资料简介
第 8 课时 分式方程
【中考典型例题】
【类型一】 分式方程及其解法
【例 1】已知关于 x 的方程ax＋1
x－1
＝ 2
1－x
＋1.
(1)当 a＝2 时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根且 a≠1，求 a 的值．
【针对训练】
1．关于 x 的分式方程2
x
＋ 3
x－a
＝0 的解为 x＝4，则常数 a 的值为
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
2．(2020·遂宁中考)关于 x 的分式方程 m
x－2
－ 3
2－x
＝1 有增根，则 m 的值
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝－3
3．方程 6
（x＋1）（x－1） － 3
x－1
＝1 的解为 ．
4．解分式方程：
x
x－2
－1＝ 4
x2－4x＋4 .
【类型二】 分式方程的应用
【例 2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用 40 天时间完
成整个工程；当一号施工队工作 5 天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提
前 14 天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成
整个工程．
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【针对训练】
5．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树
30 棵，现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时间相同．设现在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为
A．400
x
＝ 300
x－30 B． 400
x－30
＝300
x
C． 400
x＋30
＝300
x D．400
x
＝ 300
x＋30
6．已知从毕节东客站途经贵阳东站至遵义西站里程约为 350 km，A 车与 B 车的平均速度之比为 5∶4，A 车
的行驶时间比 B 车的少7
8 h，那么两车的平均速度各为多少？
7．(原创题)学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的
1.5 倍；用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本．甲、乙两种图书的单价各为多少元？
【考点自测】
1．下列关于 x 的方程中，是分式方程的有
①1
2 x2－2
3 x＋4＝0；②x
a
＝4；③a
x
＝5；
④x2－9
x＋3
＝1；⑤ 1
x＋2
＝6；⑥2x－1
3
＝x＋7.
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．关于 x 的方程 k
2x－4
－1＝ x
x－2
的解为正数，则 k 的取值范围是
A．k＞－4 B．k＜4
C．k＞－4 且 k≠4 D．k＜4 且 k≠－4
3．关于 x 的分式方程 7x
x－1
＋5＝2m－1
x－1
有增根，则 m 的值为
A．1 B．3 C．4 D．5
4．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 10 000 元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦
又用 22 000 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 4 元，求这两批衬衫的购进
单价．若设第一批衬衫购进单价为 x 元，则所列方程正确的是
A．2×10 000
x
＝22 000
x＋4 B．10 000
x
＝2×22 000
x＋4
C．2×10 000
x
＝22 000
x－4
D．10 000
x
＝2×22 000
x－4
5．方程x－3
x－2
＋1＝ 3
2－x
的解是
6．若分式方程3x－a
x2－2x
＋ 1
x－2
＝2
x
有增根，则实数 a 的值是 ．
7．关于 x 的方程 x2－4x＋3＝0 与 1
x－1
＝ 2
x＋a
有一个解相同，则 a＝ __．
8．解方程：1－ x－3
2x＋2
＝ 3x
x＋1
.
9．某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少 4
元，且用 30 元买这种本子的数量与用 50 元买这种笔的数量相同．
(1)求这种笔和这种本子的单价；
(2)该同学打算用自己的 100 元压岁钱购买这种笔和这种本子，计划 100 元刚好用完，并且笔和本子都买，请
列出所有购买方案．
10．某校打算给七年级的学生赠送精美文具包，文具店规定一次购买 400 个以上，可享受 8 折优惠．若给七
年级学生每人购买一个，则不能享受优惠，需付款 1 936 元．若多买 88 个，则可享受优惠，同样只需付款 1 936
元．该校七年级学生共有多少人？
答案
第 8 课时 分式方程
【中考典型例题】
【类型一】 分式方程及其解法
【例 1】已知关于 x 的方程ax＋1
x－1
＝ 2
1－x
＋1.
(1)当 a＝2 时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根且 a≠1，求 a 的值．
【解析】(1)先将 a＝2 代入原方程，再将方程两边都乘(x－1)，得到一个整式方程，解这个整式方程即可得出
方程的解．注意：分式方程的解必须要进行检验 ；
(2)方程两边都乘(x－1)，得 ax＋1＝－2＋(x－1).将 x＝1 代入整式方程，得到一个关于 a 的方程，解这个方程
即可得出 a 的值．
【答案】解：(1)将 a＝2 代入原方程，得
2x＋1
x－1
＝ 2
1－x
＋1.
方程两边都乘(x－1)，得 2x＋1＝－2＋(x－1).
解得 x＝－4.
检验：当 x＝－4 时，x－1≠0.
∴x＝－4 是这个方程的解；
(2)原方程两边都乘(x－1)，得
ax＋1＝－2＋(x－1)，即(a－1)x＝－4.
∵原方程有增根且 a≠1，∴x＝1.
∴a－1＝－4，即 a＝－3.
【针对训练】
1．关于 x 的分式方程2
x
＋ 3
x－a
＝0 的解为 x＝4，则常数 a 的值为 D
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
2．(2020·遂宁中考)关于 x 的分式方程 m
x－2
－ 3
2－x
＝1 有增根，则 m 的值 D
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝－3
3．方程 6
（x＋1）（x－1）
－ 3
x－1
＝1 的解为 x＝－4．
4．解分式方程：
x
x－2
－1＝ 4
x2－4x＋4
.
解：方程两边都乘(x－2)2，得
x(x－2)－(x－2)2＝4.
解得 x＝4.
检验：当 x＝4 时，(x－2)2≠0.
∴x＝4 是原方程的解．
【类型二】 分式方程的应用
【例 2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用 40 天时间完
成整个工程；当一号施工队工作 5 天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提
前 14 天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成
整个工程．
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【解析】(1)设二号施工队单独施工需要 x 天，根据“一号施工队完成的工作量＋二号施工队完成的工作量＝
总工程(单位 1)”，即可得出关于 x 的分式方程，求得分式方程的解并检验后得出结果；
(2)根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，即可得出结果．
【答案】解：(1)设二号施工队单独施工，完成整个工程需要 x 天．根据题意，得
40－14
40
＋40－5－14
x
＝1.解得 x＝60.
经检验，x＝60 是原方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要 60 天；
(2)根据题意，得 1÷
1
40
＋ 1
60 ＝24(天).
答：若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要 24 天．
【针对训练】
5．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树
30 棵，现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时间相同．设现在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为
A
A．400
x
＝ 300
x－30 B． 400
x－30
＝300
x
C． 400
x＋30
＝300
x D．400
x
＝ 300
x＋30
6．已知从毕节东客站途经贵阳东站至遵义西站里程约为 350 km，A 车与 B 车的平均速度之比为 5∶4，A 车
的行驶时间比 B 车的少7
8 h，那么两车的平均速度各为多少？
解：设 A 车的平均速度为 5x km/h，则 B 车的平均速度为 4x km/h.根据题意，得
350
4x
－350
5x
＝7
8 .解得 x＝20.
经检验，x＝20 是原方程的根．
∴5x＝100，4x＝80.
答：A 车的平均速度为 100 km/h，B 车的平均速度为 80 km/h.
7．(原创题)学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的
1.5 倍；用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本．甲、乙两种图书的单价各为多少元？
解：设乙种图书的单价为 x 元，则甲种图书的单价为 1.5x 元．根据题意，得
600
x
－600
1.5x
＝10.解得 x＝20.
经检验，x＝20 是原方程的根．∴1.5x＝30.
答：甲种图书的单价为 30 元，乙种图书的单价为 20 元．
【考点自测】
1．下列关于 x 的方程中，是分式方程的有 B
①1
2 x2－2
3 x＋4＝0；②x
a
＝4；③a
x
＝5；
④x2－9
x＋3
＝1；⑤ 1
x＋2
＝6；⑥2x－1
3
＝x＋7.
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．关于 x 的方程 k
2x－4
－1＝ x
x－2
的解为正数，则 k 的取值范围是 C
A．k＞－4 B．k＜4
C．k＞－4 且 k≠4 D．k＜4 且 k≠－4
3．关于 x 的分式方程 7x
x－1
＋5＝2m－1
x－1
有增根，则 m 的值为 C
A．1 B．3 C．4 D．5
4．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 10 000 元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦
又用 22 000 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 4 元，求这两批衬衫的购进
单价．若设第一批衬衫购进单价为 x 元，则所列方程正确的是 A
A．2×10 000
x
＝22 000
x＋4
B．10 000
x
＝2×22 000
x＋4
C．2×10 000
x
＝22 000
x－4
D．10 000
x
＝2×22 000
x－4
5．方程x－3
x－2
＋1＝ 3
2－x
的解是 x＝1．
6．若分式方程3x－a
x2－2x
＋ 1
x－2
＝2
x
有增根，则实数 a 的值是 4 或 8．
7．关于 x 的方程 x2－4x＋3＝0 与 1
x－1
＝ 2
x＋a
有一个解相同，则 a＝__1__．
8．解方程：1－ x－3
2x＋2
＝ 3x
x＋1 .
解：方程两边都乘 2(x＋1)，得
2x＋2－(x－3)＝6x，即 x＋5＝6x.解得 x＝1.
检验：当 x＝1 时，2(x＋1)≠0.
∴x＝1 是原方程的根．
9．某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少 4
元，且用 30 元买这种本子的数量与用 50 元买这种笔的数量相同．
(1)求这种笔和这种本子的单价；
(2)该同学打算用自己的 100 元压岁钱购买这种笔和这种本子，计划 100 元刚好用完，并且笔和本子都买，请
列出所有购买方案．
解：(1)设这种笔的单价为 x 元，则这种本子的单价为(x－4)元．根据题意，得
30
x－4
＝50
x .解得 x＝10.
经检验，x＝10 是原方程的根．
∴x－4＝10－4＝6.
答：这种笔和这种本子的单价分别为 10 元、6 元；
(2)设该同学用 100 元购买了 m 支这种笔和 n 个这种本子．根据题意，得
10m＋6n＝100，即 m＝10－3
5 n.
∵m，n 都是正整数，
∴n＝5，m＝7 或 n＝10，m＝4 或 n＝15，m＝1.
∴有三种购买方案：
①购买 7 支这种笔和 5 个这种本子；
②购买 4 支这种笔和 10 个这种本子；
③购买 1 支这种笔和 15 个这种本子．
10．某校打算给七年级的学生赠送精美文具包，文具店规定一次购买 400 个以上，可享受 8 折优惠．若给七
年级学生每人购买一个，则不能享受优惠，需付款 1 936 元．若多买 88 个，则可享受优惠，同样只需付款 1 936
元．该校七年级学生共有多少人？
解：设该校七年级的学生共有 x 人．根据题意，得
1 936
x
×0.8＝1 936
x＋88
.解得 x＝352.
经检验，x＝352 是原方程的根．
答：该校七年级学生共有 352 人．
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