _______a b .
开始
s←0,n←2,i←1
1s s n
n←n+2
i←i+1
否
结束
是
输出 s
（理科班）若 19(0,2, )8A ， 5(1, 1, )8B ， 5( 2,1, )8C 是平面 内的三点，设平面 的法向
量 ),,( zyxa ，则 zyx :: ________________.
二、解答题
15、已知条件 p ： 02082 xx ， 012: 22 axxq .若 p 是 q 的充分而不必要条件，
求正实数 a 的取值范围.
16、已知双曲线过点 P )4,23( ，它的渐近线方程为 xy 3
4
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设 F1 和 F2 是这双曲线的左、右焦点，点 P 在这双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求
∠F1PF2 的大小.
17、（文科班）同时掷 3 个骰子。求：（1）三个骰子的点数都是 4 的概率； （2）三个骰子的点
数和小于 5 的概率。（3）三个骰子的点数至少有两个相同的概率；
（理科班）已知正方形 ABCD ，边长为 2，正方形内任意一点的选取都是等可能的，任选一
点 P ，作 PM AB 于 M ， PN AD 于 N ，矩形 PMAN 的面积为 S 。
（1）请建立适当的坐标系，设 ( , )P x y ，作出满足 1S 的 P 点的区域，并写出 ,x y 满足的条
件；
（2） 1S 的概率大于 0.5 吗？试通过计算说明。
18、（文科班）已知曲线 ( ) ( ln )f x x a b x 过点 P（1，3），且在点 P 处的切线恰好与直线
2 3 0x y 垂直. 求(Ⅰ) 常数 ,a b 的值； (Ⅱ) ( )f x 的单调区间.
（理科班）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA 底面 ABCD ，
3AB ， 1BC ， 2PA ， E 为 PD 的中点.
（Ⅰ）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE 面 PAC ，并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.
A
B
D
C
19、（文科班）设曲线 2:C y x 上的点 0 0 0, , 0P x y x ，过 P 作曲线C 的切线。
(1) 若 0 2x ，求过点 P 的切线方程；
（2）设曲线 C 焦点为 F ，切线与 y 轴交于 A，求证: AFP△ 是等腰三角形。
（理科班）在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， O 正方形 1 1 1 1A B C D 的中心，点 P 在
棱 1CC 上，且 1 4CC CP .
（1）求直线 AP 与平面 1 1BCC B 所成角的余弦值；
（2）设点O 在平面 1D AP 上的射影为 H ，求证： 1D H AP ；
（3）求点 P 到平面 1ABD 的距离.
20、如图，A 为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上的一个动点，弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2，当 AC
垂直于 x 轴时，恰好有 AF1：AF2＝3：1.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设 1 1 1 2 2 2,AF F B AF F C .
①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时，求 1 2 的值；
②当 A 点为该椭圆上的一个动点时，试判断 1 2 是否
为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.
A
B
C
x
y
F1 F2
东沟中学高二数学期末模拟试卷参考答案
一、填空题(14*5=70 分)
1、 2
3
x y 2、 1(0, )4a 3、充分不必要 4、40 5、 10i
6、 3, 2 0x R x 7、
2 2
16 8
y x 8、0.32 9、（文）2；（理） 115, 5
10、 11 19
3 3
或 11、 (2 2)， 12、 8 83
或 13、 3
5 14、（文） 3 2 ，；（理） 2 3 ( 4)：：
二、解答题
15、 0 3a
16、解（1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为 23 的点 P 的纵坐
标绝对值为 24 ， 424 ∴双曲线的焦点在 x 轴上，设方程 12
2
2
2
b
y
a
x
∵双曲线过点 11618)4,23( 22
ba
P ① 又
3
4
a
b ②
由①②得 16,9 22 ba ，∴所求的双曲线方程为 1169
22
yx …………6 分
（2）证|PF1|=d1，|PF2|=d2，则 d1·d2=32
又由双曲线的几何性质知|d1－d2|=2a=6…………8 分
362 21
2
2
2
1 dddd 即有 100236 21
2
2
2
1 dddd ………………10 分
又|F1F2|=2c=10 2
2
2
1
2
2
2
1
2
21 ||||100|| PFPFddFF
△PF1F2 是直角三角形， 9021PFF ………………………………12 分
17、解：（文）（1） 1 1
6 6 6 216
；（2） 1 3 1
6 6 6 54
；（3） 6 5 4 41 6 6 6 9
（理）（1）以 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， A 为坐标原点建立直角坐标系。 ,x y 满足：
0 2,0 2, 1x y xy 所围成的区域。
（2）阴影部分面积 2 2
11
12 1 1 2ln 1 2ln 2 1 ln 4 1dx xx
使得 1S 的概率 ln 4 1 1 1 1
4 4 2
18、解（文）(Ⅰ)据题意 (1) 3f ，所以 3a （1）
1( ) ( ln ) lnf x a b x x b a b b xx
，
又曲线在点 P 处的切线的斜率为 3
2
，
∴ (1) 3f ，即 3
2a b （2）由（1）（2）解得 33, 2a b .
（Ⅱ） 3 3 3( ) ln (1 ln )2 2 2f x x x . ∴当 (0, )x e 时， ( ) 0f x ；当 ( , )x e 时，
( ) 0f x .∴ ( )f x 的单调区间为 (0, ) , ( , )e e ，在区间 (0, )e 上是增函数，在区间 ( , )e
上是减函数.
（理）（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 , , , , ,A B C D P E 的坐标为 (0,0,0)A 、
( 3,0,0)B 、 ( 3,1,0)C 、 (0,1,0)D 、
(0,0,2)P 、 1(0, ,1)2E ，
从而 ).2,0,3(),0,1,3( PBAC
设 PBAC与 的夹角为 ，则
,14
73
72
3
||||
cos
PBAC
PBAC ∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为
14
73 .
（Ⅱ）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为 ( ,0, )x z ，则
)1,2
1,( zxNE ，由 NE 面 PAC 可得，
.02
13
,01
.0)0,1,3()1,2
1,(
,0)2,0,0()1,2
1,(
.0
,0
x
z
zx
zx
ACNE
APNE 化简得即 ∴
1
6
3
z
x
即 N 点的坐标为 )1,0,6
3( ，从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 31, 6
.
19、解：（文）（1） ' 2y x ，切线方程为 4 4 2y x ，即 4 4y x
（2） 0 0,x y 处切线方程： 0 0 02y y x x x ，将 0x 代入，
得 2
0 0 0 0 0 02 2 0Ay y x y y y y ，焦点 F 坐标 10, 4
，
0
1
4AF y ，又 0 0
1
2 4
pPF y y ， AF PF ，即 AFP 是等腰三角形。
（理） 102 103P 复习题第 13 题
20、解（Ⅰ）设 2| |AF m ，则 1| | 3AF m .由题设及椭圆定义得
2 2 2(3 ) (2 )
3 2
m m c
m m a
，
消去 m 得 2 22a c ，所以离心率 2
2e .
(Ⅱ) 由(1)知， 2 2 21
2b c a ，所以椭圆方程可化为 2 2 22 2x y c .
①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时， 1 2 ，直线 1AF 的方程为 y x c .
由 2 2 22
y x c
x y a
得 23 4 0x cx ，解得 1 2
40 , 3x x c ，
∴ 点 B 的坐标为 4 1( , )3 3c a .
又 1( ,0)F c ，所以 1
2| | 3F B c ， 1| | 2AF c ，所以 1 3 ， 1 2 6 .
②当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 1 2 为定值 6.
证明 设 0 0( , )A x y ， 1 1 2 2( , ) , ( , )B x y C x y ，则 2 2 2
0 02x y a .
若 A为椭圆的长轴端点，则 1 2, ,a c a c
a c a c
或 1 2,a c a c
a c a c
，
所以
2 2
1 2 2 2
2( ) 6a c
a c
.
若 A为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由 1 1 1 2 2 2,AF F B AF F C 得，
0 0
1 2
1 2
,y y
y y
，所以 1 2 0
1 2
1 1( )y y y
.
又直线 1AF 的方程为 0
0
x cx c yy
，所以由
0
0
2 2 22 2
x cx c yy
x y c
得
2 2 2 2
0 0 0 0 0[2 ( )] 2 ( ) 0y x c y cy x c y c y . 2 2 2
0 02 2x y c ，
∴ 2 2
0 0 0 0(3 2 ) 2 ( ) 0c x y y x c y cy .
由韦达定理得
2
0
0 1
03 2
cyy y c x
，所以 0
1
03 2
cyy c x
. 同理 0
1
03 2
cyy c x
.
∴ 0 0
1 2 0 0
1 2 0 0
3 2 3 21 1( ) ( ) 6c x c xy yy y cy cy
.
综上证得，当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 1 2 为定值 6.
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