资料简介
2020-2021 学年七年级数学苏科版下册
7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习（一）
1．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面
镜所夹的角相等．
（1）如图，一束光线 m 射到平面镜 a 上，被 a 反射到平面镜 b 上，又被 b 镜反射出去，
若 b 镜反射出的光线 n 平行于 m，且∠1＝30°，则∠2＝ ，∠3＝ ；
（2）在（1）中，若∠1＝70°，则∠3＝ ；若∠1＝a，则∠3＝ ；
（3）由（1）（2）请你猜想：当∠3＝ 时，任何射到平面镜 a 上的光线 m 经过平
面镜 a 和 b 的两次反射后，入射光线 m 与反射光线 n 总是平行的？请说明理由．（提示：
三角形的内角和等于 180°）
2．已知：如图，△ABC 中，∠BAD＝∠EBC，AD 交 BE 于 F．
（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；
（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG 的度数．
3．如图 1 我们称之为“8 字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D 之间的数量关系： ；
（2）如图 2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度
（3）如图 3 所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D 之间的数量关系，并
证明．
4．【概念学习】
在平面中，我们把大于 180°且小于 360°的角称为优角．如果两个角相加等于 360°，
那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2 互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝ °
【理解应用】
习惯上，我们把有一个内角大于 180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形 ABCD 中，优角∠BCD 与钝角∠BCD
互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D 与钝角∠BCD 之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图②，已知四边形 ABCD 中，延长 AD、BC 交于点 Q，延长 AB、DC 交于 P，
∠APD、∠AQB 的平分线交于点 M，∠A+∠QCP＝180°．
①写出图中一对互组的角 （两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．
5．如图（1）已知△ABC 的外角∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P，如图（2）已知△ABC
的内角∠ABC 与外角∠ACD 的角平分线相交于点 P．
选择其中一个图形猜想∠BPC 与∠A 的关系并证明你的猜想
解：我选择的是 ，猜想结论： ．
证明：
6．如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC 的度数；
（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点 Q，试探索∠Q、∠A
之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段 BP、QC 交于点 E，△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的
2 倍，求∠A 的度数．
7．如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD 是△ABC 的角平分线，点 E 是边
AC 上一点，且∠ADE＝ ∠B．
求：∠CDE 的度数．
8．如图，四边形 ABCD 中，∠F 为四边形 ABCD 的∠ABC 的角平分线及外角∠DCE 的平
分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β；
（1）如图①，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，并试用α，β表示∠F；
（3）一定存在∠F 吗？如有，求出∠F 的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不
存在∠F．
9．（1）如图①，△ABC 中，点 D、E 在边 BC 上，AD 平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，
∠C＝65°，求∠DAE 的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F 为 DA 延长线上一点，FE⊥BC”，
其它条件不变，求∠DFE 的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F 为 AD 延长线上一点，FE⊥BC”，其它条
件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE 的度数；
（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？
10．已知：在△ABC 和△DEF 中，将△DEF 如图摆放，使得∠D 的两条边分别经过点 B 和
点 C．
（1）当将△DEF 如图 1 摆放时，若∠A＝50°，∠E+∠F＝100°，则∠ABD+∠ACD＝
度．
（2）当将△DEF 如图 2 摆放时，∠A＝m°，∠E+∠F＝n°，请求出∠ABD+∠ACD 的
度数，并说明理由；
（3）能否将△DEF 摆放到某个位置时，使得 BD、CD 同时平分∠ABC 和∠ACB？直接
写出结论 （填“能”或“不能”）
11．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的 3 倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角
形”．例如，三个内角分别为 120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分
别为 80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射
线 OM 上找一点 A，过点 A 作 AB⊥OM 交 ON 于点 B，以 A 为端点作射线 AD，交线段
OB 于点 C（规定 0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC 为“灵动三角形”时，求∠OAC 的度数．
12．如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍还多 180°，那么这个多边形的边数是多少？
13．如图，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE 的关系式 ．
14．已知如图①，BP、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD、∠BCE 的角平分线，BQ、CQ 分别
是∠PBC、∠PCB 的角平分线，BM、CN 分别是∠PBD、∠PCE 的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝ °，∠BQC＝ °；
（2）当α＝ °时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN 所在直线交于点 O，求∠BOC 的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC 三角之间的数量关
系： ．
15．阅读：如图 1，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B．所以∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠
B．这是一个有用的结论，请用这个结论，在图 2 的四边形 ABCD 内引一条和一边平行
的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D 的度数．
参考答案
1．解：（1）∵∠1＝30°，
∴∠4＝∠1＝30°，
∴∠6＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵m∥n，
∴∠7+∠6＝180°，
∴∠2＝60°，
∴∠7＝60°，
∴∠3＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
故答案为：60°，90°；
（2）∵∠1＝70°，
∴∠4＝∠1＝70°，
∴∠6＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵m∥n，
∴∠7+∠6＝180°，
∴∠7＝140°，
∴∠2＝20°，
∴∠3＝180°﹣20°﹣70°＝90°；
∵∠1＝a°，
∴∠4＝∠1＝a°，
∴∠6＝180°﹣a°﹣a°＝180°﹣2a，
∵m∥n，
∴∠7+∠6＝180°，
∴∠7＝2a°，
∴∠5＝∠2＝90°﹣a，
∴∠3＝180°﹣90°+a﹣a＝90°；
故答案为：90°；90°；
（3）猜想：当∠3＝90°时，m 总平行于 n，
理由：∵△的内角和为 180°，又∠3＝90°，
∴∠4+∠5＝90°
∵∠4＝∠1∠5＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠4+∠5+∠2＝90°+90°＝180°，
∵∠1+∠4+∠6+∠5+∠2+∠7＝180°+180°＝360°，
∴∠6+∠7＝180°
∴m∥n（同旁内角互补，而直线平行）
故答案为：90°
2．解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，
∵∠BAD＝∠EBC，
∴∠ABC＝∠BFD；
（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，
∵EG∥AD，
∴∠BEG＝∠BFD＝35°，
∵EH⊥BE，
∴∠BEH＝90°，
∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．
3．解：（1）如图 1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵∠6，∠7 的和与∠8，∠9 的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°．
（3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，
如图 3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①+②得：
∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
即 2∠P＝∠D+∠B．
4．解：（1）∵∠1、∠2 互为组角，且∠1＝135°，
∴∠2＝360°﹣∠1＝225°；
（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D．理由如下：
如图①，∵在四边形 ABCD 中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D＝360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD＝360°´，
∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D ；
（3）①优角∠PCQ 与钝角∠PCQ；
②∵∠APD、∠AQB 的平分线交于点 M，
∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．
令∠AQM＝∠BQM＝α，∠APM＝∠DPM＝β．
∵在镖形 APMQ 中，有∠A+α+β＝∠PMQ，
在镖形 APCQ 中，有∠A+2α+2β＝∠QCP，
∴∠QCP+∠A＝2∠PMQ，
∵∠A+∠QCP＝180°，
∴∠PMQ＝90°．
∴PM⊥QM．
故答案为 225；优角∠PCQ 与钝角∠PCQ．
5．解：图（1）
∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
＝180°+∠A，
∵BP，CP 分别是△ABC 外角∠DBC，∠BCE 的角平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝ （∠DBC+∠ECB）＝ （180+∠A）°，
即：∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝（90﹣ ∠A）°；
图（2），结论：∠BPC＝ ∠A．
证明如下：
∵∠1 是△PBC 的外角，
∴∠P＝∠1﹣∠2＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠A．
6．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点 P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点 Q，
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）
＝ （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝ （180°+∠A）
＝90°+ ∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A；
（3）延长 BC 至 F，
∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的角平分线，
∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝ ∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝ ∠ABC+ ∠MBC
＝ （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 2 倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则 90°﹣ ∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则 ∠A＝2（90°﹣ ∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A 的度数是 90°或 60°或 120°．
7．解：∵在△ABC 中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
∵∠ADE＝ ∠B＝20°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣20°＝50°．
8．解：（1）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）＝180°
﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠F，
∴360°﹣（α+β）＝180°﹣2∠F，
2∠F＝α+β﹣180°，
∴∠F＝ （α+β）﹣90°；
（2）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠GBC+（180°﹣2∠HCE）＝180°
+2（∠GBC﹣∠HCE）＝180°+2∠F，
∴360°﹣（α+β）＝180°+2∠F，
∠F＝90°﹣ （α+β）；
（3）α+β＝180°时，不存在∠F．
9．解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；
（2）作 AH⊥BC 于 H，如图②，
由（1）得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
（3）作 AH⊥BC 于 H，如图③，
由（1）得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
（4）结合上述三个问题的解决过程，得到∠BAC 的角平分线与角平分线上的点作 BC 的
垂线的夹角为 15°．
10．解：（1）在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°
在△BCD 中，∠D+∠BCD+∠CBD＝180°
∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣∠D
在△DEF 中，∠D+∠E+∠F＝180°
∴∠E+∠F＝180°﹣∠D
∴∠CBD+∠BCD＝∠E+∠F＝100°
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD＝130°+100°＝230°．
（2）∠ABD+∠ACD＝（180﹣m﹣n）°；
理由如下：
∵∠E+∠F＝n°
∴∠CBD+∠BCD＝∠E+∠F＝n°
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）＝（180﹣m﹣n）°；
（3）不能．假设能将△DEF 摆放到某个位置时，使得 BD、CD 同时平分∠ABC 和∠ACB．假
设∠CBD+∠BCD＝∠ABD+∠ACD＝100°，那么∠ABC+∠ACB＝200°，与三角形内
角和定理矛盾，所以不能．
11．解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB 是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC 是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3：①∠ACB＝3∠ABC 时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB 时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB 时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为 30°或 52.5°或 80°．
12．解：设这个多边形的边数为 n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝360×3+180，
解得：n＝9．
则这个多边形的边数是 9．
13．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AE 是角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°，
∵AD 是高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣40°＝10°；
（2）∵∠B＝α，∠C＝β（α＜β），
∴∠BAC＝180°﹣（α+β），
∵AE 是角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝90°﹣ （α+β），
∵AD 是高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣α﹣[90°﹣ （α+β）]＝ （β﹣α）；
故答案为： （β﹣α）．
14．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD、∠BCE 的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝ （∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ 分别是∠PBC、∠PCB 的角平分线，
∴∠QBC＝ ∠PBC，∠QCB＝ ∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN 分别是∠PBD、∠PCE 的角平分线，∠BAC＝α，
∴ （∠DBC+∠BCE）＝180°，
即 （180°+α）＝180°，
解得α＝60°；
（3）∵α＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝ （∠DBC+∠BCE）＝ （180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC＝90°﹣ α、
∠BQC＝135°﹣ α、
∠BOC＝ α﹣45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC 三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣ α）
+（135°﹣ α）+（ α﹣45°）＝180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．
15．解：作 DE∥AB，交 BC 于 E，由题意，∠DEB＝∠C+∠EDC，
∴∠A+∠ADE＝180°，∠B+∠DEB＝180°，
则∠A+∠B+∠C+∠ADC
＝∠A+∠B+∠C+∠EDC+∠ADE
＝∠A+∠B+∠DEB+∠ADE
＝360°．
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