天天资源网 / 初中数学 / 二轮复习 / 八年级数学下册第一章复习提纲
资料简介
第 17 章分式 全章考点复习指导
一.分式的定义：
［知识点解析］注:A÷B=A×1/B =A×B-1= A•B-1。有时把 写成负指数即 A•B-1,只是在形式上
有所不同,而本质里没有区别.
［方法指导］：是不是分式的关键在，分母是不是有表示未知数的字母。
［例题解析］在代数式 13 2x 、5
a
、 26x y 、 3
5 y
、
2 3
a b 、
2 32
5
ab c 、
1 中，分式有（ ）.
（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个
［详解］：分式的定义中分母一定要有未知字母， 5
a
和 3
5 y
是分式，故选择 C。
［注意］： 是常数，不是未知字母。
［精典练习］：
二. 分式的意义：对于任意一个分式，分母都不能为 0，否则分式无意义。
［知识点解析］：分母为 0，分式无意义；分式有意义，分母不为 0
［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子。
［例题解析］例 当 取何值时，下列分式有意义？
（1） ； （2） ；
［详解］：（1）要使 有意义， 2x （2）要使 有意义，
4
1x
［注意］：分式有意义只须分母不为 0，与分子无关。
［精典练习］：1.使式子
1
1
x
有意义的 x 的取值范围为（ D ）.
A、x＞0 B、x≠1 C、x≠－1 D、x≠±1
2、同时使分式 2
5
6 8
x
x x
有意义，又使分式
2
2
3
( 1) 9
x x
x
无意义的 x 的取值范围是（ D ）
A. 4 2x x 且 B. 4 2x x 或 C. 4x D. 2x
3. 1. 分式
5
5
x
x ，当 ______x 时有意义； 参考答案： 5x
4.下列分式，当 x=－3 时，无意义的是（ D ）
A
93
13
x
x B
36
32
x
x C
155
23
x
x D
155
92
x
x
三.分式值为 0 的条件
［知识点解析］：在分母不等于 0 的前提下，分子等于 0,则分数值为 0。
［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子。
［例题解析］例 当 取何值时，下列分式的值为零？
（1） ； （2） ；
［详解］：(1) 3x (2) 2x
［注意］：(2)中的 2x 使分母为 0，应该舍去。
［精典练习］：1.当 时，分式 的值为零 参考答案： 1x
2.当 时，分式 的值为零 参考答案： 1x
3.当 时，分式 的值为零 参考答案：不存在
4.当式子 2
5
4 5
x
x x
的值为零时，x 的值是（ B ）
A、6 B、-5 C、-1 或 5 D、-5 或 5
四. 分式的基本性质和约分
1.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分．
［知识点解析］：约分前必须保证分子分母都完全分解因式，就是分子分母全是因式的乘积。
约分就是分子分母同时除以相同的因式。
约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,
将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公
因式约去.
［方法指导］：1. 公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分
母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
2.若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成
乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式
［例题解析］例：约分
44
4
2
2
xx
x
［详解］：
44
4
2
2
xx
x ＝ 2)2(
)2)(2(
x
xx ＝
2
2
x
x .
［注意］：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解
因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们
把这样的分式称为最简分式.
［精典练习］：1.下列约分，结果正确的是（ D ）
A.
6
3
2
x xx
B. x m m
x n n
C.
2 2x y x yx y
D. 1x y
x y
2. 计算
yx
x
x
yxyx 2
2
2 )( 的结果是-----------------------------------------------（ A ）
A
yx
x
2
2
B yx 2 C
y
1 D
y1
1
五.最简分式和最简公分母:
［知识点解析］：一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般
将一个分式化为最简分式.
［方法指导］：1.最简分式的分子分母不能再同时整除一个式子或字母、数字。
2.最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高
次幂及单独字母的幂的乘积.
［例题解析］：例 1.求分式 43223 6
1,
4
1,
2
1
xyyxzyx
的（最简）公分母。
［详解］：对于三个分式的分母中的系数 2，4，6，取其最小公倍数 12；对于三个分式的分
母的字母，字母 x 为底的幂的因式，取其最高次幂 x3，字母 y 为底的幂的因式，取其最高次
幂 y4，再取字母 z。所以三个分式的公分母为 12x3y4z。
例 2. 求分式 224
1
xx
与
4
1
2 x
的最简公分母。
［详解］：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即
4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即
2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
［注意］：找最简公分母的步骤：
1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取
正数）即为最简公分母
［精典练习］分式 1
a b
、 2 2
2a
a b
、 b
b a
的最简公分母为（ D ）.
（A） 2 2( )( )( )a b a b a b （B） 2 2( )( )a b a b （C） 2 2( )( )a b b a （D） 2 2a b
六..通分
［知识点解析］：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.
［方法指导］：先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时
各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.
［例题解析］：若分式
yx
yx
中的 x、y 的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值（ ）
A、不变 B、是原来的 3 倍 C、是原来的
3
1 D、是原来的
6
1
七 分式的四则运算
［知识点解析］：1.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减.
2.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算.
3.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母.
4.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘.
［方法指导］：注意一定要按运算顺序运算。
［例题解析］：例 1.计算：
11
1
2
a
a
a
a .
［详解］：解法 1：原式= 1)1)(1(
1
)1)(1(
1
)1)(1(
)1(
)1)(1(
1 22
aa
a
aa
aaa
aa
aa
aa
a .
解法 2：原式= 11
1
11
1
1)1)(1(
1
a
a
a
a
aa
a
aa
a .
［注意］：异分母分式的加减法可用通分后再加减；若能先约分的，则先化简，一般可起到
简便运算的效果．
例 2.化简： )2(1
2
1 yxx
yx
yxx
［详解］：解法 1：原式
x
xyx
yxxx
yxx
x
yx
yxx 2
)21)((1
2
1]2
)(2
2[1
2
1
x
x
x 2
21
2
1 12
2
x
x
解法 2：原式 112
1
2
1
2
1
2
1
xxyx
yx
x
yx
yxx
［注意］：本题可按运算顺序先算括号再乘除后加减；或利用乘法分配率起到简便运算功效．
例 3.先化简代数式
1)
12
1
1
1( 2
a
a
aaa
a ，然后选取一个使原式有意义的 a
值代入求值.
［详解］：原式
1
1
)1(1]
)1(
1
)1(
)1)(1([ 2
2
22
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
aa ．
1a 且 0a ，若 ,2a 则原式 2 .
［注意］：若原题改为先化简代数式
22 )1(
)
12
1
1
1(
a
a
aaa
a ，然后选取一个你喜欢的 a
的值代入求值．则化简得原式 a ，但仍然要考虑使原式有意义，即 1a 且 0a ．
例 4.先化简,再求值: )21(
22
22
22
ab
ba
abba
ba
,其中 5 11a , 3 11b .
［详解］：原式 )22
2(
22
22
22
ab
ba
ab
ab
abba
ba
baba
ab
baab
baba
2
)(
2
)(
))((
2
当 5 11a ， 3 11b 时，原式 1 .
［注意］：分式的除法没有分配律，避免出现原式
ab
ba
abba
ba
abba
ba
21
22
22
22
22
22
的
错误
例 5.已知实数 a 满足 0822 aa ，求
34
12
1
3
1
1
2
2
2
aa
aa
a
a
a
的值．
［详解］：化简得原式 2)1(
2
a
由 0822 aa 知， 9)1( 2 a ；
［注意］：整体代入，起到降次化简的显著效果．
［精典练习］1. 计算：
（1）
xy
yx
xy
yx 2)(2 ）（
；（2）
xy
yx
xy
yx 22 )()(
参考答案：（1）
xy
yx
xy
yx 22 )()( ＝
xy
yxyx 22 )()(
＝
xy
yxyxyxyx 2222 22 ＝
xy
yx )(2 22 （2）
xy
yx 2)( －
xy
yx 2)(
＝
xy
yxyx 22 )()( ＝
xy
yxyxyxyx )2()2( 2222 ＝
xy
xy4 ＝4
2.计算： 23
1
x
＋
x4
3 ；
参考答案： 23
1
x
＋
x4
3 ＝ 22 12
9
12
4
x
x
x
＝ 212
49
x
x
3.计算
2a a ba b
参考答案：原式 =
4.计算：
244
4
2
2
2
x
x
xxx
x
分析：应先算括号里的
5. 22
22
4
4
2
42
yx
yx
yx
yyx
2 2
2 2 2 2
( )( )) 1
( )
a a b a a b a ba b a b a b a b
a a b b
a b a b
本题应采用逐步通分的方法依次进行。
6.
yxx
yx
yxx 2
1
2
1
7.
babababa
1111
22
分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分
8. 121
12
1
1
1
1 2
2
xx
xx
xx
其中先化简再求值
9. 先化简 2
3 3 2
1 1
x
x x
，然后选择一个合适的你最喜欢的 x 的值，代入求值．
解：原式 3( 1) 2 3 2 1
( 1)( 1) 1 1 1 1
x
x x x x x x
．
依题意，只要 1x 就行，如 2x ，原式 1 ．
10. 若实数 a、b 满足： 2a b
b a
，则
2 2
2 24
a ab b
a ab b
的值为_________ ．
11. 先化简，再求值：已知 2
2 12 2 ( )2 2
x x xx x x x x
求， 的值．
八 分式方程
［知识点解析］：分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
［方法指导］：.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整
式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在
把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)
［例题解析］：例 1 解方程
4
114
3
xx
x .
［详解］：去分母，得 x―3－(4－x)＝－1．去括号、整理，得 2 x＝6
解得 x＝3，
检验：当 x＝3 时， 04 x .
所以，x＝3 是原方程的解．
例 2、（扬州市）若方程 11)1)(1(
6 x
m
xx
有增根，则它的增根是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1 和－1
［详解］：B.
［注意］：分式方程有增根，求未知字母的值的一般步骤：1、先把分式方程化为整式方程；
2、找出使分母值为零的未知数的值；3、把找出的未知数的值代入整式方程，求出未知字母
的值．
例 3、（梅州市）解方程：
x
x
x
x 2211
.
［详解］：解法 1：原方程可化为：
x
x
x
x )1(2
1
12
， ∴ 2)1(2)12( xxx
解得：
3
2x ，经检验可知，
3
2x 的原方程的解．
解法 2：设
1
x
xy ，则原方程化为： 022 yy ,∴(y+2)(y－1)=0.
∴y=－2 或 y=1.
当 y=－2 时， 21
x
x ，解得:
3
2x ；当 y=1 时， 11
x
x ，方程无解.
经检验可知，
3
2x 是原方程的解．
［注意］：换元法也是解分式方程的常用方法．
例 4、（青岛市）为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三、2 班计划组织部分同学义
务植树 180 棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了
50%，结果每人比原计划少栽了 2 棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？
［详解］：设原计划有 x 人参加植树活动，则实际有 1.5x 人参加植树活动．
由题意得： 25.1
180180
xx
去分母，整理得：3x＝90
x＝30.
经检验；x＝30 是原方程的解
15 15 30 45. .x
答：实际有 45 人参加了植树活动．
［注意］：列分式方程解应用题应相应地增加检验的过程．
例 5. 解方程 1 1 32 2
x
x x
［详解］：解法一：方程的两边都乘以 2x ，约去分母，得1 1 3( 2)x x .
解这个整式方程，得 2x .
检验：当 2x 时， 2 0x ，所以 2 是增根，原方程无解.
解法二：∵ 1 1 32 2
x
x x
，
∴ 1 1 32 2
x
x x
，
∴ 2 32
x
x
，
∴-1＝-3.
∴原方程无解.
解法三：∵ 1 1 32 2
x
x x
，
∴ 1 2 1 32 2
x
x x
，
∴ 1 11 32 2x x
，
∴ 1 1 22 2x x
，
∴0＝-2.
∴原方程无解.
［精典练习］
1. 某煤厂原计划 x 天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产 3 吨，因此提前 2
天完成任务，列出方程为------------------------------------------------------------------------（ D ）
A 3120
2
120 xx
B 32
120120
xx
C 3120
2
120 xx
D 32
120120
xx
2 A，B 两地相距 135 千米，两辆汽车从 A 开往 B，大汽车比小汽车早出发 5 小时，小汽
车比大汽车晚到 30 分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为 5：2，求两车的速度。
参考答案：设大车的速度为 2x 千米/时，小车的速度为 5x 千米/时，根据题意得
2
155
135
2
135
xx
解之得 x=9
经检验 x=9 是原方程的解
当 x=9 时，2x=18，5x=45
答：大车的速度为 18 千米/时，小车的速度为 45 千米/时
3. 购一年期债券，到期后本利只获 2700 元，如果债券年利率 12.5%，&127;那么利息是多少
元?
参考答案：(1)设利息为 x 元，则本金为(2700-x)元，依题意列分式方程为：
解此方程得 x=300
经检验 x=300 为原方程的根
答：利息为 300 元。 合作交流解法，学以致用。
4.一组学生乘汽车去春游，预计共需车费 120 元，后来人数增加了
4
1 ，费用仍不变，这样
每人少摊 3 元，原来这组学生的人数是多少个？
本题是策略问题，应让学生合作交流解法。注意分类讨论思想。合作交流解法
5.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工
程款 1.5 万元, 乙工程队工程款 1.1 万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 5 天；
（3）若甲、乙两队合做 4 天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
6.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 300 枝以上，（不包括 300 枝），可以按批
发价付款，购买 300 枝以下，（包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如
果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价付款，需用 120 元，如果多购买 60 枝，
那么可以按批发价付款，同样需要 120 元，
（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少
人？
7. 轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小
时 3 千米，求轮船在静水中的速度。
8. 某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过
日期 3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问
规定日期是几天？
九．零指数幂与负指数幂
［知识点解析］：掌握 )0(1),0(10 a
a
aaa n
n 两个法则以及会用科学计数法表示绝
对值较小的数
［方法指导］：科学计数法就是把一个数 m 表示成 na 10 的形式，其中 ,101 a 当 1a
时，n 的相反数等于小数点向右移的位数，或 m 的左边第 1 个有效数字前所有零的个数（包
括小数点前面的那个零）．
［例题解析］ 例 1、（青岛市）下列运算正确的是 （ ）
A.
aa 3
13 1 B. a a a2 32 2 C. ( ) a a a3 2 6
D. ( ) ( ) a a a3 2
［详解］：D.
例 2、（浙江省湖州市） 10 )2
1()13(2 .
［详解］：原式=3.
例 3、（浙江省绍兴市 2005 年）实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它
的直径约为 0.00000156m，则这个数用科学记数法表示是 （ ）
（A） 50.156 10 （B） 50.156 10 （C） 61.56 10 （D） 61.56 10
［详解］：C
［注意］：任何不等于零的数的零次幂都等于 1.
［精典练习］：
1 计算：
（1）810÷810； （2）10-2； （3） 1
0
103
1
参考答案：（1）1 （2） 0.01 （3） 0.1
2.计算：
（1）（-0.1）0；（2）
0
2003
1
；（3）2-2；（4）
2
2
1
.
参考答案：（1） 1 （2） 1 （3）0.25 （4） 4
3.计算：
2 0 2 010 10 10 10 ； 44 0 6 22 4 2 2 2 2 4 10
参考答案： 200 －0.5
4.计算
（1） 01 )12()12(
（2） 220 )2()2
1()2(
（3）计算：16÷（—2）3—（
3
1 ）-1+（ 3 -1）0
参考答案：（1） 12 （2）1 （3）－4
5.用小数表示下列各数：
（1）10-1； （2）2.1×10-5.
参考答案：（1） 0.1 （2） 0.000021
6.用小数表示下列各数：
（1）-10-1×（-2） （2）（8×10 5 ）÷（-2×10 7 ）
参考答案：（1）0.2 （2）-0.04
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