资料简介
圆锥曲线是我们生活中常见的曲线，她
兼具曲线美和对称美，被人们称之为世间最
美的线条。
人教版·高中数学选修2-1
2.2.1椭圆及其标准方程
（第1课时）
一、情景引入
请大家看视频，思考：“将细绳的两端拉开一
定的距离”中“一定的距离”是什么意思？
（一）椭圆的定义
（2） “一定的距离”是什么含义？
二、新课探究
笔尖到两定点的距离之和不变
两定点间的距离小于细绳长！
问:
（1）笔尖在运动中，满足的几何条件是什么？
您能给椭圆下一个定义吗？
（3）能够说“平面内到定点的距离等于定长的点的
轨迹是椭圆”吗？
如图， 与两个 F1、F2的距离之 的等于
常数( |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的定义
（一）椭圆的定义二、新课探究
这两个定点叫做椭圆的焦点；
定义用数学符号怎么表示？
两焦点之间的距离叫做焦距 .
M
2a
2c
思考:
平面内 定点 和
大于
——仙女座星系
星系中
的椭圆
（二）常见的椭圆二、新课探究
1F 2F
),( yxM
O x
y
如图建立直角坐标系，
设M(x,y)是椭圆上任一点，
椭圆的焦距为2c(c>0) ，
由定义知： aMFMF 221
( ) ( ) aycxycx 22222 -
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
M与F1、F2的距离的和等
于常数2a。
思考：如何建系，使得椭圆的
方程较简单？
求曲线方程的基本步骤是:
（三）椭圆的标准方程二、新课探究
如何求椭圆的方程呢？
建系设点、列条件、写
方程、化简、下结论
1.建系，设点：
2.列条件：
3.写方程：
( ) ( ) ( ) 2222222 44 ycxycxaaycx ---
( ) 222 ycxacxa -- 两边再平方得：
1F 2F x
y
O
),( yxM
（三）椭圆的标准方程二、新课探究
( )0 12
2
2
2
ba
b
y
a
x
5.结论1
这个方程叫做椭圆的标准方程，
所表示的椭圆的焦点在x轴上.
焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，
其中 c2=a2-b2 .
( ) 222222222 2442 yccxxycxaayccxx ---
4.化简：两边平方，得
思考：如果焦点在y轴上，a,b,c的意义
相同，那么椭圆的方程是怎样的？
( )0 12
2
2
2
bab
x
a
y
它也是椭圆的标准方程。
O x
y
F1
F2
M
（三）椭圆的标准方程二、新课探究
所表示的椭圆的焦点在 轴上，
焦点是F1( ， )、F2( ， )，其中 c2=a2-b2 .
y
c-0 c0
1F 2F x
y
O
),( yxM
y
oF1 F2
M
x
y
xo
F1
F2
M
观察：两种椭圆方程的异同点？
两种椭圆相对于坐标系的的焦点坐标不同，
x、y下的分母大小不同.
同:
异：
形状相同,左边是两个分式的平方和，右边是1。
( )0 12
2
2
2
bab
y
a
x ( )0 12
2
2
2
bab
x
a
y
（三）椭圆的标准方程二、新课探究
结
论
2
:
焦点在x轴上的椭圆方程为： 焦点在y轴上的椭圆方程为：
问题：如果给出一个方程，如何确定焦点的位置以及确
定焦点的坐标？
椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上，且焦点坐标由a、b来决定.
( )0 12
2
2
2
bab
x
a
y
y
oF1 F2
M
x
y
xo
F1
F2
M
( )0 12
2
2
2
bab
y
a
x
（三）椭圆的标准方程二、新课探究
cc ,2即： 22 ba - 22 ba -
（四）例题讲解二、新课探究
小结：
（2）当 分母大时，焦点在 轴上；当 的分母大时，焦点在 轴上.2x 2y
反之，你能结合焦点位置确定方程形式吗？
当焦点在x轴上， ；
当焦点在y轴上， .
( )0 12
2
2
2
ba
b
y
a
x
( )0 12
2
2
2
ba
b
x
a
y
x
，
11625
22
yx例1：已知椭圆方程为
cba ,,)1(:则
(2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 ,
焦距为 ;
(3)若椭圆方程为 1
2516
22
yx ,则焦点坐标为 .
1F
2F
(4)已知椭圆上一点P到左焦点 的距离等于6,则P到右焦点
的距离为 ;
（1）椭圆定义告诉我们,到两定点的距离和为常数(大于两定点间的距离)的
点的轨迹是椭圆;
反之,椭圆上的点到两焦点的距离也为 .
y
5 4 3
x (-3,0),(3,0)
6
(0,-3),(0,3)
4
常数
（四）例题讲解二、新课探究
例2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
小结：求椭圆标准方程的方法
（1）定义法, （2）待定系数法.
1,6)1( ca ,焦点在y轴上;
)0,2( 102（2）焦点坐标为 且椭圆上一点到两焦点的距离之和为
.
解：因为椭圆的焦点在x轴上
)0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x：所以可设方程为
101022 ：aa： 知根据定义
6,2 222 - cab：c 所以又
1610
22
yx：所以所求方程为
1：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明a2、b2， 写出焦点坐标.
11625)1(
22
yx 答：在 x 轴，
1169144)2(
22
yx 答：在 y 轴,
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。
a2=25,b2=16; （±3，0）.
a2=169,b2=144; （0，±5）
三、课后检测
2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
.3,1)2(,1,4)1( cb；xba 轴上焦点在
3：两焦点的坐标分别为（-4，0），（4，0）的椭圆上一点P到两焦点的距离和
等于10，则椭圆方程为 .
距离是
的到另一个焦点那么点的距离等于到焦点上一点如果椭圆 21
22
6136100:4 FP，FPyx
1
16
2
2
yx
1925
22
yx
14
1、一个定义： (2a>2c>0)
2、二个方程： ( )0 12
2
2
2
bab
y
a
x 与 ( )0 12
2
2
2
bab
x
a
y
3、三种数学思想：
换元思想 分类讨论思想 数形结合思想
四、课堂小结
你掌握了哪些
数学知识与思想？
2|||| 21 aMFMF
五、课后作业
教材第42页：
习题2.2A组第1题，第2题
六、课后思考
1、数形是统一的，那么椭圆方程中的数a,b,c
与椭圆中的哪些形相对应？
2、方程 什么时候表示一个椭圆？CByAx 22
谢 谢 ！
在
数学这个
理性的世界里，您
是否也曾想过它有感性的一面？
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