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2021 年中考数学考前第三轮冲刺：四边形 压轴题专项综合练习
1、如图，在▱ ABCD 中，BD 是对角线，∠ADB=90°，E、F 分别为边 AB、CD 的中点．
（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；
（2）若 BE=4，∠DEB=120°，点 M 为 BF 的中点，当点 P 在 BD 边上运动时，则 PF+PM
的最小值为 ，并在图上标出此时点 P 的位置．
2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=13cm，AD=4cm，点 E，F 同时分别从点 D，B 出发，
以 1cm/s 的速度沿 DC，BA 向终点 C，A 运动，点 G，H 分别是 AE，CF 出的中点，设
运动时间为 t（s）.
（1）四边形 EGFH 平行四边形（填“是”或“不是”）；
（2）求证：EH//GF；
（3）当运动时间为 t 为何值时，四边形 EGFH 是菱形.
3、如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，点 P 是 BC 上一点，连接 AP，将线段 AP 绕点
P 顺时针旋转 90°得到线段 PE，连接 AE 交 CD 于点 F，连接 PF、CE，点 Q 是 BC 延
长线上一点．
（1）求证：CE 平分∠DCQ；
（2）当 BP＝2，求 PF 的长；
（3）若 S△APF：S△BEF＝4：1，求在旋转过程中，点 A 经过的路径长．
4、如图①，BD 是矩形 ABCD 的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1.将△BCD 沿射线 BD 方
向平移到△B′C′D′的位置，使 B′为 BD 中点，连接 AB′，C′D，AD′，BC′.
如图②.
(1)求证：四边形 AB′C′D 是菱形；
(2)四边形 ABC′D′的周长为________．
5、如图，矩形 ABCD 中，AB=10，AD=5，分别以 AD、BC 为斜边向矩形内作 Rt△ADE
≌Rt△CBF，∠AED=∠CFB=90°，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 G．
（1）求证：△ADE∽△BAG；
（2）若 DE=4，求 EF 的长；
（3）在点 E 运动变化的过程中，线段 EF 的最小值为 （直接写出结果）
6、如图，在△AEF 中，∠EAF＝45°，AG⊥EF 于点 G，现将△AEG 沿 AE 折叠得到△
AEB，将△AFG 沿 AF 折叠得到△AFD，延长 BE 和 DF 相交于点 C.
(1)求证：四边形 ABCD 是正方形；
(2)连接 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N，将△ABM 绕点 A 逆时针旋转，使 AB 与 AD 重
合，得到△ADH，试判断线段 MN、ND、DH 之间的数量关系，并说明理由．
7、已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，M 是 AF 的中点，连接 DM，EM．
（1）如图 1，点 E 在 CD 上，点 G 在 BC 的延长线上，请判断 DM，EM 的数量关系与
位置关系，并直接写出结论；
（2）如图 2，点 E 在 DC 的延长线上，点 G 在 BC 上，（1）中结论是否仍然成立？
请证明你的结论；
（3）将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若 AB=13，
CE=5，请画出图形，并直接写出 MF 的长．
8、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC边的中点，点P在线段 AD上，过P作PF
⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使得以点P，F，E 为顶
点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明 理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x
满足的条件？
9、以四边形 ABCD 的边 AB 、 AD 为底边分别作等腰三角形 ABF 和 ADE
(1)当四边形 ABCD 为正方形时(如图①),以边 AB 、AD 为斜边分别向外侧作等腰直
角三角形 ABF 和 ADE ,连接 EB 、 FD ,线段 EB 和 FD 的数量关系是 ；
(2)当四边形 ABCD 为矩形时(如图②),以边 AB 、AD 为斜边分别向矩形内侧、外侧
作等腰直角三角形 ABF 和 ADE ,连接 EF 、 BD ,线段 EF 和 BD 具有怎样的数量关
系？请说明理由;
(3)当四边形 ABCD 为平行四边形（如图③）时，以边 AB 、 AD 为底边分别向平行
四边形内侧、外侧作等腰三角形 ABF 和 ADE ,且 EAD△ 和 FBA△ 的顶角都为α，连
接 EF 、 BD ,交点为G .请用 表示出 EGD ,并说明理由.
10、如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF，BE.
（1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图 2，若将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形 ADE
和 DCF，且 EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证
明；
（3）若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形，且 AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论
都能成立吗？请直接写出你的判断.
11、如图，菱形 ABCD 中，AB＝10，连接 BD，点 P 是射线 BC 上一点（不与点 B
重合），AP 与对角线 BD 交于点 E，连接 EC．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若 sin∠ABD＝ ，当点 P 在线段 BC 上时，若 BP＝4，求△PEC 的面积；
（3）若∠ABC＝45°，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，请直接写出△PEC 是等
腰三角形时 BP 的长．
12、已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，
连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG．
（1）请问 EG 与 CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45°，如图②所示，取 DF 中点 G，连接
EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，
问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）
13、矩形 ABCD 一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得点 B 落在 CD 边上的点 P 处．
（1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长．
（2）如图 2，在（1）的条件下，擦去 AO 和 OP，连接 BP．动点 M 在线段 AP 上
（不与点 P、A 重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交
PB 于点 F，作 ME⊥BP 于点 E．试问动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长
度是否发生变化？若不变，求出线段 EF 的长度；若变化，说明理由．
14、如图 1，将△ABC 纸片沿中位线 EH 折叠，使点 A 的对称点 D 落在边 BC 上，
再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线 EF，HG 折叠,折叠后的
三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰
好能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.
（1）将▭ ABCD 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 AEFG，则操作形成的折
痕分别是线段 ， ，矩形 AEFG 的面积与▭ ABCD 的面积之比
为 ；
（2）▭ ABCD 还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形 EFGH，若 EF=5，EH=12，
求 AD 的长；
（3）如图 4，四边形 ABCD 纸片满足 AD//BC，AD
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