资料简介
第21讲
思维导图
思维导图
思维导图
真题特训
例3（2020·河南）如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙ O
交AC于点D，过点D作⊙ O的切线交AB于点M，交CB延长线于
点N，连接OM，且OC＝1．
（1）求证：AM＝MD.
（2）填空.
①若DN＝3，则△ABC的面积为_______；
②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为 ．
真题特训
【思维可视化】
真题特训
【解析】（1）连接OD，如图.
∵DN为⊙ O的切线，
∴∠ODM＝∠ABC＝90°.
在Rt△BOM与Rt△DOM中，
∴Rt△BOM≌ Rt△DOM（HL），
OD OB，
OM OM，
真题特训
∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝ ∠DOB.
∵∠C＝ ∠DOB，
∴∠BOM＝∠C，
∴OM∥AC.
∵BO＝OC，
∴BM＝AM，
∴AM＝DM.
1
2
1
2
真题特训
（2）①∵OD＝OC＝1，DN＝ ，
∴tan∠DON＝ ，
∴∠DON＝60°，
∴∠C＝30°.
∵BC＝2OC＝2，
∴AB＝ ，
∴△ABC的面积为 ×AB×BC＝
3
3DN ＝OD
3 2 3
3 3BC＝
1
2
1 2 3 2 32=2 3 3
真题特训
②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°.理由
如下.
∵四边形COMD为平行四边形，
∴DN∥BC，
∴∠DON＝∠NDO＝90°，
∴∠C＝ ∠DON＝45°
1
2
真题特训
例4（2020·）如图，△ABC内接于⊙ O，且AB＝AC
，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙ O与点E，连接BE
，CE.
(1)求证：△ABE≌ △CDE.
(2)填空.
①当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝ ，AB＝ ，则DE的长为______ ．3 2 2
真题特训
【思维可视化】
真题特训
【解析】（1）∵AB＝AC，CD=CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB=CD.
∵四边形ABCE是圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC=180°,∠BAE+∠BCE=180°.
∵∠CED+∠AEC=180°,∠ECD+∠BCE=180°,
∴∠ABC=∠CED,∠BAE=∠ECD，
∴∠ACB=∠CED，
真题特训
又∠ACB=∠AEB.
∴∠CED＝∠AEB.
在△ABE和△CDE中，
∴△ABE≌ △CDE(AAS).
（2）①当∠ABC=60°时，四边形AOCE是菱形.理由如下.
连接AO,CO,OE，如图.
,
,
,
BAE ECD
AEB CED
AB CD
真题特训
∵四边形AOCE是菱形，
∴OC=CE=AE=OA.
又OA=OE=OC，
∴OA=AE=OE=EC，
∴△AOE和△OCE为等边三角形，
∴∠AOC=120°，
∴∠ABC=60°.
真题特训
②由△ABE≌ △CDE可得∠ABE=∠BDA.
∵∠ABE=∠BDA,∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴ ，即 ，
∴
AB AE
AD AB 2
2 2 2 8 3
3 3
ABAD AE
8 3 5 333 3DE AD AE
真题特训
【名师点拨】本题主要考查圆内接四边形的性质，全等三角
形与相似三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理及推
论，能够对所学知识灵活应用是解题的关键.
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