资料简介
5.3.2 命题、定理、证明
课前预习
1.命题
（1）定义： 判断 一件事情的语句，叫做命题；
（2）命题由 题设 和 结论 两部分组成. 题设 是已知事项，
结论 是由已知事项推出的事项；
（3）命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“ 如果 ”后接的
部分是题设，“ 那么 ”后接的部分是结论.
2.真命题、假命题和定理
（1）如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做 真命题 ；
（2）题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做 假命题 ；
（3）命题的正确性是经过 推理 证实的，这样得到的 真命题 叫做
定理.定理可以作为继续推理的依据.
3.证明
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个 推理
过程 叫做证明.判断一个命题是假命题，只要 举出一个例子（反例），它
符合命题的题设，但不满足结论 就可以了.
课堂练习
知识点 1 命题的定义及结构
1.下列语句中，是命题的是（ A ）
①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；
②同位角相等吗？
③画线段 AB=CD；
④如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c；
⑤直角都相等.
A.①④⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④⑤
2.下列语句是命题吗？如果是， 把它写成“如果……那么……”的形式，并指
出命题的题设和结论.
（1）连接 AB 两点；
（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
解：（1）不是命题；
（2）是命题.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行.
题设：两条直线都与第三条直线平行；结论：这两条直线也互相平行.
知识点 2 真假命题及其证明
3.（2019 盘龙区期末）下列四个命题中，正确的是（ D ）
A.经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B.同旁内角相等，两直线平行
C.相等的角是对顶角
D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，举出一个反例.
（1）若 a＞b，则 a2＞b2；
（2）两个锐角的和是钝角；
（3）同位角相等；
（4）两点之间，线段最短.
解：（1）是假命题.当 a=-1，b=-2 时，a＞b，但 a2＜b2；
（2）是假命题.当两个锐角分别为 15°和 40°时，两角的和为 55°，是锐
角；
（3）是假命题.当两条直线不平行时，同位角不相等；
（4）是真命题.
课时作业
练基础
1.已知三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内，下列四个命题：
①如果 a∥b，a⊥c，那么 b⊥c；
②如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c；
③如果 b⊥a，c⊥a，那么 b⊥c；
④如果 b⊥a，c⊥a，那么 b∥c.
其中真命题是 ①②④ （填序号）.
2.下列语句中，不是命题的是（ C ）
A.同角的余角不相等
B.玫瑰花是红的
C.已知 a2=4，求 a 的值
D.如果 a+b=0，那么 a，b 互为相反数
3.（2020 官渡区期末）下列命题中，是假命题的是（ C ）
A.对顶角相等
B.平行于同一条直线的两条直线互相平行
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.等角的补角相等
4.下列命题中，是真命题的是（ D ）
A.若 ab＞0，则 a＞0，b＞0
B.若 ab＜0，则 a＜0，b＜0
C.若 ab=0，则 a=0 且 b=0
D.若 ab=0，则 a=0 或 b=0
5.（2020 五华区期末）给出下列四个命题：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
②同旁内角互补；
③如果直线 b∥c，a⊥b，那么 a⊥c；
④如果 a≤0，那么|a|=-a.
其中假命题的个数有（ A ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
6.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结
论：
（1）两点确定一条直线；
（2）同角的补角相等.
解：（1）如果在平面上有两个点，那么过这两个点能确定一条直线.
题设：在平面上有两个点；结论：过这两个点能确定一条直线;
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等.
7.如图，现有以下 3 个论断：①AB∥CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中 2 个
论断为条件， 另一个论断为结论构造命题.
（1）你构造的是哪几个命题?
（2）你构造的命题是真命题还是假命题?请选择其中一个真命题加以证明.
解：（1）命题 1：由①②得到③；
命题 2：由①③得到②；
命题 3：由②③得到①.
（2）命题 1、命题 2、命题 3 均为真命题.
命题 1 证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠CDF（两直线平行，同位角相等）.
∵∠B=∠C（已知），
∴∠C=∠CDF（等量代换）.
∴CE∥BF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等），故由①②得到③为真命题.
命题 2 证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠CDF（两直线平行，同位角相等）.
∵∠E=∠F（已知），
∴CE∥BF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠C=∠CDF（两直线平行，内错角相等）.
∴∠B=∠C（等量代换），故由①③得到②为真命题.
命题 3 证明：∵∠E=∠F（已知），
∴CE∥BF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠C=∠CDF（两直线平行，内错角相等）.
∵∠B=∠C（已知），
∴∠B=∠CDF（等量代换）.
∴AB∥CD，故由②③得到①为真命题.
（三个命题任选一个证明即可）
提能力
8.已知∠ABC 的两边与∠DEF 的两边平行，即 BA∥ED，BC∥EF.
（1）如图 1，若∠B=40°，则∠E= 40 °；
（2）如图 2，猜想∠B 与∠E 有怎样的关系？并说明理由；
（3）如图 3，猜想∠B 与∠E 有怎样的关系？并说明理由；
（4）根据以上情况，请你归纳概括出一个真命题.
解：（2）∠B 与∠E 相等.
理由如下：∵BA∥ED，
∴∠B=∠EGC（两直线平行，同位角相等）.
∵BC∥EF，
∴∠E=∠EGC（两直线平行，内错角相等）.
∴∠B=∠E（等量代换）；
（3）∠B 与∠E 互补.
理由如下：∵BA∥ED，
∴∠B=∠BGE（两直线平行，内错角相等）.
∵BC∥EF，
∴∠BGE+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠B+∠E=180°（等量代换）；
（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
或互补.
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